畫(huà)圖：從經(jīng)歷走向經(jīng)驗(yàn)

吳小潔　丁君華

大凡數(shù)學(xué)學(xué)得好的人都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，若能借助直觀圖形進(jìn)行分析思考的話，問(wèn)題往往能輕松得到解決。畫(huà)圖在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性不言而喻，通過(guò)畫(huà)圖，能把抽象問(wèn)題具體化、直觀化，從而幫助學(xué)生理清思路，找到解決途徑。斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問(wèn)題?！币虼?，從學(xué)生第一學(xué)段的學(xué)習(xí)開(kāi)始，我們就嘗試有意識(shí)地滲透畫(huà)圖策略的教學(xué)，幫助學(xué)生逐步積累畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)，希冀為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的持續(xù)發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。

一、“畫(huà)個(gè)圖就行了?！薄醪襟w驗(yàn)畫(huà)圖的優(yōu)越性

圖形，因其直觀、形象的特點(diǎn)頗受低年級(jí)孩子的青睞。當(dāng)遇到條件相對(duì)隱含、容易混淆的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但又需要學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì)時(shí)，不妨引導(dǎo)學(xué)生請(qǐng)出圖形來(lái)幫忙，進(jìn)一步理解題意，為分析解決問(wèn)題作好準(zhǔn)備。如一年級(jí)上冊(cè)“小動(dòng)物排隊(duì)”的問(wèn)題：

學(xué)生直接讀題后，發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)說(shuō)不清、道不明，這時(shí)一個(gè)孩子迸出了這樣的想法：“畫(huà)個(gè)圖就行了！可以用一個(gè)圈來(lái)表示一個(gè)小動(dòng)物……”教師因勢(shì)而導(dǎo)：“真是個(gè)好辦法！畫(huà)一畫(huà)就行啦！根據(jù)‘從前往后數(shù)，第5只是小鹿這個(gè)信息，怎么來(lái)畫(huà)出小鹿的位置？再根據(jù)‘從后往前數(shù)，第8只是小鹿又該怎樣畫(huà)出小鹿后面的小動(dòng)物呢？”學(xué)生進(jìn)一步思考，紛紛畫(huà)出了能夠較好解決問(wèn)題的圖。有圖如下：

由于每個(gè)孩子在畫(huà)后面的小動(dòng)物時(shí)，想法不同、畫(huà)法不同，所以他們的算法也是各不相同：有5+8-1=12（只），也有5+7=12（只），還有4+1+7=12（只）。但不管是哪種算法，他們通過(guò)畫(huà)圖，都清楚地明白了：在一條隊(duì)伍中，小鹿是從前往后數(shù)的第5個(gè)，又是從后往前數(shù)的第8個(gè)，小鹿被重復(fù)數(shù)了兩次，所以求“一共有多少只小動(dòng)物”，要去掉多數(shù)的一次。

蘇教版數(shù)學(xué)教材在各個(gè)年級(jí)中也螺旋式編排了相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)畫(huà)圖的優(yōu)越性。

如二年級(jí)下冊(cè)《求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的實(shí)際問(wèn)題》中，通過(guò)將兩行花片一一對(duì)應(yīng)擺放來(lái)解決小華擺了多少個(gè)，到感受用方格一格一格擺出的32格太麻煩了，將每個(gè)格子合并起來(lái)變成直條，產(chǎn)生直條圖，再到借助直條圖來(lái)感受兩個(gè)量之間的關(guān)系，讓學(xué)生通過(guò)“畫(huà)圖”操作活動(dòng)，完成由“形象”的物到“半抽象”的直條圖的過(guò)渡。

《倍的認(rèn)識(shí)》一課中，不僅有實(shí)物操作、直條圖的呈現(xiàn)，更是在“認(rèn)識(shí)倍”之后的練習(xí)，出現(xiàn)了線段圖的雛形：要求學(xué)生分別量出兩條線段的長(zhǎng)度，并說(shuō)說(shuō)第一條線段是第二條線段的幾倍。從根據(jù)豐富的實(shí)物圖直觀感知、直條圖表征，到線段圖提煉概括，完成了由“半抽象”的直條圖到“抽象”的線段圖的過(guò)渡。

