基于2 -SMC 數(shù)控機(jī)床用PMSLM 改進(jìn)ADRC 控制*

劉春芳 初 旸

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽110870)

現(xiàn)代數(shù)控機(jī)床正在向高速度、高精度方向發(fā)展，由此也對(duì)伺服進(jìn)給控制系統(tǒng)提出了更高的要求。高精密數(shù)控機(jī)床進(jìn)給裝置多采用直線電動(dòng)機(jī)(PMSLM)作為直接驅(qū)動(dòng)裝置。直線電動(dòng)機(jī)在數(shù)控機(jī)床伺服進(jìn)給控制系統(tǒng)中具有定位精度高、響應(yīng)速度快、靈敏度高、隨動(dòng)性好等優(yōu)點(diǎn)［1］。但是在取得諸多優(yōu)勢的同時(shí)，由于直線電動(dòng)機(jī)的直線運(yùn)動(dòng)取消了中間機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的擾動(dòng)、參數(shù)變化、齒槽力、端部效應(yīng)和摩擦力等直接作用在系統(tǒng)輸出上，使得控制難度加大。

尋找更加適合直線電動(dòng)機(jī)控制要求的控制策略并對(duì)其實(shí)施有效控制，一直是重要的具有挑戰(zhàn)性的研究課題。目前已有很多專家學(xué)者分別采用不同方法來設(shè)計(jì)直線伺服系統(tǒng)的控制器，文獻(xiàn)［2 -3］采用無模型自適應(yīng)控制方法擺脫了控制理論中被控對(duì)象模型的束縛，直接基于動(dòng)態(tài)線性化模型中偽偏導(dǎo)數(shù)的估計(jì)和預(yù)報(bào)在線導(dǎo)出。但在自適應(yīng)規(guī)律中包含輸入和輸出的各階導(dǎo)數(shù)，這就降低了自適應(yīng)對(duì)干擾的抑制能力。文獻(xiàn)［4］針對(duì)數(shù)控機(jī)床用直線電動(dòng)機(jī)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)特性，采用重復(fù)控制策略減小進(jìn)給系統(tǒng)跟蹤誤差，雖然文獻(xiàn)中采用的控制策略對(duì)輸入信號(hào)的控制精度有所提高，但采用了基于模型的擾動(dòng)補(bǔ)償方法同時(shí)也降低了系統(tǒng)的全局魯棒性。

自抗擾控制(ADRC)是由韓京清研究員提出的一種不依賴被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型并有很強(qiáng)魯棒性的新型控制方法［5-7］，其核心部分在于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可以實(shí)時(shí)地觀測出PMSLM 的內(nèi)外擾動(dòng)以及參數(shù)變化，通過實(shí)時(shí)補(bǔ)償機(jī)制使觀測到的總擾動(dòng)信號(hào)在控制信號(hào)處給予補(bǔ)償，以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償線性化。但要想得到理想的動(dòng)態(tài)擾動(dòng)估計(jì)信號(hào)就要對(duì)擴(kuò)張觀測器中參數(shù)進(jìn)行反復(fù)調(diào)節(jié)仿真，又由于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器中參數(shù)相互影響，很難在較短時(shí)間得到令人滿意的控制效果。本文針對(duì)擴(kuò)張觀測器調(diào)節(jié)參數(shù)不易實(shí)現(xiàn)的問題提出了二階滑模(2 -SMC)擴(kuò)張觀測器設(shè)計(jì)方法。在保障直線電動(dòng)機(jī)控制精度與魯棒性的前提下降低了自抗擾控制參數(shù)調(diào)節(jié)難度。最后通過仿真對(duì)比傳統(tǒng)擴(kuò)張觀測器與二階滑模觀測器的控制效果，得到二階滑模變結(jié)構(gòu)擴(kuò)張觀測器的控制效果更好。

1 直線伺服系統(tǒng)自抗擾控制

1.1 直線電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型

忽略電磁飽和、渦流損耗及磁滯損耗，假設(shè)電動(dòng)機(jī)的反電勢是正弦的，當(dāng)僅考慮基波分量時(shí)，可以應(yīng)用矢量控制d-q軸模型，并使用Id=0 的矢量控制方式。通過Park 變換，得到d-q坐標(biāo)下的PMSLM 的簡化系統(tǒng)模型為［8］:

