大口徑精密光學(xué)元件低應(yīng)力支撐結(jié)構(gòu)研究

周 憶，廖 靜，郭 蕊，李劍波

(重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400044)

大口徑精密光學(xué)元件低應(yīng)力支撐結(jié)構(gòu)研究

周 憶，廖 靜，郭 蕊，李劍波

(重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400044)

為了實(shí)現(xiàn)傾斜安裝放置狀態(tài)的大口徑精密光學(xué)元件低應(yīng)力支撐結(jié)構(gòu)分析設(shè)計(jì)，采用有限元分析方法，對45°傾斜角安裝放置的精密光學(xué)透鏡在自重作用下的鏡面面形進(jìn)行了研究。首先，建立了光學(xué)透鏡不同膠結(jié)結(jié)構(gòu)的有限元模型，從鏡面對角線橫截面自重變形及鏡面面形的波面誤差兩方面，分析了兩種膠結(jié)分布方式及不同膠點(diǎn)大小對鏡面面形的影響。然后，在膠結(jié)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，建立了不同鏡框支撐結(jié)構(gòu)有限元模型，從鏡面面形的波面誤差方面，分析了支撐力分布方式對鏡面面形的影響。最后，設(shè)計(jì)了膠結(jié)及鏡框支撐的低應(yīng)力支撐結(jié)構(gòu)。分析結(jié)果表明，采用膠點(diǎn)直徑為30mm，矩形分布形式膠結(jié)，側(cè)面均勻方式支撐鏡框時，鏡面面形的波面誤差PV值為16.608 nm，RMS值為7.9385 nm，滿足瑞利判據(jù)的要求，驗(yàn)證了支撐結(jié)構(gòu)的合理性。

大口徑精密光學(xué)元件;傾斜;膠結(jié);支撐結(jié)構(gòu);有限元

1 引 言

隨著空間光學(xué)、高功率激光裝置和激光大氣傳輸?shù)阮I(lǐng)域的發(fā)展，大口徑精密光學(xué)元件被廣泛應(yīng)用于光學(xué)系統(tǒng)中。為保證整個光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，必須嚴(yán)格控制精密光學(xué)元件的精度。對于大口徑光學(xué)元件，除了加工誤差和在安裝和使用過程中的裝配、調(diào)整誤差外，其精度還與其自重變形有關(guān)。光學(xué)元件的自重變形來源于自然狀態(tài)下的變形以及在支撐裝置中受到夾持力產(chǎn)生的變形［1］。為減輕自重變形對光學(xué)元件精度的影響，達(dá)到精密光學(xué)元件的精度要求，需要設(shè)計(jì)一套合理的低應(yīng)力支撐結(jié)構(gòu)。

大口徑精密光學(xué)元件在不同支撐結(jié)構(gòu)下，由自重引起的變形的分析與計(jì)算，國內(nèi)外分別從光學(xué)元件的類型［2］、采用的分析方法［2－4］、處于的自然狀態(tài)［5－7］及支撐方式［2－8］幾個方面進(jìn)行了大量的研究報(bào)道。文獻(xiàn)［2］采用差分法分析了口徑分別為230 cm和154 cm的圓形光學(xué)元件在多種支撐方式下的彈性變形，分析結(jié)果表明帶支撐方法具有明顯優(yōu)勢，尤其是正弦邊緣帶支撐法;文獻(xiàn)［3］、［4］采用有限元方法建立了光學(xué)元件有限元模型，計(jì)算了特定支撐情況下的鏡面變形，分析表明有限元法對于光學(xué)元件分析具有優(yōu)越性;文獻(xiàn)［5］采用有限分析法分析了兩種工作狀態(tài)(平放、立放)的大口徑輕質(zhì)鏡在3種支撐方法下的鏡面變形，其變形標(biāo)準(zhǔn)差均小于λ/20，滿足輕質(zhì)鏡的變形精度要求;文獻(xiàn)［1］采用有限元方法，對垂直安裝狀態(tài)下的大型光學(xué)元件在不同支撐方式下的表面變形進(jìn)行了分析，設(shè)計(jì)了一個固定支承點(diǎn)與浮動支承相結(jié)合的超靜定鋼帶支承結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)［6］對有效口徑為300 mm，水平放置狀態(tài)下的干涉儀參考鏡在不同支承方式下的表面變形進(jìn)行了分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)滿足技術(shù)要求。文獻(xiàn)［7］、［8］采用有限元分析法建立了口徑為400 mm，水平放置的平凸透鏡的有限元模型，分析透鏡在徑向支撐方式(點(diǎn)支撐、帶支撐)和相應(yīng)的軸向支撐方式下的鏡面變形，并給出了一種分析透鏡軸向變形引起的波像差的方法。