到三年級(jí)上冊(cè)《解決兩步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題》教學(xué)時(shí)，第一次正式要求學(xué)生補(bǔ)充完成線段圖，讓他們初步學(xué)會(huì)畫(huà)線段圖的基本方法，會(huì)用直觀簡(jiǎn)練的線段圖來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能借助其來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題。

二、“圖，可以這么畫(huà)?！薄m切指導(dǎo)，積累畫(huà)圖技巧

我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中往往會(huì)發(fā)現(xiàn)：在解決容易的問(wèn)題時(shí)，孩子們不愿意畫(huà)圖來(lái)分析，遇到困難時(shí)，常常想到畫(huà)圖來(lái)思考，但苦于平時(shí)沒(méi)有掌握基本的畫(huà)圖技巧，就沒(méi)法用起來(lái)。因此，教師要用心呵護(hù)學(xué)生畫(huà)圖意識(shí)的萌芽，并給予適切的畫(huà)圖指導(dǎo)。

1.及時(shí)指導(dǎo)，適合即可

學(xué)生剛萌發(fā)畫(huà)圖的意識(shí)時(shí)，我們對(duì)于他們的畫(huà)圖要求不可過(guò)高，可以不要求他們所畫(huà)線段圖與教材中呈現(xiàn)的一模一樣，也可以暫時(shí)不追求圖的美觀與比例的準(zhǔn)確性，只要基本符合問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系即可。

在面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由于每個(gè)孩子理解水平的不同，我們要因材施教，鼓勵(lì)孩子用便于自己理解、能夠表達(dá)的方式來(lái)畫(huà)圖表征題意。如三年級(jí)的一個(gè)問(wèn)題：“一本《新華字典》9元6角，小華每天存3角，存多少天才能買(mǎi)一本《新華字典》？”孩子們畫(huà)出了三種圖，展示了他們個(gè)性化的思考與表達(dá)。在此過(guò)程中，重要的是讓學(xué)生充分感受到用畫(huà)圖的方法整理信息對(duì)于解決問(wèn)題的價(jià)值，體會(huì)畫(huà)圖是解決問(wèn)題的一種常用策略。

當(dāng)然，教師作為線段圖構(gòu)造的示范者和指導(dǎo)者，我們要幫助學(xué)生獲得畫(huà)線段圖的基本方法與技能，使他們學(xué)會(huì)用線段圖表示一些基本的數(shù)量關(guān)系。如學(xué)習(xí)“倍”的知識(shí)，學(xué)生第一次接觸線段圖，他們涌動(dòng)著畫(huà)圖的熱情，教師就應(yīng)順勢(shì)啟發(fā)學(xué)生思考：如何恰當(dāng)?shù)卮_定“一個(gè)單位的長(zhǎng)度”——畫(huà)得太長(zhǎng)，接下來(lái)3個(gè)單位的量不夠畫(huà)；畫(huà)得太短，看不清楚。對(duì)于如何表示3個(gè)單位長(zhǎng)度，盡管學(xué)生年齡小，剛開(kāi)始也會(huì)畫(huà)得不太標(biāo)準(zhǔn)，但教師的示范一定要到位，關(guān)系一定要厘清：兩條（或三條）線段的左端要對(duì)齊，便于比較；倍比關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題中，通常先畫(huà)單位“1”的量；行程問(wèn)題中要根據(jù)數(shù)量的大小，確定1格的長(zhǎng)短等等。這些技巧在教學(xué)中逐步地相機(jī)滲透，這樣將更有利于提高學(xué)生畫(huà)圖表示題意的準(zhǔn)確性。