式中:R為初級(jí)電阻，φm為永磁體磁鏈，τ 為次級(jí)極距;iq、uq、Lq分別為q軸電流、電壓、電感;m為折算到動(dòng)子上的等效質(zhì)量;np為極對(duì)數(shù)、v為動(dòng)子運(yùn)行速度;fd為系統(tǒng)內(nèi)外擾動(dòng)，主要包括負(fù)載擾動(dòng)、摩擦擾動(dòng)、紋波推力擾動(dòng)、端部效應(yīng)、參數(shù)變化以及其他不確定性擾動(dòng)。

1.2 直線伺服系統(tǒng)離散ADRC 控制器設(shè)計(jì)

本文中PMSLM 伺服控制系統(tǒng)采用速度環(huán)和電流環(huán)雙環(huán)結(jié)構(gòu)。速度外環(huán)采用自抗擾控制，電流內(nèi)環(huán)采用傳統(tǒng)的PI 控制器來實(shí)現(xiàn)Id=0 的矢量控制。

由式(1)中第二式兩邊求導(dǎo)，并將式(1)中第一式代入可得:

理想情況下自抗擾控制器是通過PMSLM 的輸入控制率uq和輸出速度v觀測出系統(tǒng)的總擾動(dòng)d(t)和加速度。為了對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，控制率設(shè)計(jì)成如下形式。

代入式(2)中，可得

這樣就把PMSLM 速度控制系統(tǒng)補(bǔ)償為積分串聯(lián)型系統(tǒng)，使其可以采用高性能的非線性PD 誤差反饋控制，獲得高性能的速度閉環(huán)特性。

根據(jù)PMSLM 數(shù)學(xué)模型ADRC 的設(shè)計(jì)可分為3 大部分，即跟中微分器(TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)、非線性狀態(tài)反饋(NLSEF)。其結(jié)構(gòu)如圖1 所示。TD 的作用是安排過渡過程，得到輸入信號(hào)并給出其微分信號(hào);ESO 是ADRC 控制器的核心，可估算出被控對(duì)象的誤差變化等中擾動(dòng);NLSEF 對(duì)各階狀態(tài)誤差信號(hào)進(jìn)行非線性組合來生成控制信號(hào)。一般高階控制對(duì)象可近似簡化為二階控制對(duì)象，下面以二階為例簡單介紹一下ADRC 的算法。

由于高檔數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中PMSLM 控制器的硬件設(shè)計(jì)多采用dsp 等數(shù)字信號(hào)控制器來實(shí)現(xiàn)，這就需要將控制算法離散化，但直接離散化的自抗擾控制算法易引起顫振現(xiàn)象影響系統(tǒng)性能。為克服這些問題，直接設(shè)計(jì)非線性離散型ADRC。ADRC 各部分具體的離散實(shí)現(xiàn)為:式中:h為采樣步長，λ 為速度因子，它決定跟蹤過渡過程的時(shí)間;h0為濾波因子，它決定對(duì)輸入信號(hào)的噪聲抑制能力。本文根據(jù)PMSLM 的最大速度和最大加速度通過仿真來確定TD 中的3 個(gè)參數(shù)。

式中:fal(·)為非線性組合函數(shù)，當(dāng)α ＜1 時(shí)，它具有大誤差小增益，小誤差大增益的特性;u(k)和y(k)分別為PMSLM 的輸入控制率與經(jīng)過光柵尺反饋的輸出信號(hào)，并作為ESO 的2 個(gè)輸入;z1(k)，z2(k)，z3(k)為ESO 的3 個(gè)輸出狀態(tài)估計(jì)信號(hào)。

式中:u0中的非線性函數(shù)增益β1、β2可以看成是PID控制中的比例增益和微分增益;z3(k)/b為擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)，補(bǔ)償后的u輸入給PMSLM。

