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    代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用

    2014-04-27 08:44:38邱進(jìn)凌
    科技視界 2014年27期
    關(guān)鍵詞:道題一等獎思路

    邱進(jìn)凌

    (南陽理工學(xué)院,河南 南陽 473000)

    代換法就是利用靈活多變的方式,簡化復(fù)雜難題的典型性解題方法,被廣泛應(yīng)用于高數(shù)解題中。

    1 代換法概括

    代換法是一種數(shù)學(xué)解題思路,在數(shù)學(xué)解題過程中有很多比較復(fù)雜的或者存在兩個及兩個以上未知條件的數(shù)學(xué)題,解題時根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系,適時的轉(zhuǎn)化題目中的數(shù)量關(guān)系,通過各個變量間條件轉(zhuǎn)換,把一種問題轉(zhuǎn)化為了另一種問題,從而簡化整個解題過程。代換法的方法有很多,比如函數(shù)代換、等量以及不等量代換、變量代換、三角函數(shù)代換、等等,在數(shù)學(xué)解題時,如果能靈活運(yùn)用代換法,不僅能有效的鍛煉學(xué)生的思維敏捷性,而且能有效的提高學(xué)生的思維能力。下面我就以實際的例子來分析各種代換法在高等數(shù)學(xué)解題思路中的靈活應(yīng)用。

    2 不同類型的代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用

    2.1 三角代換的解題思路

    三角代換在高等數(shù)學(xué)解題中御用比較廣泛,它的解題思路有一定的技巧性,運(yùn)用三角代換解題,科技使復(fù)雜的問題簡單化。利用三角代換解題的主旨是:通過適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q,將代數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)化為三角表達(dá),進(jìn)而把代數(shù)式的證明或解答轉(zhuǎn)化為三角式的證明和解答。從而起到理順?biāo)悸?、簡化題目的作用。比如09年江蘇高考數(shù)學(xué)競賽題中有這樣一道題:如果不等式+≤k對任何正實數(shù)x、y均成立,求k的取值范圍。

    對于這道題目,首先分析題意,知道它所要求的內(nèi)容與已知條件,再巧用代換法簡化解題過程。這道題的解題思路是這樣的:

    2.2 變量解題方法

    在高等數(shù)學(xué)中,很多函數(shù)體都是在已知函數(shù)相關(guān)等式的前提下,求相關(guān)的函數(shù)值,如果函數(shù)值比較復(fù)雜時,學(xué)生往往會被題目復(fù)雜的表面所困,實際上解答此類問題可以用可以用變量代替法簡化函數(shù)等式,使復(fù)雜的函數(shù)得到簡化,從而使學(xué)生輕而易舉的解出函數(shù)值,掌握解題思路,同時訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力。比如下面有一個不同的已知函數(shù)等式,我們就可以利用變量進(jìn)簡化的方式進(jìn)行解題,具體步驟如下:

    已知函數(shù)值f’(1nx)=1-x,求f(x)的值。解這道題時首先可以假設(shè)t=1nx,然后把 t代入已知函數(shù)中,即 f’(t)=1-x,簡化到這一步,相比很多學(xué)生就會解這道題了。求出x的值,再將其帶入原等式中,最后就可以得出f(x)的值。

    2.3 概率中等量代換的運(yùn)用

    在高中數(shù)學(xué)中概率的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說也是比較頭痛的事情,概率的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備較強(qiáng)的分析能力、概括能力以及簡化步驟的能力。高中階段的概率問題一般是古典概型,這類題的解題過程主要求一次實驗中所有可能的結(jié)果數(shù)目,以及某個事件所包含的結(jié)果數(shù)目,涉及的內(nèi)容一般為排列、組合知識。在解題過程中,同樣要把復(fù)雜的問題簡單化,然后一步一步的進(jìn)行解答。比如有這樣一道題:一個袋子中有8個紅球、4個白球,這些球除了顏色不同,其他都一樣。如果從袋子中任意拿出5個球,那么拿出紅球的概率為多少?

