明確方向，有效轉(zhuǎn)化

陳峰　李含進(jìn)

摘 要：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的題型為歷年高考試卷的“常客”，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的工具性作用在高考試卷中體現(xiàn)得淋漓盡致. 學(xué)生普遍感覺(jué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題上手容易，但要做對(duì)、做全卻并不簡(jiǎn)單，甚至有部分學(xué)生連題目本身的含義也未理解. 本文結(jié)合課堂案例與典型例題，嘗試尋求解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的突破口.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)單調(diào)性；等價(jià)轉(zhuǎn)化

有關(guān)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，在2000年進(jìn)入高考試卷以來(lái)，成為每年各省高考試卷必考內(nèi)容之一. 一方面，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)及其性質(zhì)的重要工具，這在近幾年的高考中體現(xiàn)得淋漓盡致；另一方面，導(dǎo)數(shù)也是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)知識(shí)銜接點(diǎn)，是學(xué)生今后學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)的重要基石. 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生反應(yīng)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題提筆并不困難，但有的時(shí)候又會(huì)有種越做越做不下去的感覺(jué)，甚至還有部分學(xué)生連題目本身的含義也未理解. 這些都不由讓人產(chǎn)生這樣的思索：如何才能幫助學(xué)生找到解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的突破口？

這是筆者近期所聽(tīng)的一堂公開(kāi)課中的某一教學(xué)片段，也是非常典型的一個(gè)案例. 應(yīng)該說(shuō)，例題并不困難，但學(xué)生的回答卻不盡如人意，要剖析其成因，還需要從高考對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查要求談起. 從近幾年各省高考的命題形式來(lái)看，其考查的基本原則是重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，力求結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題，不過(guò)多地涉及理論探討和嚴(yán)格的邏輯證明，其要求一般有三個(gè)層次：第一層次是主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)法則；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值和最值、單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和不等式、數(shù)列和函數(shù)的單調(diào)性等有機(jī)地結(jié)合在一起，在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)”處設(shè)計(jì)綜合題. 由于多數(shù)學(xué)生對(duì)于求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則掌握較好，緊接著令導(dǎo)數(shù)為0求極值點(diǎn)的過(guò)程也頗為習(xí)慣，因此很多學(xué)生所謂的“上手容易”就是求導(dǎo)、令導(dǎo)數(shù)為0、求極值點(diǎn)這“三部曲”，至于為何要如此的原因則不甚了然. 表面上似乎掌握了解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的一般方法，實(shí)則其對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解浮于表面，缺乏深刻的印象. 倘若能引導(dǎo)學(xué)生梳理考查點(diǎn)，找出其共性所在，即無(wú)論是解決極值與最值、零點(diǎn)問(wèn)題，還是與不等式、數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，導(dǎo)數(shù)的工具性集中體現(xiàn)在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而解決相關(guān)問(wèn)題.換句話(huà)說(shuō)，假如學(xué)生解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題能首先立足于透徹地研究好函數(shù)的單調(diào)性，那他離問(wèn)題的解決也就不遠(yuǎn)了.

例2第2問(wèn)為含有一個(gè)參數(shù)的不等式問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題典型的考查形式. 分析1為構(gòu)造函數(shù)法，利用原函數(shù)或構(gòu)造所得的新函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，通過(guò)求解含參的不等式或不等式組得到參數(shù)的取值范圍. 這種方法較為自然，通過(guò)研究單調(diào)性求最值的過(guò)程學(xué)生也較容易理解，根據(jù)定義域和給定參數(shù)取值范圍，將參數(shù)先分類(lèi)再討論為其核心，但對(duì)于基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生則容易出現(xiàn)漏解的情況. 分析2為參變量分離，通過(guò)分離參數(shù)，得到一個(gè)不含參數(shù)的函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為只需解決此函數(shù)的最值即可. 由于在完成分離后所得函數(shù)已不含參數(shù)，因此得到不少教師和學(xué)生的青睞. 以上兩種方法都是解決含參問(wèn)題的基本方法，而在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生往往更傾向于后者，不少教師也對(duì)此方法過(guò)于強(qiáng)調(diào). 值得關(guān)注的是，在近今年各省的高考試卷中（如2010年全國(guó)新課標(biāo)卷與寧夏海南卷的第21題），出現(xiàn)了雖然參變量分離能夠討論函數(shù)單調(diào)性，卻無(wú)法利用中學(xué)知識(shí)求其最值的題型，因此筆者認(rèn)為此兩種方法不可偏廢. 平時(shí)應(yīng)更注重培養(yǎng)學(xué)生選擇最優(yōu)方法的能力，而非過(guò)度依賴(lài)其中某一種. 分析3是對(duì)參變量分離的進(jìn)一步深化，例2雖然參數(shù)可分離，但仍需分三種情況求解，且分離后所得函數(shù)形式也不算簡(jiǎn)潔，需較多演算過(guò)程才能求得最值. 分析3中只分離出部分參數(shù)，使得兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性都較容易得到，結(jié)合圖象等價(jià)轉(zhuǎn)化為討論兩側(cè)函數(shù)在x=-的值，真可謂舉重若輕、事半功倍！此方法同樣可以解決普遍反應(yīng)計(jì)算量較大的2008年江蘇卷14題，這無(wú)疑使學(xué)生在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)又多了一個(gè)突破口.