以上研究主要是對平放和立放狀態(tài)下的光學(xué)元件的支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，但對傾斜放置狀態(tài)的大口徑光學(xué)元件研究甚少。論文針對如圖1所示的傾斜安裝放置的大口徑精密透鏡的支撐需要，采用有限元法對其支撐方式進(jìn)行分析研究，最終設(shè)計(jì)出了一套滿足瑞利判據(jù)要求的低應(yīng)力支撐結(jié)構(gòu)。

圖1 傾斜放置狀態(tài)的大口徑精密透鏡Fig.1 The slant setting large-aperture precision transmittingmirror

2 基本理論

在光學(xué)元件受力繞性變形分析中，一般把光學(xué)元件材料(玻璃)近似為彈性材料，因此可以利用彈性力學(xué)中的薄板彎曲小繞度方程和有限元法對光學(xué)元件進(jìn)行受力分析［9］。薄板彎曲小繞度方程適用于環(huán)帶支撐結(jié)構(gòu)，考慮到光學(xué)元件的支撐需要，論文采用目前廣泛使用的多點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)。有限元法可以使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題，因此論文采用有限元法來求解。

論文將大口徑精密透鏡模型離散成若干個矩形單元，每個單元如圖2所示。圖中矩形單元邊長分別為2a和2b，分別平行于x、y軸，四個頂點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)1，2，3，4，每個節(jié)點(diǎn)有兩個位移分量。引入一個局部坐標(biāo)系ξ、η，局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)與矩形單元形心重合，ξ和η軸分別與整體坐標(biāo)軸x和y平行。

圖2 矩形單元Fig.2 Rectangular element

利用虛功原理建立有限元方程 [K]e{δ}e= {R}e［10］，因此，單元節(jié)點(diǎn)位移可表示成單元剛度矩陣與 等 效 節(jié) 點(diǎn) 載 荷 的 乘 積，矩 陣 {δ}e= ( [ K]e)－1{R}e表示為:

公式(1)中單元剛度矩陣 [K]e可由子矩陣[kij]得到。其中子矩陣可以表示為:

式中，E為彈性模量;t為矩形單元厚度;μ為泊松比;ρ為單元單位厚度的質(zhì)量，即載荷。

因此，將式(2)、(3)代入式(1)，加上邊界條件，計(jì)算出每個矩形單元節(jié)點(diǎn)上的位移，推廣到整個透鏡模型，得到變形繞度ω，以及模型的應(yīng)變和應(yīng)力值，最終計(jì)算出大口徑精密光學(xué)透鏡模型面形變化。

3 傾斜安裝光學(xué)元件有限元分析

文中光學(xué)元件材料為熔石英，具體參數(shù)如表1所示。建立傾斜安置狀態(tài)的光學(xué)元件有限元模型，采用二次三維實(shí)體單元對其進(jìn)行有限單元劃分，劃分后矩形實(shí)體單元12800個，得到分析模型如圖3所示。

表1 光學(xué)元件參數(shù)Tab.1 Optical element parameters

3.1 膠結(jié)結(jié)構(gòu)有限元分析

光學(xué)元件通過膠粘結(jié)方法固定在鏡框上。相對于傳統(tǒng)的機(jī)械連接方法，采用膠結(jié)方法不但可以改善粘接件的應(yīng)力分布狀況，實(shí)現(xiàn)其他連接方式難以解決的不同材料的連接，而且適當(dāng)粘合劑的選擇可達(dá)到耐溫和抗震等性能要求［11］。本文所選用膠粘劑的具體參數(shù):彈性模量E=20 GPa，泊松比μ= 0.49，密度ρ=1.1×103kg·m－3。采用各向同性一層單元建模方法建立膠層有限元模型［12］。

膠結(jié)方法的不同對光學(xué)元件的變形影響的差別較大，特別是膠結(jié)后產(chǎn)生的面形變化的RMS(均方根)值。在使用結(jié)構(gòu)膠對鏡子進(jìn)行粘接時，膠點(diǎn)的大小及其膠結(jié)分布形式將會對鏡面面形產(chǎn)生較大的影響［13］。