2.階段引導(dǎo)，適當(dāng)規(guī)范

當(dāng)學(xué)生在第一學(xué)段接觸用線段圖來(lái)表達(dá)題意時(shí)，肯定會(huì)遇到很多問(wèn)題，特別是兩個(gè)量存在相差關(guān)系或倍數(shù)關(guān)系時(shí)，該先畫(huà)哪個(gè)量，再畫(huà)哪個(gè)？常常，學(xué)生會(huì)有一個(gè)慣性的認(rèn)識(shí)，哪個(gè)已知，就先畫(huà)。如相差關(guān)系的例子：

例（1）：①一件上衣45元，一條褲子比一件上衣貴12元，一條褲子多少錢(qián)？

②一件上衣45元，比一條褲子貴12元，一條褲子多少錢(qián)？

像例（1）這樣兩個(gè)量相差關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，孩子們往往會(huì)受“貴”這個(gè)字的負(fù)面影響，兩題都列式為45+12=57（元）。于是試著讓他們畫(huà)圖思考，他們畫(huà)出的圖是這樣的（圖1）：

于是，有些教師就想到，引導(dǎo)孩子在第②小題畫(huà)圖之前，把“一件上衣比一條褲子貴12元”轉(zhuǎn)化成“一條褲子比一件上衣便宜12元”，再來(lái)畫(huà)圖。其實(shí)，會(huì)先轉(zhuǎn)化后畫(huà)圖的孩子，思維水平肯定是比較高的，對(duì)于另一部分學(xué)生，我們?nèi)绾巫屗麄冋业交镜漠?huà)圖方法呢？不妨在適量的看圖、畫(huà)圖練習(xí)后，幫助他們進(jìn)行歸納：兩個(gè)量比多少的實(shí)際問(wèn)題，總是以某個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)量，另外一個(gè)量去和這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比較。因此，我們通?？梢韵犬?huà)標(biāo)準(zhǔn)量，再與之比較，去畫(huà)另一個(gè)量（如圖2）。

又如倍數(shù)關(guān)系的例子：

例（2）：①白兔拔了21個(gè)蘿卜，灰兔拔的是白兔的3倍?；彝冒瘟硕嗌賯€(gè)？

②白兔拔了21個(gè)蘿卜，白兔拔的是灰兔的3倍?；彝冒瘟硕嗌賯€(gè)？

一般實(shí)際問(wèn)題在畫(huà)圖時(shí)，可以先畫(huà)已知量，再畫(huà)未知量。但當(dāng)學(xué)生遇到如例（2）這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，有的教師就引導(dǎo)他們先畫(huà)一份數(shù)，再畫(huà)幾份數(shù)。這種方法確實(shí)可行。

其實(shí)，如果我們可以把相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系兩者聯(lián)系著來(lái)觀察，歸納出這兩類(lèi)問(wèn)題畫(huà)圖方法的相同處。不管是相差關(guān)系還是倍數(shù)關(guān)系，都是兩個(gè)量比較的一種結(jié)果，只是比較的結(jié)果不同。由于都表示兩個(gè)量在比較，因此通常都用兩條線段來(lái)畫(huà)；兩個(gè)量在比較，都是先確定一個(gè)量是標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)量去與之相比較，所以不管是相差關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，還是倍數(shù)關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，我們通常都先畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)量。這樣，當(dāng)?shù)谝粚W(xué)段的孩子遭遇“一個(gè)數(shù)的幾倍多（少）幾的實(shí)際問(wèn)題”順向或逆向的問(wèn)題，就找到了相對(duì)統(tǒng)一的畫(huà)圖技巧，會(huì)覺(jué)得畫(huà)圖再也不是那么變化多端的事情了。

在長(zhǎng)期規(guī)范的畫(huà)圖指導(dǎo)之后，對(duì)于有些簡(jiǎn)單的、學(xué)生容易想通的問(wèn)題，也可以讓他們?cè)谀X中畫(huà)圖，然后根據(jù)腦中的圖來(lái)解決問(wèn)題，從真正意義上提高學(xué)生的解題能力。這是畫(huà)圖的高層境界，也是我們追求的目標(biāo)。