在每次考試結(jié)束后，一方面經(jīng)常能聽(tīng)到學(xué)生有這樣的感慨：某某題目我分類(lèi)討論不知是否完整；某某題目我算到一半了，但類(lèi)型太多實(shí)在算不下去了；而另一方面，教師卻抱怨分類(lèi)討論的問(wèn)題往往是教師屢講學(xué)生屢不會(huì)，學(xué)生不是做不對(duì)就是做不全. 不得不承認(rèn)，分類(lèi)討論的確是學(xué)生畏懼的一類(lèi)問(wèn)題，雖然平時(shí)教師都已講解過(guò)分類(lèi)討論的一般依據(jù)，但由于此問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)成的公式可套，因而造成不少學(xué)生上了考場(chǎng)面對(duì)討論仍是“東一榔頭西一棒”，其結(jié)果可想而知. 以上兩題如按照常規(guī)方法來(lái)做，也能得到正確答案，但討論類(lèi)型較多，計(jì)算量也偏大，部分學(xué)生可能做到一半就已放棄. 此時(shí)，學(xué)生在解題前能否注意觀(guān)察條件顯得尤為重要，這需要教師在平時(shí)教學(xué)中糾正學(xué)生盲目下筆的解題習(xí)慣，養(yǎng)成先留意題中隱含的不變量與特殊值，再限制參數(shù)范圍，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論，進(jìn)而尋求突破的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)單調(diào)性的重要手段，其與圖象聯(lián)系之緊密是不言而喻的. “數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)”，如果解題中過(guò)分糾結(jié)于代數(shù)模型，往往會(huì)使思維陷入彀中. 如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解. 所謂數(shù)形結(jié)合，就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化. 例7中雖未給出函數(shù)的解析式，但蘊(yùn)涵了大量函數(shù)性質(zhì)，包括單調(diào)性、奇偶性等，適時(shí)作出函數(shù)y=的草圖，將使得此抽象函數(shù)更為直觀(guān). 例8將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成判斷兩函數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，同樣也簡(jiǎn)化了問(wèn)題，提高了學(xué)生的解題速度. 但另一方面，“形缺數(shù)時(shí)難人微”，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，特別是求解解答題時(shí)，需要借助代數(shù)演繹證明推理的嚴(yán)密性. 反思學(xué)生在2013年江蘇卷20題普遍得分不高的教訓(xùn)，只有用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)才能對(duì)問(wèn)題有本質(zhì)性的分析和把握. 若類(lèi)似例8的問(wèn)題在解答題中出現(xiàn)，由于高中數(shù)學(xué)階段的導(dǎo)數(shù)知識(shí)未涉及極限與洛必達(dá)法則，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行解答更為穩(wěn)妥，具體步驟不再贅述.

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：為了使學(xué)生從思考中獲取知識(shí)，教師必須對(duì)學(xué)生的知識(shí)有充分的了解. 如果在平時(shí)教學(xué)中，只追求學(xué)生對(duì)技巧的掌握，而忽視思維能力的提高；只看到學(xué)生的錯(cuò)誤，而忽視形成錯(cuò)誤的成因，只會(huì)讓學(xué)生陷入題海戰(zhàn)術(shù)的困境中. 唯有在具備扎實(shí)的初等數(shù)學(xué)功底的同時(shí)，做到對(duì)學(xué)生所掌握的知識(shí)心中有數(shù)，才能勝任數(shù)學(xué)教學(xué)工作，更有效地解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的困難.