針對膠粘結(jié)的膠點(diǎn)大小和膠結(jié)分布方式對鏡面面形的影響進(jìn)行仿真分析。分析時分別對直徑為21、24、27、30的膠點(diǎn)大小，矩形和圓形的膠結(jié)分布方式進(jìn)行研究對比。圖4給出了直徑為24的膠點(diǎn)大小，矩形和圓形兩種膠結(jié)分布方式示意圖。針對大口徑精密透鏡模型的軸對稱性，有限元計(jì)算數(shù)據(jù)的大量性，取模型主對角線上的截面節(jié)點(diǎn)變形信息來反映鏡面變形。圖5所示的模型主對角線上的截面變形曲線，是將分析計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)變形信息輸入到Matlab軟件，進(jìn)行曲線置信度不低于80%的二項(xiàng)式擬合的結(jié)果。圖5(a)所示大口徑精密透鏡的鏡面最大變形量位于中部區(qū)域;通光范圍內(nèi)，鏡面變形量隨著膠點(diǎn)的直徑增大而減小;圖5(b)所示膠點(diǎn)直徑為30時，矩形膠結(jié)分布方式對鏡面變形的影響小于圓形膠結(jié)分布方式對鏡面變形的影響，且對鏡面變形的影響達(dá)到最小值742.7 nm，鏡面面形精度相對最高。

圖4 膠結(jié)分布方式Fig.4 Cementation distribution ways of the glue dot

光學(xué)元件鏡面面形的變化對光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量的影響可以采用成像質(zhì)量的降低程度這一指標(biāo)來評價。對于高精度、小像差系統(tǒng)通常計(jì)算鏡面變形引起的波面誤差大小，其指標(biāo)為峰谷(PV)值和均方根(RMS)值［1］。透鏡的波面誤差主要是指透射波畸變，其大小取決于透鏡兩個工作表面的面形和透鏡材料的光學(xué)均勻性。

圖5 主對角線截面自重變形Fig.5 Sag deformation ofmain diagonal cross-section

通過對膠結(jié)方式下的支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，研究自重作用下的透鏡鏡面變形，在入射波是平面波的前提條件下，得到入射面和出射面的坐標(biāo)改變量，最終計(jì)算出光軸方向總變形量引起的光程差。假如入射面在單元節(jié)點(diǎn)上的光軸方向變形由坐標(biāo)改變量(Δxr，Δyr，Δzr)表示，出射面在單元節(jié)點(diǎn)上的光軸方向變形由坐標(biāo)改變量(Δxc，Δyc，Δzc)表示，其對應(yīng)的(x，y)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的光軸方向的變形量Δz表示為Δzr(x，y)和Δzc(x，y)，則軸向總變形量(入射面和出射面相對于理想表面的光軸方向變形之間的差值)為:

透鏡模型單元節(jié)點(diǎn)上光軸方向變形引起的光程差為:

光程差的均方根值RMS則通過以透射該條光線的有限單元面積為權(quán)重求出。根據(jù)上述方法，最終求出兩種膠結(jié)分布方式下透鏡波面誤差的PV值和RMS值如圖6所示。

圖6 鏡面面形波面誤差Fig.6 Wave surface error ofmirror surface shape

圖6所示膠粘結(jié)的膠點(diǎn)大小和膠結(jié)分布方式對鏡面面形波面誤差均有影響。根據(jù)瑞利判據(jù)，如果光程差小于或等于四分之一波長滿足瑞利判據(jù)的要求，則光學(xué)系統(tǒng)的性能就可與完善系統(tǒng)的性能相媲美，而目前慣性約束聚變(ICF)領(lǐng)域中，釹玻璃激光器產(chǎn)生的激光波長為1053 nm［14］。綜合比較，當(dāng)膠點(diǎn)大小為直徑30 mm，分布方式為矩形分布時，透鏡自重變形引起的最大光程差為5.1951 nm，遠(yuǎn)小于0.25×1053 nm=263.25 nm，透鏡波面誤差最小，因此這種膠結(jié)結(jié)構(gòu)能滿足光學(xué)系統(tǒng)要求。

