多米諾骨牌與數(shù)學(xué)歸納法

漆頌　戴善瓊

摘 要 本文利用多米諾骨牌效應(yīng)梳理了數(shù)學(xué)歸納法的步驟。讓學(xué)生更直觀地理解了數(shù)學(xué)歸納法步驟以及如何利用數(shù)學(xué)歸納法證明相關(guān)題型。

關(guān)鍵詞 多米諾骨牌 數(shù)學(xué)歸納 法推理

中圖分類(lèi)號(hào)：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，一般學(xué)生不難運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟來(lái)證明相關(guān)題型。但數(shù)學(xué)歸納法的基本思想很多學(xué)生卻一知半解。比如數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)解決什么問(wèn)題；用數(shù)學(xué)歸納法證明題的兩個(gè)步驟是怎么得出來(lái)的；為什么只要證明了這兩個(gè)步驟就證明了命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。這些問(wèn)題很多學(xué)生都是摸摸糊糊的，而多諾米骨牌游戲可以幫助我們認(rèn)識(shí)這些問(wèn)題。

（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法。是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)客觀世界的時(shí)候經(jīng)常采用的方法，具體指考查和研究一些特殊的和個(gè)別的事物，在獲得對(duì)這些事物認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上總結(jié)和抽象出一般的結(jié)論的一種方法。數(shù)學(xué)歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法。不完全歸納法主要考查若干個(gè)具體實(shí)例然后由此得出結(jié)論，如例1：

例1三角形內(nèi)角和為180？（3-2）？80？

四邊形內(nèi)角和為360？（4-2）？80？

五邊形內(nèi)角和為560？（5-2）？80？

六邊形內(nèi)角和為720？（6-2）？80啊？

從而歸納得出n邊形的內(nèi)角和是（n-2）？80？

不難看出，不完全歸納法的結(jié)論不一定正確。例如，學(xué)生試卷中，如果幾份試卷都及格，就認(rèn)為全班都及格，顯然這個(gè)結(jié)論不可靠，要逐個(gè)審閱才能得出正確的結(jié)論，所以例1的結(jié)論也不一定正確。

（2）完全歸納法是對(duì)所有對(duì)象都作了考查才得出結(jié)論。所以要用完全歸納法才能得出正確的結(jié)論。以下將舉例說(shuō)明完全歸納法的步驟。

當(dāng)考查的對(duì)象是有限個(gè)時(shí)，只需一一驗(yàn)證。

當(dāng)考查的對(duì)象是無(wú)限個(gè)時(shí)，我們不能一一考查，我們將用什么方法來(lái)實(shí)現(xiàn)完全歸納法呢？應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以通過(guò)有限的方法來(lái)解決無(wú)限的問(wèn)題。

例2考查f（n）=1+3+5+7+…+（2n-1）

當(dāng)n=1時(shí)，得f（1）=1=12

當(dāng)n=2時(shí)，得f（2）=1+3=4=22

當(dāng)n=3時(shí)，得f（3）=1+3+5=9=32

當(dāng)n=4時(shí)，得f（4）=1+3+5+7=16=42

……

當(dāng)n=100時(shí)，得f（100）=1+3+5+7+9……+199=10000=1002

猜想：對(duì)任意的自然數(shù)都有

1+3+5+7+9+……（2n-1）=n2

就此，我們只能對(duì)上面的結(jié)論作猜想，因?yàn)樽匀粩?shù)的無(wú)窮性，我們無(wú)論計(jì)算多少次都不能肯定結(jié)論的正確性，而我們也不可能對(duì)自然數(shù)一一考查。

著名的多米諾骨牌游戲，將許多牌立成一列，現(xiàn)在要把它們推倒。因?yàn)橛性S多許多（無(wú)窮多），將它一個(gè)一個(gè)地推是無(wú)法辦到的。我們只需要推倒第一張牌，然后由第一張牌推第二張牌，再由第二張牌推第三張牌，由第三張牌推第四張牌，……由此下去，所有的牌就推倒了。顯然要推倒所有的牌必須滿足二個(gè)條件，第一，人為地推倒第一張牌，第二，必須前一張牌能推倒后一張牌。

考查對(duì)于所有自然數(shù)的命題成立與否也可以用這個(gè)方法。

如對(duì)于例2，證明對(duì)一切自然數(shù)

f（n）=1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2

證明：當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=12命題成立

相當(dāng)于推倒第一張牌，這是基礎(chǔ)。

由n=1命題成立n=1+1=2時(shí)命題成立，相當(dāng)于由第一張牌推倒第二張牌。

由n=2命題成立n=2+1時(shí)命題成立，相當(dāng)于由第二張牌推倒第三張牌。

由n=3命題成立n=3+1時(shí)命題成立，相當(dāng)于由第三張牌推倒第四張牌。

……

以上第二個(gè)步驟可由一個(gè)類(lèi)推式子表示。

當(dāng)n=k命題成立n=k+1時(shí)命題成立（k∈N），就是由前一張牌推后一張牌的過(guò)程，這是一個(gè)類(lèi)推過(guò)程，當(dāng)k取遍一切自然數(shù)時(shí)，命題即對(duì)一切自然數(shù)都成立。

所以對(duì)此題，假設(shè)n=k，對(duì)等式成立（k∈N），即從1開(kāi)始連續(xù)k個(gè)奇數(shù)和等于其項(xiàng)數(shù)k的平方，即是1+3+5+……+（2k-1）=k2

當(dāng)n=k+1時(shí)

1+3+5+7+9……+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2

此即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。所以當(dāng)k取遍一切自然數(shù)時(shí)，可得對(duì)任何自然數(shù)n等式成立。

由此我們順利地得到數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟：

①當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)，n=1（或n=2）時(shí)命題成立。

②假設(shè)n=k（k∈N）命題成立n=k+1時(shí)命題成立。

第二個(gè)步驟表示第一個(gè)值后面的所有自然數(shù)，命題都成立。第二個(gè)步驟的實(shí)質(zhì)解決了從有限到無(wú)限的問(wèn)題。

應(yīng)該指出沒(méi)有第一個(gè)步驟，第二個(gè)步驟的類(lèi)推是空中樓閣，而只有第一個(gè)步驟，沒(méi)有第二個(gè)步驟無(wú)論驗(yàn)證多少個(gè)值，都只能是不完全歸納，不能得到最后的正確結(jié)論。

還應(yīng)該指出，數(shù)學(xué)歸納法證明一般來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)是關(guān)于自然數(shù)的命題，但并不是任何涉及自然數(shù)的命題的正確性都一定要用數(shù)學(xué)歸納法去證明。有些問(wèn)題如果可以通過(guò)直接計(jì)算去證明就不用數(shù)學(xué)歸納法了，例如等式（n+1）（n-1）=n？-1對(duì)于一切自然數(shù)成立，只要通過(guò)計(jì)算就可以由左邊推到右邊，而對(duì)于那些無(wú)法直接計(jì)算又必須由小到大順序計(jì)算的式子，通常就要用數(shù)學(xué)歸納法了

參考文獻(xiàn)

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