“橫看成嶺側(cè)成峰”

“數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度”這一章中，我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差等概念，并利用它們來(lái)分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度. 其中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都能刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，極差和方差都能描述一組數(shù)據(jù)的離散程度. 但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，根據(jù)決策的目的和實(shí)際意義，我們需要選擇不同的統(tǒng)計(jì)量作為決策的依據(jù)，那么如何根據(jù)實(shí)際需要來(lái)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行選擇呢？

平均數(shù)的概率：平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)的平均大小，是一組數(shù)據(jù)的常用指標(biāo). 平均數(shù)是通過(guò)計(jì)算得到的，相對(duì)而言得到的數(shù)據(jù)較精確，所以大多數(shù)問(wèn)題中，我們首先參考的統(tǒng)計(jì)量是平均數(shù). 但是正因?yàn)樗鼤?huì)隨每一個(gè)數(shù)據(jù)的變化而變化，所以容易受數(shù)據(jù)中極端數(shù)值的影響. 例如：在某項(xiàng)比賽中10個(gè)評(píng)委打分，其中9個(gè)評(píng)委的分?jǐn)?shù)都差不多，但有一個(gè)評(píng)委分?jǐn)?shù)特別低，計(jì)算出的平均數(shù)就會(huì)“失真”，這時(shí)的平均數(shù)就不能很好地反映平均實(shí)際水平，所以用這10個(gè)數(shù)據(jù)判分時(shí)，總要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再用其余的8個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為最后得分，現(xiàn)在這已是人們的常識(shí)了.

中位數(shù)的概念：是一組數(shù)據(jù)中最中間位置的數(shù)（奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)）或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)），所以中位數(shù)可以反映一組數(shù)據(jù)的中間位置水平.中位數(shù)是通過(guò)排序得到的，在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處中間的位置，它不受最大、最小兩個(gè)極端數(shù)值的影響. 因此當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，我們常用中位數(shù)來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

【典型例題】（2013·深圳）某校有21名同學(xué)參加比賽，預(yù)賽成績(jī)各不相同，要取前11名參加決賽，小穎已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，她想知道自己能否進(jìn)入決賽，只需再知道這21名同學(xué)成績(jī)的（ ）.

A. 最高分 B. 中位數(shù)

C. 極差 D. 平均數(shù)

【解析】21個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，小穎想知道自己能否進(jìn)入決賽，只要知道她的預(yù)賽成績(jī)所在的位置是在第11位之前或之后即可. 而排列以后的第11位同學(xué)的成績(jī)正好是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). 故她只要知道這21名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)即可.

眾數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù). 眾數(shù)的特點(diǎn)：①眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多；②眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)越多，它就越能代表這組數(shù)據(jù)的整體狀況，并且通過(guò)它能比較直觀地了解到一組數(shù)據(jù)的大致情況. 日常生活中諸如“最佳”、“最受歡迎”、“最滿意”等，都與眾數(shù)有關(guān)系，它反映了一種最普遍的傾向. 如果一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)不具明顯優(yōu)勢(shì)，用它來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的典型水平就不大可靠了.

【典型例題】為籌備班級(jí)元旦聯(lián)歡晚會(huì)，班長(zhǎng)對(duì)全班同學(xué)愛(ài)吃什么水果作了民意調(diào)查，再?zèng)Q定買哪種水果. 下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中，他最應(yīng)該關(guān)注的是（ ）.

A. 平均數(shù) B. 眾數(shù)

C. 中位數(shù) D. 加權(quán)平均數(shù)

【解析】決定買哪種水果，用生活中的經(jīng)驗(yàn)“少數(shù)服從多數(shù)”，而這里的“多數(shù)”實(shí)際上就是眾數(shù)的概念，所以在這個(gè)問(wèn)題中，決策的依據(jù)是眾數(shù).

