基于ABAQUS的聚氨酯彈性體本構(gòu)關(guān)系研究

劉柏峰 李洪璠 丁學(xué)用

【摘要】為準(zhǔn)確地描述聚氨酯彈性體材料屬性，進而精確地預(yù)測聚氨酯制品的力學(xué)性能，從統(tǒng)計熱力學(xué)方法和唯象法出發(fā)，采用試驗和仿真分析相結(jié)合的方法，從各種類型的材料試驗中收集數(shù)據(jù)，用若干組數(shù)據(jù)通過擬合方程，確立適合聚氨酯彈性體材料的本構(gòu)關(guān)系。在聚氨酯彈性體數(shù)值分析和工程化應(yīng)用中，該方法用于各種配方的聚氨酯彈性體本構(gòu)關(guān)系研究均具有較好的適用性，有一定的借鑒意義。

【關(guān)鍵詞】聚氨酯;本構(gòu)關(guān)系

Abstract：To accurately describe the polyurethane elastomer material properties，and accurately predict the mechanical properties of polyurethane products，starting from the statistical thermodynamic method and the phenomenological method，adoptting the method of experiment and simulation analysis，experiment data is collected from various types of material，with several groups of data by fitting equation，this paper establishs the constitutive relation that is suitable for polyurethane elastomer material.In polyurethane elastomer numerical analysis and engineering application，this method that is applied to various formulations of polyurethane elastomer constitutive relation research has good applicability，and has a certain reference significance.

Key Words：polyurethane elastomer;the constitutive relation

聚氨酯彈性體是一種主鏈上含有較多氨基甲酸酯基團的高分子合成材料，其性能主要取決于不同的異氰酸酯基團、固化劑、軟段聚合物、反應(yīng)條件、相分離度以及鏈段間的相互作用等，其中某一因素的改變，將使聚氨酯性能隨之發(fā)生改變[1]。在對各種配方制成的彈性體進行力學(xué)性能試驗時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)聚氨酯彈性體承受較小的變形時，每種變形相對應(yīng)的應(yīng)力可以從傳統(tǒng)的彈性分析中得到較好的近似，可以將其本構(gòu)關(guān)系作為線性進行處理。但是在較大的變形情況下，聚氨酯彈性體具有典型的材料非線性，線性化的處理方法將導(dǎo)致計算精度的較大誤差，不利于我們較為精確地預(yù)測聚氨酯制品的真實性能。因此，為準(zhǔn)確地描述聚氨酯彈性體的特性，需要用應(yīng)變能密度函數(shù)來表征其材料的非線性彈性行為。

1.聚氨酯彈性體的物理力學(xué)性能

聚氨酯彈性體具有橡膠類材料所共有的不可壓縮或近似不可壓縮的特性。在復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)下，聚氨酯彈性體各個方向產(chǎn)生明顯的變形，但是其總體積保持不變，利用這個特性對其各向變形加以限制，則不僅可以承受巨大載荷，還能充分發(fā)揮良好彈性的優(yōu)點，這也是將聚氨酯彈性體應(yīng)用于新型隔振產(chǎn)品的基礎(chǔ)。

對于聚氨酯材料的性能，劉曉華對其耐熱性能的影響因素進行了分析[2]，朱金華對聚氨酯彈性體的結(jié)構(gòu)及動態(tài)力學(xué)性能進行了研究[3]，趙菲對其力學(xué)性能的影響因素進行了研究[4]。

鑒于聚氨酯彈性體優(yōu)良的綜合性能，本文對聚氨酯的材料配方進行了一系列研究，得到了滿足隔振元件性能要求的聚氨酯彈性體材料配方，根據(jù)該配方制備了標(biāo)準(zhǔn)聚氨酯彈性體試樣，試樣尺寸符合相應(yīng)國家標(biāo)準(zhǔn)[5-6]，對上述標(biāo)準(zhǔn)試件進行了拉伸、壓縮應(yīng)力應(yīng)變性能的測定，試驗過程中嚴(yán)格按照標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范操作流程，部分試驗結(jié)果如表1和表2所示。