三、“你能看懂這圖嗎？”——在畫(huà)圖與看圖間轉(zhuǎn)換，促進(jìn)思考

通過(guò)畫(huà)圖，能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。但有的學(xué)生畫(huà)了圖，卻依然看不出隱含的數(shù)量關(guān)系。其實(shí)，不能為了畫(huà)圖而畫(huà)圖，畫(huà)圖的目的在于促進(jìn)學(xué)生思考，使復(fù)雜變得簡(jiǎn)明，內(nèi)隱變得形象。這就需要教師在畫(huà)圖的同時(shí)關(guān)注學(xué)生的讀圖分析能力，將學(xué)習(xí)的視角在畫(huà)圖與看圖間靈活轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生積累看圖的經(jīng)驗(yàn)。

如：一件上衣45元，一條褲子比一件上衣貴12元，一套衣服多少錢(qián)？學(xué)生在解答這題時(shí)，只用了一步：45+12=57（元）。有位教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤解答后，指導(dǎo)孩子畫(huà)圖如下：

讓學(xué)生試著看圖分析題意，說(shuō)說(shuō)已知什么條件，要求什么問(wèn)題，要怎么思考。當(dāng)時(shí)，老師以為是學(xué)生沒(méi)有看清問(wèn)題?？墒?，他們?cè)诜治鰰r(shí)依然堅(jiān)持自己的算式是正確的。納悶之下，教師分小步引導(dǎo)：在圖中，找一找你算式中的每個(gè)數(shù)分別指的是線段圖中的哪一部分？分別表示什么？學(xué)生的困惑終于在教師面前顯露出來(lái)：原來(lái)他們認(rèn)為45元是上衣的價(jià)格，12元是褲子的一部分價(jià)格，所以合起來(lái)就是一套衣服的價(jià)格，這說(shuō)明他們看圖分析的經(jīng)驗(yàn)是比較薄弱的。在一步計(jì)算的時(shí)候，由于問(wèn)題簡(jiǎn)單，往往模仿列式，并沒(méi)真正理解45+12的意義。因此，教師在教學(xué)一步計(jì)算的問(wèn)題時(shí)，可以適當(dāng)出一些根據(jù)算式說(shuō)說(shuō)算式中每個(gè)數(shù)在線段圖中所表示的部分及其意義，弄清45元表示上衣和褲子相同的一部分錢(qián)，12元表示褲子比上衣多出的另一部分，兩部分合起來(lái)就是上衣的價(jià)錢(qián)。

又如，三年級(jí)上冊(cè)在學(xué)習(xí)《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》后，學(xué)生共同解決一個(gè)問(wèn)題：“在一張長(zhǎng)7厘米、寬5厘米的長(zhǎng)方形紙張中，剪下一個(gè)最大的正方形。正方形的邊長(zhǎng)是（ ）厘米，周長(zhǎng)是（ ）厘米。”他們通過(guò)畫(huà)圖，回答第一個(gè)問(wèn)題基本不存在障礙，但是面對(duì)第二個(gè)問(wèn)題時(shí)卻不知所措。原以為是學(xué)生不知道求什么圖形的周長(zhǎng)，后來(lái)才發(fā)現(xiàn)，他們看著自己畫(huà)的圖，也不知道是求哪一部分的長(zhǎng)度。這說(shuō)明學(xué)生對(duì)在復(fù)雜情境中找到所要求的問(wèn)題還是存在一定困難。因此，有必要引導(dǎo)他們理解周長(zhǎng)的概念：“什么是正方形的周長(zhǎng)？在圖中指的是哪一部分線段的長(zhǎng)度？用彩筆描一描?！睂W(xué)生在動(dòng)手描的過(guò)程中，清晰了概念，厘清了問(wèn)題。

四、“你是怎么解決這個(gè)問(wèn)題的？”——在反思中提升畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)

畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)的積累，需要學(xué)生對(duì)解題方法進(jìn)行多次的感悟、優(yōu)化、抽象與概括，在解決問(wèn)題過(guò)程中用畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)不斷進(jìn)行積淀、內(nèi)化、總結(jié)與升華，同時(shí)體會(huì)畫(huà)圖的價(jià)值。