3.2 鏡框支撐結(jié)構(gòu)分析

由于透鏡面形較大，在對鏡框進(jìn)行固定和支撐時鏡框會產(chǎn)生一定的局部變形。對高精度(nm級)透鏡的裝夾，鏡框的變形會傳遞到鏡子上從而影響鏡子的面形精度。對如圖7所示的透鏡鏡框的支撐方式進(jìn)行了分析。透鏡鏡框選用鋁合金材料，具體參數(shù):彈性模量E=70.6 GPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2.7×103kg·m－3。在膠點(diǎn)分布方式下，分別分析了側(cè)面8點(diǎn)支撐、側(cè)面均勻支撐、支撐底面均勻支撐、底面8點(diǎn)支撐時透鏡面面形情況。

圖7 鏡框結(jié)構(gòu)Fig.7 Structure of lens frame

圖8給出了鏡框在四種支撐方式下透鏡變形云圖。從圖中可以看出，不同支撐方式下的鏡框引起的鏡面變形基本呈軸對稱分布，且變形最大的位置在透鏡中心處，鏡框采用底面支撐的鏡片最大變形值相對最小，這是由于底面支撐力對鏡框及透鏡自重產(chǎn)生了重力補(bǔ)償作用。

圖8 不同支撐方式下透鏡變形云圖Fig.8 Distortion nephogram with lens in different support schemes

表2詳細(xì)列出了鏡框在不同支撐方式下，鏡面誤差的PV值和RMS值，計(jì)算分析結(jié)果表明，鏡框在不同支撐方式下透鏡波面誤差變化較大，均勻支撐方式產(chǎn)生的鏡面誤差明顯小于點(diǎn)支撐方式;采用側(cè)面支撐方式得到的鏡面誤差小于底面支撐方式;四種支撐方式下得到的最大光程差均小于四分之一激光波長，滿足瑞利判據(jù)要求。綜合考慮鏡面面形精度對光學(xué)系統(tǒng)的影響，具有最小波面誤差的側(cè)面均勻支撐方式可以更好的滿足大口徑透鏡面形精度要求。

表2 鏡框在不同支撐方式下的波面誤差Tab.2 Wave surface error of different

4 結(jié)論

利用有限元分析方法研究傾斜45°安裝放置的大口徑精密透鏡的低應(yīng)力支撐結(jié)構(gòu)，建立透鏡與鏡框的膠結(jié)結(jié)構(gòu)有限元分析模型和鏡框支撐結(jié)構(gòu)有限元分析模型，通過對膠點(diǎn)膠結(jié)分布方式、膠點(diǎn)大小以及鏡框不同支撐方式對透鏡鏡面變形及波面誤差的影響分析，表明在膠點(diǎn)大小為30 mm、矩形膠結(jié)分布方式和鏡框側(cè)面均勻支撐結(jié)構(gòu)時，波面誤差PV值為16.608 nm，RMS值為7.9385 nm，滿足了瑞利判據(jù)要求，為設(shè)計(jì)合理的大口徑光學(xué)元件支撐結(jié)構(gòu)提供了依據(jù)。

［1］X Rongwei，LIU Liren，LIU Hongwei，et al.Support schemes and thermal effects analyses of large-aperture interferometer mirrors［J］.Acta Optica Sinica，2005，25 (6):809－815.(in Chinese)

徐榮偉，劉立人，劉宏展，等.大型干涉儀鏡子的支承設(shè)計(jì)與溫度變形分析［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2005，25(6):809－815.

［2］Malvick A J.Theoretical elastic deformations of the steward observatory 230cm and the optical sciences center 154cm mirrors［J］.Applied Optics，1972，11(3): 575－585.

［3］Blgelow B C.Finite element analysis of large lenses for the keck telescope high resolution echelle spectrograph［C］//Proc of SPIE，1991，1532:15－26.

［4］Hatheway A E.Mounting for a four meter glass mirror［C］//Proc of SPIE，1990，1303:142－149.

［5］LIU Guoqing，MA Wenli.The finite element analysis for large-aperture lightweightmirrormount［J］.Opto-Elechtronic Engineering，2001，28(5):14－18.(in Chinese)

劉國慶，馬文禮.大口徑輕質(zhì)鏡支撐的有限元分析［J］.光電工程，2001，28(5):14－18.