2.超彈性材料的本構(gòu)模型

2.1 基于統(tǒng)計理論的本構(gòu)模型

最初成功地將統(tǒng)計理論應(yīng)用于處理橡膠問題的是Kuhn，他導(dǎo)出了彈性模量和鏈的分子量之間的關(guān)系，但他沒有將這一應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系式推廣到大應(yīng)變問題上去。Treloar將高斯統(tǒng)計理論應(yīng)用于一種簡單的長鏈分子網(wǎng)絡(luò)模型[7]，得到了形式為的應(yīng)變能密度函數(shù)，其中是Cauchy-Green應(yīng)變張量的第一不變量，是橡膠材料常數(shù)。Treloar通過對含有8%硫磺的硫化橡膠進行試驗得出，在小變形范圍內(nèi)，該函數(shù)可以較好地擬合單向拉伸試驗，但是在大變形時，理論和試驗相差較大。盡管如此，該本構(gòu)方程提供了認(rèn)識不同類型應(yīng)變下應(yīng)力應(yīng)變曲線之間關(guān)系的基礎(chǔ)，這種能處理任何類型應(yīng)變的能力，是統(tǒng)計理論的突出功績之一，對大彈性變形研究的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響。

2.1.1 Arruda-Boyce本構(gòu)模型

Arruda[8]等人通過模擬單軸拉伸試驗，建立了Arruda-Boyce應(yīng)變能密度函數(shù)，研究表明，該函數(shù)適用于全應(yīng)變范圍以及大應(yīng)變時硬化的條件，但不適用于雙軸拉伸試驗。其表達式為：

其中：

N為單位體積內(nèi)的總鏈數(shù)。該模型也叫做eight-chain模型，的值由熱力學(xué)統(tǒng)計方法得出，代表初始的剪切模量即。表示鎖死應(yīng)變，出現(xiàn)在應(yīng)力應(yīng)變曲線最陡峭的地方，初始的體積模量為。Kaliske和Rothert的研究表明，這種體積應(yīng)變能表達式適用于大部分工程彈性材料。

2.1.2 Van Der Waals本構(gòu)模型

該模型定義的應(yīng)變能密度函數(shù)為[9]：

其中：

是初始剪切模量，是保持伸長量，是整體相互參數(shù)，是不變混合參數(shù)，值控制壓縮特性，這些參數(shù)都是溫度函數(shù)。分別是第一、第二偏應(yīng)變不變量。可以得到初始剪切模量及體積模量為：

基于統(tǒng)計熱力學(xué)的這種方法一般用來解決橡膠分子網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計學(xué)長度、排列方向和結(jié)構(gòu)，但是對于更大的應(yīng)變范圍存在不足，Shaw和Young指出這種統(tǒng)計學(xué)理論只適用于大約50%的應(yīng)變[10]。

2.2 基于唯象理論的本構(gòu)模型

為了得到超彈性材料一般性質(zhì)的更為精確的數(shù)學(xué)表達式，可以借助“唯象”的處理方法，這是一種基于數(shù)學(xué)推理的方法，目的是尋找描述超彈性材料性質(zhì)的最普遍或最簡單的途徑。唯象理論假定超彈性材料在未變形狀態(tài)下是各向同性的，聚合物結(jié)構(gòu)的長鏈分子的排列方向是無規(guī)律的，承受拉伸時會使其分子朝著拉伸方向校正排列方向，因此，假設(shè)在變形過程中各向同性仍然是有效的。此外，由于超彈性材料的體積彈性模量非常高，因此可假定材料具有不可壓縮性。該方法構(gòu)造了描述超彈性材料性能的力學(xué)框架，可以不考慮其微觀結(jié)構(gòu)或分子概念而解決應(yīng)力分析和應(yīng)變分析問題[11]。

2.2.1 Polynomial本構(gòu)模型

多項式形式的應(yīng)變能密度函數(shù)是常用的形式之一，該方程的表達式為[12]：

式中是多項式階數(shù)，為同溫度有關(guān)的材料參數(shù)，表示材料的可壓縮程度。分別為第一、第二偏應(yīng)變不變量，，表示變形后與變形前的體積比?？梢缘玫匠跏技羟心Ａ考绑w積模量為：。當(dāng)時，此本構(gòu)方程即Mooney-Rivlin方程，其表達式為：

如果函數(shù)中所有，則得到Reduced Polynomial本構(gòu)模型：

2.2.2 Ogden本構(gòu)模型

Ogden應(yīng)變能密度函數(shù)的表達式為[13]：

其中和R同溫度有關(guān)，可以看作是材料參數(shù)，數(shù)值由試驗確定;，表示變形后與變形前的體積比，冪指數(shù)是能擬合完全非線性試驗數(shù)據(jù)的任意實數(shù)。Ogden把上述公式應(yīng)用到單向拉伸、等比雙軸拉伸和純剪切等試驗數(shù)據(jù)上，對單向拉伸和純剪切試驗，采用二項的Ogden公式，除（下轉(zhuǎn)第76頁）（上接第57頁）非在非常大的應(yīng)變下出現(xiàn)顯著的偏差，吻合程度較好。