通過以上ADRC 算法可以看出，除TD 中參數(shù)和補(bǔ)償系數(shù)b可根據(jù)PMSLM 來確定外，ESO 和NLSEF中的β01、β02、β03、β1、β2、a、δ、δ1目前還沒有較好的整定方式確定它們的值，并且這些參數(shù)的相互作用給參數(shù)的調(diào)節(jié)帶來了較大的不便。本文通過設(shè)計(jì)二階滑模擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的方法在保證伺服系統(tǒng)性能的前提下，降低了ADRC 控制算法中實(shí)際參數(shù)調(diào)節(jié)難度。

2 基于二階滑模變結(jié)構(gòu)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

2.1 變結(jié)構(gòu)擴(kuò)張觀測器的基本設(shè)計(jì)思想

考慮如下不確定仿射型非線性系統(tǒng):

式中:x為狀態(tài)向量;f(x)和g(x)為n維光滑不確定向量場。假設(shè)系統(tǒng)滑模量具有相對(duì)階為2 的表達(dá)式:

式中:s(x)為系統(tǒng)滑模量;φ(x)和γ(x)為不確定性函數(shù)。如果s·(x)、s(x)為閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量的連續(xù)函數(shù)，同時(shí)集合s(x)=s(x)=0 是非空且包含局部的Filippov 軌跡［9］，那么在集合s(x)=s(x)=0 上的運(yùn)動(dòng)稱為二階滑模。由于二階滑模的不連續(xù)控制是直接作用在滑模量的二階導(dǎo)數(shù)s··(x)上，不但可以明顯消弱系統(tǒng)的抖振，而且可以提高控制精度［10］。

如上所述在直線電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)中，式(6)擴(kuò)張觀測器的一般形式可被寫成如下形式:

參數(shù)β01、β02、β03的適當(dāng)選取可以觀測出系統(tǒng)的輸出量、輸出的微分量以及系統(tǒng)擾動(dòng)量。

由文獻(xiàn)［11］對(duì)系統(tǒng)式(11)作適當(dāng)變換，令系統(tǒng)狀態(tài)變量，假設(shè)a0(t)有界，即:|a0(t)| ＜A。并令ε1=z1-x1，(e)，可得到如下擴(kuò)張觀測器表達(dá)式:

這樣可以看出只要選取好適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f(ε1)保證變結(jié)構(gòu)擴(kuò)張觀測器式(12)穩(wěn)定則原系統(tǒng)穩(wěn)定。由此可知擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵就是找到合適的函數(shù)f(ε1)。對(duì)系統(tǒng)式(12)，取二階滑模平面為:

設(shè)計(jì)滑模面向量后，2 -SMC 設(shè)計(jì)的目標(biāo)變?yōu)橥ㄟ^連續(xù)控制，使滑模面向量σ 及其導(dǎo)數(shù)σ·有限時(shí)間內(nèi)收斂于零。

超螺旋算法［12］的原理是，狀態(tài)軌跡在σ -σ·平面上，以有限短時(shí)間繞零點(diǎn)螺旋式收斂到零點(diǎn)。這種控制律是二階滑模算法中唯一不需要滑模量導(dǎo)數(shù)及符號(hào)信息的算法。

超螺旋算法具體表示如下

考慮到z·(t)，這里對(duì)控制器式(6)進(jìn)行Eulero 離散化。

式中:τ 為采樣時(shí)間，jτ ＜t＜(j+1)τ，j∈N，z0=0，σj=σ(jτ)。由于算法實(shí)現(xiàn)過程中需要用到微分信號(hào)，所以這里采用二階滑模控制算法中的超螺旋算法設(shè)計(jì)微分器，從仿真結(jié)果可以驗(yàn)證此種方法是可行的。

3 系統(tǒng)仿真及結(jié)果分析

根據(jù)PMSLM 模型式(1)，運(yùn)用本文提出的二階滑模擴(kuò)張觀測器，在Matlab/Simulink 中搭建仿真模型。PMSLM 參數(shù)為:永磁體有效磁鏈φ =0.1717WB;動(dòng)子質(zhì)量m=11 kg，動(dòng)子電阻R=18.7 Ω;d軸電感Ld=26.82 mH，q軸電感Lq=26.82 mH，極距τn=32 mm，極對(duì)數(shù)p=3。

