數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的探索

楊海燕

【摘要】 從教育的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要，這是因?yàn)橹R(shí)的記憶是暫時(shí)的，數(shù)學(xué)思想方法的掌握是永久的；知識(shí)只能使學(xué)生受益一時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法將使學(xué)生受益終生. 因此，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).具體地說(shuō)就是：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在動(dòng)機(jī)；結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在具體情境中教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法；按程序性知識(shí)學(xué)習(xí)規(guī)律教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法；指導(dǎo)學(xué)生監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)思想方法的使用；讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)

中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容（基本要求）的整體結(jié)構(gòu)有兩根強(qiáng)有力的支柱，即數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)又蘊(yùn)載著思想方法，二者好比鳥(niǎo)之雙翼，須臾不離，缺一不可.從教育的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要，這是因?yàn)橹R(shí)的記憶是暫時(shí)的，數(shù)學(xué)思想方法的掌握是永久的；知識(shí)只能使學(xué)生受益一時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法將使學(xué)生受益終生.日本學(xué)者米山國(guó)藏指出：“無(wú)論是對(duì)于科學(xué)工作者、技術(shù)人員還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)的知識(shí)只是第二位.”世界著名數(shù)學(xué)家波利亞在60年代曾做過(guò)統(tǒng)計(jì)，普通中學(xué)的學(xué)生畢業(yè)后在其工作中需要用到數(shù)學(xué)的（包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)）約占全部學(xué)生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí).正是基于這樣的分析，波利亞認(rèn)為：“一個(gè)教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)（即是指一般性的思想方法或思維模式）.”這就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).那么怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)？筆者的觀點(diǎn)是：

一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在動(dòng)機(jī)

要想使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)并掌握數(shù)學(xué)思想方法，必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法能幫助自己提高學(xué)習(xí)效率，改善學(xué)習(xí)成績(jī).這樣才有可能受到激勵(lì)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的動(dòng)機(jī).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意通過(guò)演示、講解、討論等，突出數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題中的作用和價(jià)值，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)習(xí)有改善作用.

例如，問(wèn)題1：對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)x，設(shè)f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三個(gè)函數(shù)中的最小值，求f（x）的最大值.

分析：題中沒(méi)有直接給出f（x）的表達(dá)式，想通過(guò)抽象的數(shù)量關(guān)系分析求解，顯然是困難較大，但是如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將問(wèn)題與函數(shù)圖像聯(lián)系起來(lái)，利用圖像的直觀作用，就容易弄清f（x）的具體內(nèi)容，確定取最大值的點(diǎn)的位置，使原題順利解出. 即在同一平面角坐標(biāo)系中，作函數(shù)

y = 4x + 1 ①

y = x + 2 ②

y = -2x + 4 ③

的圖像，如圖1，觀察圖像即得f（x）的最大值是直線(xiàn)y = x + 2與直線(xiàn)y = -2x + 4的交點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）有最大值■.

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的的興趣，教師還可以讓學(xué)生比較、評(píng)價(jià)自己使用數(shù)學(xué)思想方法和不使用數(shù)學(xué)思想方法條件下的學(xué)習(xí)成績(jī)，要讓學(xué)生明白，優(yōu)良的數(shù)學(xué)成績(jī)是正確應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)果，來(lái)激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的主動(dòng)性.從而看到數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用所帶來(lái)的好處.

二、結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在具體情境中教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用往往離不開(kāi)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)作為學(xué)生面臨的實(shí)際學(xué)習(xí)任務(wù)的一部分來(lái)教，通過(guò)提供數(shù)學(xué)思想方法可以應(yīng)用的情境，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法.

例如，“垂線(xiàn)”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)：

活動(dòng)一：操作

如圖2，讓學(xué)生把課前準(zhǔn)備好的“相交線(xiàn)模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，把你認(rèn)為兩根木棒比較美觀的特殊位置固定.

活動(dòng)二：畫(huà)圖

引導(dǎo)學(xué)生用幾何圖形表示兩根木棒的特殊位置，并標(biāo)上字母（如圖3）.

活動(dòng)三： 測(cè)角

引導(dǎo)學(xué)生用量角器測(cè)量圖3中的四個(gè)角.

活動(dòng)四：形成概念

讓學(xué)生為這一特殊情形命名，并用自己的語(yǔ)言下定義，然后與書(shū)本上比較異同.

活動(dòng)五：反思

讓學(xué)生反思垂線(xiàn)概念是怎樣得到的，與相交線(xiàn)概念的聯(lián)系.

以上的教學(xué)過(guò)程，其滲透的是從一般到特殊、運(yùn)動(dòng)與靜止、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)美等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成了豐富的垂線(xiàn)概念的表象，水到渠成地得到垂線(xiàn)的定義，當(dāng)學(xué)生對(duì)垂線(xiàn)概念自主建構(gòu)的同時(shí)，也獲得了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn).

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合是非常緊密的，是相互滲透、互相融合的，只要教師在教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行滲透、傳授，學(xué)生就能獲得大量的關(guān)于解決問(wèn)題的一般的特殊的數(shù)學(xué)思想方法.因?yàn)槟芴岣呷说膶W(xué)習(xí)記憶和思維效率的數(shù)學(xué)思想方法是無(wú)數(shù)的，雖然某些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想方法可以很快地學(xué)會(huì)，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是不能立竿見(jiàn)影的，所以數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練是長(zhǎng)期、反復(fù)和螺旋上升的.