2.2.3 Reduced Polynomial本構(gòu)模型

該方程的表達形式為：

其中N是材料參數(shù)，是同溫度有關(guān)的材料參數(shù)。為第一偏應(yīng)變不變量?？梢缘玫匠跏技羟心Ａ考绑w積模量為：。當(dāng)時，該本構(gòu)方程即Neo-hookean方程，函數(shù)表達式為：

當(dāng)時，該本構(gòu)方程為Yeoh方程[14]，函數(shù)表達式為：

3.聚氨酯彈性體本構(gòu)關(guān)系的確立

數(shù)值分析的精度是與輸入的材料數(shù)據(jù)直接相關(guān)的，而材料數(shù)據(jù)應(yīng)該來自一組獨立的試驗。聚氨酯彈性體基礎(chǔ)試驗的目的，是滿足隔振產(chǎn)品建模及性能分析過程中材料非線性數(shù)學(xué)模型的輸入要求[15]。為全面描述材料的非線性本構(gòu)關(guān)系，獲得較為精確和穩(wěn)定的材料模型，必須對聚氨酯彈性體進行一系列基礎(chǔ)試驗，如果只進行單一類型的材料基礎(chǔ)試驗，通過該應(yīng)變狀態(tài)來確定材料的本構(gòu)模型，那么當(dāng)此模型用于其它無關(guān)的應(yīng)變狀態(tài)時，將會產(chǎn)生較大的偏差[16]。理想的做法是，從各種類型的獨立試驗中收集數(shù)據(jù)，用若干組數(shù)據(jù)通過回歸方程，進而確立適合該種材料的本構(gòu)模型。

基于ABAQUS有限元程序的材料評估模塊，運用不同的應(yīng)變能密度函數(shù)對試驗得到的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)進行擬合。將擬合出的函數(shù)曲線與試驗測試數(shù)據(jù)進行對比分析，考查兩者的一致性，如果擬合出的應(yīng)力應(yīng)變曲線變化趨勢與試驗數(shù)據(jù)吻合較好，則表明該本構(gòu)模型可以較為精確地描述材料的力學(xué)性能;當(dāng)兩者變化趨勢相差較大時，則該模型不適合用于描述聚氨酯彈性體的力學(xué)性能，應(yīng)對其他應(yīng)變能密度函數(shù)擬合試驗數(shù)據(jù)的誤差進行分析，最終確定聚氨酯彈性體的本構(gòu)模型。

分別運用各種本構(gòu)模型，對單軸壓縮和單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)進行擬合，擬合結(jié)果表明，在聚氨酯彈性體應(yīng)變范圍以內(nèi)，多項式本構(gòu)模型的二階模型較好地描述了實際的試驗應(yīng)力應(yīng)變情況，試驗數(shù)據(jù)擬合本構(gòu)方程情況如圖1、2所示。因此，選用多項式本構(gòu)模型的二階模型，來描述該配方聚氨酯彈性體的本構(gòu)關(guān)系。

圖1 多項式本構(gòu)模型擬合試驗數(shù)據(jù)

圖2 Ogden（N=6） 和多項式本構(gòu)模型擬合拉伸試驗數(shù)據(jù)

4.總結(jié)

按照材料配方制備了聚氨酯彈性體啞鈴狀和圓柱體試樣，根據(jù)相應(yīng)試驗標(biāo)準(zhǔn)，對彈性體試件進行了拉伸和壓縮性能試驗，獲得了能夠較為準(zhǔn)確描述聚氨酯彈性體力學(xué)性能的實驗數(shù)據(jù)。采用試驗和仿真分析相結(jié)合的方法，結(jié)合連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論和統(tǒng)計熱力學(xué)理論，深入研究各種本構(gòu)模型應(yīng)用于聚氨酯彈性體的適用性，最終確定能夠良好描述其材料性能的本構(gòu)模型。在聚氨酯彈性體數(shù)值分析和工程化應(yīng)用中，該方法用于各種配方的聚氨酯彈性體本構(gòu)關(guān)系研究均具有良好的適用性，有一定的借鑒意義。

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項目基金：三亞市院地科技合作項目（編號：2012YD46）;三亞市重點實驗室項目（編號：L1305）。

作者簡介：劉柏峰（1982—），男，碩士，工程師，研究方向：振動與噪聲控制。