如：三年級(jí)上冊(cè)《用兩步連乘解決實(shí)際問(wèn)題》中有這樣一題：

用兩步連乘的方法解決實(shí)際問(wèn)題，一個(gè)不可避免的問(wèn)題是：從三個(gè)已知數(shù)量中任選兩個(gè)數(shù)量相乘，再乘第三個(gè)數(shù)量，這樣的解題策略是正確的，它既能用“假設(shè)法”來(lái)闡述道理，也符合“乘法交換律、結(jié)合律”。無(wú)論有沒(méi)有上過(guò)這節(jié)課，在解決類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，不少學(xué)生都會(huì)選用這樣的解題策略，雖然他們不一定都能說(shuō)清其中的道理。因此孩子們?cè)诮獯疬@題時(shí)列出了如下的算式：

（1）8×5=40（臺(tái)），40×4=160（臺(tái)）

（2）8×4=32（臺(tái)），32×5=160（臺(tái)）

（3）5×4=20（天），8×20=160（臺(tái)）

追尋其每步求的是什么時(shí)，雖有少數(shù)學(xué)生能用語(yǔ)言清晰地表達(dá)，但多數(shù)停留在對(duì)數(shù)據(jù)特征“跟著感覺(jué)走”的表面化的猜想上，并未真正從數(shù)量關(guān)系的角度去分析問(wèn)題。因?yàn)檫@里涉及的量并不是“單一”關(guān)聯(lián)的量（如，“每人裝8臺(tái)電腦”），而是一個(gè)“雙關(guān)聯(lián)”的量（如“每人每天裝8臺(tái)電腦”）。由于第一次涉及雙關(guān)聯(lián)量要直接以語(yǔ)言敘述來(lái)表述清楚，對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維水平的發(fā)展還未能達(dá)到這樣的抽象水平，的確存在著困難。這就要我們抓住乘法的意義，一步步引導(dǎo)學(xué)生：“如果用符號(hào)‘□來(lái)表示一人一天裝8臺(tái)電腦，你能用圖來(lái)表示8×5的意思嗎？這一步求的是什么？第二步算式表示什么？接著自己先畫(huà)一畫(huà)，再說(shuō)一說(shuō)好嗎？”

孩子們?cè)诶蠋熖崾鞠?，試著?huà)出了上面的圖?？粗?huà)出的方格示意圖，使得雙關(guān)聯(lián)的相乘的意義，變得形象、直觀，易于理解。更加意外的是，對(duì)于第（3）種解答，班里的學(xué)生竟然能畫(huà)出下面的圖，用假設(shè)的思路來(lái)解釋自己的算理：4個(gè)人干5天的活，假如讓一個(gè)人去做，就相當(dāng)于一個(gè)人做5×4=20（天）。

像這樣，讓孩子在“欲求而不得”的情況下，借助線段圖來(lái)尋求突圍，在解釋、反思時(shí)，自主“補(bǔ)”出圖，來(lái)解釋、驗(yàn)證自己的思路，才能真正發(fā)揮畫(huà)圖的效用。

畫(huà)圖，是一種重要的學(xué)習(xí)策略，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！比裟軓牡谝粚W(xué)段的教學(xué)起，遇到問(wèn)題，教師就鼓勵(lì)學(xué)生自己畫(huà)出圖思考一番，讓他們尋找并不斷體驗(yàn)“當(dāng)數(shù)形結(jié)合便能豁然開(kāi)朗”的樂(lè)趣，久之，他們自然就積淀了豐富的畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)。這樣的經(jīng)驗(yàn)積累，能讓學(xué)生主動(dòng)溝通數(shù)和形的密切聯(lián)系，運(yùn)用直觀的形啟迪抽象的數(shù)，在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相互滲透中，融會(huì)貫通，應(yīng)用自如。

（吳小潔、丁君華，無(wú)錫市玉祁中心小學(xué)，214100）

責(zé)任編輯：宣麗華