［6］WU Xuhua，CHEN Lei，WANG Lei.Design and test of reference mirror in300 mm interferometer［J］.Optics and Precision Engineering，2007，15(8):1235－1240.(in Chinese)

武旭華，陳磊，王磊.300mm干涉儀參考鏡的設(shè)計(jì)及測試［J］.光學(xué)精密工程，2007，15(8):1235－1240.

［7］Nakagawa，Yamamoto A.Performance test result of LUCE (Laser utilizing communications equipment)engineer model［C］//Proc of SPIE，2000，3932:68－76.

［8］ZHANG Dejiang，LIU Liren，X Rongwei，et al.Finite element analysis for wave front error of lenses induced by gravity［J］.Acta Optica Sinica，2005，25(4):538－542.(in Chinese)

張德江，劉立人，徐榮偉，等.透鏡自重變形引起波像差的有限元分析［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2005，25(4): 538－542.

［9］FENG Youjun，ZHANG Rongzhu.Optimization and analysis of active support technology of thin mirror with large aperture［J］.High Power Laser and Particle Beams.2008，20(2):239－344.(in Chinese)

馮友君，張蓉竹.大口徑薄型光學(xué)鏡面支撐方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.強(qiáng)激光與粒子束，2008，20(2):239－344.

［10］WANG Xucheng，SHAO Min.The basic principles of finite element and numerical methods［J］.Beijing:Tsinghua University，2006.(in Chinese)

王勖成，邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2006.

［11］Yoder P R.Opto-mechanical systems design［M］.Beijing:China Machine Press，2008.

［12］HAN Xu，WU Qingwen，DONG Deyi，et al.Application of RTV adhesivemodeling to structure analysis of reflective mirror［J］.Optics and Precision Engineering，2010，18 (1):1128－125.(in Chinese)

韓旭，吳清文，董德義，等.室溫硫化膠層建模在透鏡結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用［J］.光學(xué)精密工程，2010，18(1): 118－125.

［13］JIANG Shilei，CHEN Huaqiang.Application of epoxy resin adhesive in optical instruments［J］.China Adhesives，2004，14(3):1－4.(in Chinese)

蔣世磊，陳華強(qiáng).環(huán)氧樹脂膠在光學(xué)部件粘接上的應(yīng)用［J］.中國膠粘劑，2004，14(3):1－4.

［14］WANG Fang，SU Jinqin，WANG Fang，et al.Optimization of Sub-wavelength grating for separating harmonic waves in ICF driver［J］.Acta Optica Sinica，2010，30(2): 508－512.(in Chinese)

王方，粟敬欽，王芳，等.用于ICF驅(qū)動器諧波分離的亞波長光柵優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30(2): 508－512.

Study on low-stress supporting structure for large-aperture precision optical element

ZHOU Yi，LIAO Jing，GUO Rui，LIJian-bo
(College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 510641，China)

In order to analysis and design the low-stress supporting structure for the slant setting large-aperture precision optical element，themirror figure of a slantsetting optical transmittingmirrorwith a tiltangle of45°under gravity load is studied by using finite element analysismethod.Firstly，the finite elementmodels of the optical transmitting mirror with different cemented structures are established，and the influences of the two cementation distribution ways and the different sizes of the glue dots on themirror figure are analyzed from two aspects of cross-section self-weight deformation of themirror diagonal and the wave surface error of themirror figure.Then based on the cemented structures，the finite elementmodels of different lens frame supporting structures are established，and the influence of supporting force distribution way on themirror figure is analyzed from the aspect of the wave surface error of themirror figure.Finally，the low-stress supporting structure for cementing and lens frame supporting is designed.The analysis results show that when the diameter of the glue dot is 30 mm，cementing by the way of rectangular distribution and supporting the lens frame by theway of side uniform support，the PV value and RMSvalue of thewave surface error of themirror figure are 16.608 nm and 7.93895 nm respectively，whichmeet the requirements of the Rayleigh criterion and verify the reasonableness of the support structure.

large-aperture precision optical element;slant;glue;supporting structure;finite element

TH703.3;TH744.5

A

10.3969/j.issn.1001-5078.2014.05.016

1001-5078(2014)05-0554-05

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(No.20110191110006);國 家 高 技 術(shù) 研 究 發(fā) 展 計(jì) 劃 項(xiàng) 目(No.2007AA804217);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(No.CDJXS11111140)資助。

周 憶(1957－)，女，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事精密機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析工作。E-mail:cdzy@cqu.edu.cn

2013-09-02