三、按程序性知識(shí)學(xué)習(xí)規(guī)律教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法也是一種程序性知識(shí)，其教學(xué)應(yīng)符合程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)規(guī)律.先是提供數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的實(shí)例，通過(guò)師生共同分析歸納出有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，再在教師指導(dǎo)下進(jìn)行該數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用練習(xí).比如，“逆向思考方法”的教學(xué)，教師從“司馬光砸缸”的故事開(kāi)始，讓學(xué)生討論“司馬光砸水缸救人”運(yùn)用的方法，當(dāng)學(xué)生從故事中概括出：將“人救出水”辦不到時(shí)，就讓“水離開(kāi)人”，那么“逆向思考的數(shù)學(xué)方法”也就水到渠成了.然后讓學(xué)生嘗試解題：池塘里睡蓮覆蓋的面積每天增大 1 倍，若經(jīng)17天，可長(zhǎng)滿(mǎn)整個(gè)池塘.問(wèn)長(zhǎng)滿(mǎn)半個(gè)池塘需要多少天？有的學(xué)生從正向思考，解法較繁，有的學(xué)生逆向思考，解法較巧.即由“每天增大 1 倍”知，從覆蓋一個(gè)池塘退回覆蓋半個(gè)池塘只需1 天，故長(zhǎng)滿(mǎn)半個(gè)池塘需17 - 1 = 16（天）.當(dāng)學(xué)生體會(huì)到好的問(wèn)題解決通常要應(yīng)用有效的數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，就能自發(fā)地運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)調(diào)控其學(xué)習(xí).

接著，讓學(xué)生運(yùn)用該數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行練習(xí)（練習(xí)題略）.

在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，重視數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生多進(jìn)行在一系列相似情境和不同情境中的變式操作，這對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握是大有裨益的.

四、指導(dǎo)學(xué)生監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)思想方法的使用

在數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用過(guò)程中，學(xué)生需要不時(shí)地檢測(cè)數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的程度，分析當(dāng)前的學(xué)習(xí)任務(wù)是否滿(mǎn)足數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的條件，利用數(shù)學(xué)思想方法取得了哪些進(jìn)展等.

例如，解關(guān)于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.

這是一個(gè)關(guān)于x的四次方程，學(xué)生解決這一問(wèn)題的常規(guī)方法是降次，通過(guò)因式分解將4次降為2次，但按這樣的方法解決問(wèn)題并非容易.這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生自我提問(wèn)：“我的解題方法能夠徹底解決問(wèn)題嗎？”“如果不行，我能換一個(gè)思考角度，或者換一種解題方法嗎？”等.事實(shí)上，如果換一個(gè)思考角度，采取逆向思維方法思考，將x視為常量，而將a看為變量，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為解關(guān)于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的問(wèn)題.解該方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我們?cè)侔褁看為變量，a視為常量，解關(guān)于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .

“自我提問(wèn)”就是讓學(xué)生通過(guò)自我意識(shí)相應(yīng)地調(diào)節(jié)自己的思維和行動(dòng).在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，教師要不斷提醒學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的適用條件，教會(huì)他們通過(guò)“自我提問(wèn)”監(jiān)控利用數(shù)學(xué)思想方法時(shí)所取得的進(jìn)展，問(wèn)題一旦發(fā)現(xiàn)，則要教他們?nèi)绾螄L試矯正并加以評(píng)價(jià)，并逐步把外部指導(dǎo)內(nèi)化為學(xué)生自己監(jiān)控和調(diào)節(jié)過(guò)程.

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為所有的研究都要強(qiáng)調(diào)教學(xué)生知道何時(shí)、何處應(yīng)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法的重要性，教會(huì)他們注意正在使用的數(shù)學(xué)思想方法在什么場(chǎng)合使用以及是否適用，則效果更加好.比如，在解題教學(xué)中，先讓學(xué)生獨(dú)立思考解題的思路，然后組織學(xué)生討論，在討論中，讓學(xué)生說(shuō)出自己的解題過(guò)程，大家對(duì)照過(guò)程和結(jié)果，看看誰(shuí)的方法最好，從而尋找最佳解題思路，這是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法的一種有效方法.因?yàn)橛行В鼘?duì)數(shù)學(xué)思想方法的概括和保持是關(guān)鍵性的.

五、讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

所謂合作學(xué)習(xí)，是指教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生相互討論、互相提問(wèn)、互相幫助、共同學(xué)習(xí)的形式.它被現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家視為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的一種重要的教學(xué)組織形式.

在合作學(xué)習(xí)中，通過(guò)學(xué)生間的相互觀察和模仿，可以更貼近地觀測(cè)他人巧妙使用的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)“跳一跳”使自己掌握新的數(shù)學(xué)思想方法.在合作學(xué)習(xí)中，由于學(xué)生之間更密切地接觸交流，能更清楚自己與其他同學(xué)在掌握數(shù)學(xué)思想方法上的差距，從而產(chǎn)生“奮起直追”的念頭，起到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的激勵(lì)和鞭策作用.

因此，在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中，教師應(yīng)大膽創(chuàng)設(shè)寬松的民主氣氛，使學(xué)生敢于、樂(lè)于思考和討論，讓他們的思維進(jìn)入自覺(jué)的思維情境中，有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法.

【參考文獻(xiàn)】

沈文選. 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M]. 長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)出版社，1996.