    解這道題時,首先設(shè)未知量,用x表示紅球的數(shù)量,那么求p(x=3)的值。從題中可以看出p(x=3)==14/33≈0.42421。

    題中指出這些球除了顏色相同以外,其他沒什么區(qū)別,但是在解題的過程中運(yùn)用了組合的形式,也就是說解題時把這些球是當(dāng)做區(qū)別來計算的,這樣算肯定石油一定道理的。我們先來看一個例子:某家商場進(jìn)行大型促銷活動,活動規(guī)則是,有一個盒子,里面放10個不同號碼的乒乓球,10個乒乓球中有8個白色,2個黃色,顧客可以一次摸2個球,如果摸出的兩個球都是黃色,就中了一等獎,這里我們分析計算的是顧客參加活動的一等獎的概率有多大。

    分析此類型的題時先假設(shè)顧客抽到一等獎的概率為f(x),然后從題中可以看出f(x)==1/45,這樣就得出了,在以上條件情況下抽到一等獎的概率為0.02222。幾天以后活動還在進(jìn)行,但是球上的數(shù)字已經(jīng)被慢慢擦去,這時顧客抽到一等獎的概率f(y)是不會變化的,因為影響結(jié)果的只是球的顏色,球的號碼并不影響結(jié)果。那么怎么算出f(y)的值呢,這時我們可以沒有區(qū)別的同色乒乓球當(dāng)做有區(qū)別來計算,也就是說求出f(x)皆可以解決問題了。解答這樣的問題我們就利用等量代換的方法。如果遇到一個個體間沒有區(qū)別的題目,首先要假設(shè)這個題目中的個體是有區(qū)別的,進(jìn)而判斷題目結(jié)果是否會變化;如果結(jié)果沒有變化,就可以把它當(dāng)做有區(qū)別來計算。

    2.4 比值代換

    比值代換的計算是在已知條件或所求的量與變量的比值有關(guān)時,就可以利用比值代換的方法把問題簡單化。比如一條直線過點(-3,5,9),并且與直線 L1/L2 相交,L1=:y=3x+5 z=2x-3,L2=y=4x-7 z=5x+10,求此直線的方程。

    首先假設(shè)此直線方程為:x+3/l=y-5/m=z+9/n,令x+3/l=y-5/m=z+9/n=t,得x=-3+lt y=5+mt Z=-9+nt,把這個公式代入L1得(m-3l)=1 n=2l,再令 x+3/l=y-5/m=z+9=s,然后得出 x、y、z分別為-3+ls 5+ms-9+ns,再將x、y、z的值代入到 L2 中,可以得到(m-4l)s=-24(n-5l)s=4,然后可以推倒出m-4l/n-5l=6,將 n=2l代入到(m-4l)/(n-5l)=-6中得m=22l,令l=1,則m=22,n=2,進(jìn)而可以得到所求的直線方程為:x+3=y-5/22=z+9/2。

    3 結(jié)語

    總之在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,代換法是一種比較常用的解題方法,它不僅能簡化解題過程,而且?guī)椭鷮W(xué)生分析解題思路,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力,靈活運(yùn)用多種不同形式的代換法能將復(fù)雜而繁瑣的數(shù)學(xué)題簡化計算,收到奇妙的效果,使學(xué)生不在畏懼?jǐn)?shù)學(xué)計算。所在在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中一定要綜合運(yùn)用歸納、猜想、假設(shè)、數(shù)形結(jié)合以及等量轉(zhuǎn)化等相關(guān)的數(shù)學(xué)方式解決疑難問題,簡化數(shù)學(xué)解題思路,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能。

    [1]黃文芳.談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)變量代換解題方法[J].時代教育,2014(8):156-157.

    [2]馮凌.高考數(shù)學(xué)中“1”的變形計[J].考試周刊,2013(39):225-226.

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