極差的概念：極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，它計(jì)算方便，只對(duì)極端值敏感，只是粗略反映了這組數(shù)據(jù)的變化范圍，在一定程度上描述了這組數(shù)據(jù)的離散程度. 所以在決策中極差的作用并不是很大.

方差的概念：方差是指各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，表示一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性的大小的指標(biāo)，因此方差可以判斷一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性. 方差越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定. 所以要比較穩(wěn)定性，一般會(huì)借助方差.

【典型例題】（2013·重慶）某特警隊(duì)為了選拔“神槍手”，舉行了1 000米射擊比賽，最后由甲、乙兩名戰(zhàn)士進(jìn)入決賽，兩人各射靶10次，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)計(jì)算，甲、乙兩名戰(zhàn)士的總成績(jī)都是99.68環(huán)，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21. 則下列說(shuō)法中，正確的是（ ）.

A. 甲的成績(jī)比乙的成績(jī)穩(wěn)定

B. 乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定

C. 甲、乙兩人成績(jī)的穩(wěn)定性相同

D. 無(wú)法確定誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定

【解析】根據(jù)方差的意義，方差越小波動(dòng)越小，越接近平均數(shù)，成績(jī)就越穩(wěn)定. 因?yàn)榧椎姆讲?.28>乙的方差0.21，所以乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定. 考察幾組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度其實(shí)質(zhì)就是比較它們的方差，平均數(shù)相同或相差不大時(shí)，方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.

實(shí)際上我們?cè)谝粋€(gè)問(wèn)題中，并不是只考慮一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，往往同時(shí)計(jì)算并分析幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，除了上面提到的五個(gè)基本統(tǒng)計(jì)量以外，有時(shí)還會(huì)考慮優(yōu)秀率、合格率等概念，甚至從不同的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析，會(huì)得到不同的結(jié)論.

【典型例題】（2013·江蘇揚(yáng)州）為聲援揚(yáng)州“運(yùn)河申遺”，某校舉辦了一次運(yùn)河知識(shí)競(jìng)賽，滿分10分，學(xué)生得分均為整數(shù)，成績(jī)達(dá)到6分以上（包括6分）為合格，達(dá)到9分以上（包括9分）為優(yōu)秀. 這次競(jìng)賽中甲、乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.

（1） 補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表：

（2） 小明同學(xué)說(shuō)：“這次競(jìng)賽我得了7分，在我們小組中排名屬中游偏上！”觀察上表可知，小明是______組的學(xué)生. （填“甲”或“乙”）

（3） 甲組同學(xué)說(shuō)他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以他們組的成績(jī)好于乙組. 但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說(shuō)法，認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組，請(qǐng)你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點(diǎn)的理由.

【解析】（1） 將甲組成績(jī)按照從小到大的順序排列，找出第5、6個(gè)成績(jī)，求出平均數(shù)即為甲組的中位數(shù)；找出乙組成績(jī)，求出乙組的平均分，填表即可；

（2） 觀察表格，成績(jī)?yōu)?分處于中游略偏上，應(yīng)為甲組的學(xué)生；

（3） 乙組的平均分高于甲組，中位數(shù)高于甲組，方差小于甲組，所以乙組成績(jī)好于甲組.

【答案】（1） 乙平均分：8.1；甲中位數(shù)：6；（2） 甲；（3） ①乙組同學(xué)平均分高于甲組；②乙組同學(xué)的方差小，比甲組穩(wěn)定，而且集中在中上游，所以支持乙組同學(xué)的觀點(diǎn).

總之，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差是從不同的角度描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量，可謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”. 在利用統(tǒng)計(jì)的結(jié)果進(jìn)行決策時(shí)，首先要弄清不同統(tǒng)計(jì)量之間的聯(lián)系和區(qū)別，要弄清不同統(tǒng)計(jì)量的內(nèi)涵，然后結(jié)合問(wèn)題的背景、進(jìn)行決策的目的和意義，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最后作出正確的決策. （作者單位：江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué)）