PMSLM 空載起動(dòng)，速度給定為1 m/s 的階躍信號(hào)，在2 s 時(shí)，分別突加500 N 階躍負(fù)載阻力和30sin(2πt)N 的周期負(fù)載阻力，分別采用本文提出的控制算法和傳統(tǒng)自抗擾算法進(jìn)行仿真。經(jīng)過反復(fù)調(diào)試確定二階滑模擴(kuò)張觀測器參數(shù)如下:超螺旋算法中參數(shù)為:V1=1;V2=9;滑模面選擇中參數(shù)為:k=15;vv1=4;vv2=500。

圖2 為PMSLM 伺服控制系統(tǒng)在無擾動(dòng)時(shí)采用傳統(tǒng)擴(kuò)張觀測器與二階滑模擴(kuò)張觀測器的仿真曲線。從仿真曲線可以看出，兩種擴(kuò)張觀測器的PMSLM 輸出仿真曲線基本重合，但從局部放大曲線圖中可以看出，采用二階滑模擴(kuò)張觀測器的速度響應(yīng)曲線上升時(shí)間短響應(yīng)速度快且無超調(diào)出現(xiàn)。圖3 為在2 s 時(shí)加入500 N 階躍擾動(dòng)時(shí)采用兩種擴(kuò)張觀測器的仿真曲線。圖4為在0.2 s 加入30sin(2πt)N 周期擾動(dòng)時(shí)采用兩種擴(kuò)張觀測器的仿真曲線。從圖3、圖4 中可以看出改進(jìn)后的擴(kuò)張觀測器的抗擾能力有所提高。

4 結(jié)語

在數(shù)控機(jī)床直線進(jìn)給系統(tǒng)中要求有較高的控制精度，本文針對(duì)傳統(tǒng)ADRC 中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器參數(shù)不易整定的問題，在深入研究SMC、ADRC 的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了二階滑模擴(kuò)張觀測器。通過仿真結(jié)果看出，采用二階滑模算法改進(jìn)后的擴(kuò)張觀測器與傳統(tǒng)擴(kuò)張觀測器相比具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):

(1)在不加任何擾動(dòng)的情況下兩種控制方式得到的速度輸出曲線基本相同，但改進(jìn)后的輸出曲線上升時(shí)間更短。

(2)在加入擾動(dòng)系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)后，二階滑模擴(kuò)張觀測器的抗擾能力更強(qiáng)。

(3)在保證控制器性能的前提下，自抗擾控制器參數(shù)調(diào)節(jié)更加容易。

［1］郭慶鼎，王成元，周美文，等. 直線交流伺服系統(tǒng)的精密控制技術(shù)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

［2］曹榮敏，周惠興，侯忠生.數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的無模型自適應(yīng)直線伺服系統(tǒng)精密控制和實(shí)現(xiàn)控［J］.控制理論與應(yīng)用，2012，29(3):310 -316

［3］曹榮敏，侯忠生. 無模型控制方法在直線電機(jī)控制中的仿真研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2006，18(10):2874 -2881

［4］Chen Shangliang，Hsieh T. Repetitive control de-sign and implementation for linear motor machine tool［J］. Interna tional Journal of Machine Tools and Manufacture，2007，47:1807 -1816.

［5］韓京清.自抗擾控制技術(shù)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2008.

［6］黃一，薛文超. 自抗擾控制:思想、應(yīng)用及理論分析［J］. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32(10):1287 -1307.

［7］Xia Yuan-qing，F(xiàn)u Meng -yin，Deng Zhi -hong，et al. Recent developments in sliding mode control and active disturbance rejection control［J］. Control Theory ＆ Applications，2013，30(2):137 -147.

［8］閆光亞.艾武.永磁直線同步電機(jī)ADRC 控制系統(tǒng)［J］. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2011，26(9):60 -66.

［9］Levant A.Aircraft pitch control via second order sliding technique［J］.AIAA Journal of Guidance Control and Dynamics，2000，23(4):586 -594.

［10］胡躍明.變結(jié)構(gòu)控制理論與應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［11］陳剛，張兆靖，楊慧中.基于變結(jié)構(gòu)的自抗擾控制器［J］. 化工自動(dòng)化及儀表，2007，34(6):16 -19.

［12］孫宜標(biāo)，楊雪夏，加寬.采用魯棒微分器的永磁直線同步電機(jī)二階滑?？刂疲跩］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，11，27(33):6 -10.