淺析動力學(xué)問題的求解方法

趙麗霞

（安徽理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系，安徽 淮南 232001）

動力學(xué)是研究物體運(yùn)動與力之間關(guān)系的學(xué)科，生活日益發(fā)展的今天，動力學(xué)已經(jīng)涉及到各個領(lǐng)域，生產(chǎn)方面：石油的開采、汽車的研發(fā)、航空航海、機(jī)械的研發(fā)等。生活方面：足球動力學(xué)、排球動力學(xué)、高爾夫動力學(xué)等。因此，隨著動力學(xué)的廣泛應(yīng)用，研究該問題的求解方法不僅有著重要的理論意義，而且具有重要的工程實(shí)踐意義。在經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展中，對動力學(xué)問題的研究主要有兩個角度：牛頓力學(xué)和分析力學(xué)。

1 牛頓力學(xué)

牛頓力學(xué)大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學(xué)。其求解動力學(xué)問題時主要依據(jù)的就是我們比較熟悉的動量定理、動量矩定理、動能定理三大動力學(xué)普遍定理。

1.1 主要內(nèi)容

（1）動量定理

在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動量的改變量等于在這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。即

（2）動量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和。即

（3）動能定理

質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過程中所作的功之和。即

1.2 動力學(xué)三大定理的對比分析

（1）動量定理反應(yīng)力對時間的累積效應(yīng)，而動能定理反應(yīng)力對路程的累積效應(yīng)。

（2）動量和動能定理無需對過程是怎樣變化的細(xì)節(jié)深入的研究，而更關(guān)心的是運(yùn)動狀態(tài)變化即改變結(jié)果量及其引起變化的原因。對任何過程的恒力、變力；勻變速、非勻變速；直線運(yùn)動、曲線運(yùn)動；時間長、瞬間過程；單、多過程都能運(yùn)用。但動量矩定理只適用于瞬時狀態(tài)。

（3）動量和動量矩定理表達(dá)式均是矢量形式，且內(nèi)力不參與計算；動能定理表達(dá)式為標(biāo)量形式，并且若系統(tǒng)內(nèi)力做功，方程中也必須包含該內(nèi)力。

1.3 使用動力學(xué)三大定理解題的優(yōu)先順序

（1）在涉及力、位移時優(yōu)先考慮能量途徑。

（2）在涉及力、時間時優(yōu)先考慮動量途徑。

（3）若研究對象做定軸轉(zhuǎn)動或平面運(yùn)動，則一般先考慮動量矩定理。

2 分析力學(xué)

分析力學(xué)是理論力學(xué)的一個分支，它通過用廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法，研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問題，是對經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)。分析力學(xué)是獨(dú)立于牛頓力學(xué)的描述力學(xué)世界的體系。分析力學(xué)的基本原理同牛頓運(yùn)動三定律之間可以互相推出。分析力學(xué)又分為拉格朗日力學(xué)或哈密頓力學(xué)。前者以拉格朗日量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動方程稱為拉格朗日方程，后者以哈密頓量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動方程為哈密頓正則方程。

2.1 主要內(nèi)容

（1）動力學(xué)普遍方程

在理想約束情況下，任一瞬時，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所作虛功之和等于零。即

（2）拉格朗日方程

其中T為質(zhì)點(diǎn)系的動能；L為質(zhì)點(diǎn)系的動勢L=T-V；qk為廣義坐標(biāo)；q·k為廣義速度。

（3）哈密頓正則方程

2.2 三種方程的對比分析

（1）在動力學(xué)普遍方程中不會出現(xiàn)約束反力，它提供了具有任意多自由度系統(tǒng)的全部運(yùn)動方程，但是由于約束的存在，求解時需找出虛位移之間的關(guān)系，有時很不方便。

（2）拉格朗日方程采用廣義坐標(biāo)建立，它提供了與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立微分方程，對于解決復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題是比較簡便和有效的。

（3）哈密頓正則方程與拉格朗日方程是等價的，將廣義動量引入到方程中，方程數(shù)目比拉格朗日方程數(shù)目更多，但是它的形式是簡單而對稱的，而且微分方程階數(shù)低，更易于求解。

3 牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對比分析

（1）牛頓力學(xué)以牛頓定律為理論基礎(chǔ)，分析力學(xué)的基本原理主要是虛功原理和達(dá)朗伯原理，而前者是分析靜力學(xué)的基礎(chǔ)；前后兩者結(jié)合，便可得到動力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動力方程。

（2）牛頓力學(xué)主要采用幾何法求解問題，而分析力學(xué)主要是運(yùn)用分析的方法。

（3）在研究觀點(diǎn)上牛頓力學(xué)側(cè)重力，分析力學(xué)則是側(cè)重更廣泛意義的能量，所以它具有高度的統(tǒng)一性和普遍性。

（4）分析力學(xué)引入了廣義坐標(biāo)、廣義力、廣義動量等，使分析力學(xué)的方法與結(jié)論所適用的范圍可以超出力學(xué)的領(lǐng)域。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動力學(xué)與振動、航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動力學(xué)以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對論力學(xué)。

（5）牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的研究對象都可以是質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系可視為一切宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由1到無窮。但在牛頓力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)系主要是剛體，而分析力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)系可以推廣到彈性體、流體等以及它們的綜合體。

（6）對于自由質(zhì)點(diǎn)或比較簡單的質(zhì)點(diǎn)系，牛頓力學(xué)與分析力學(xué)兩種方法無優(yōu)劣之分，有時后者反而顯得麻煩一些，但是分析力學(xué)對于具有約束的復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的求解更為優(yōu)越，因?yàn)橛辛思s束方程，系統(tǒng)的自由度就可減少，運(yùn)動微分方程組的階數(shù)隨之降低，更易于求解。

4 結(jié)論

通過前面的分析，我們知道動力學(xué)問題的求解方法比較多，在工程實(shí)際中，應(yīng)根據(jù)具體問題類型選擇最佳的求解方法，這就需要我們熟悉各種求解方法的適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)。同時，通過牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對比，從對運(yùn)動方程建立的方法的研究，可以看出分析力學(xué)具有更高的統(tǒng)一性和普遍性，它的適用范圍可以超出力學(xué)領(lǐng)域向其它學(xué)科延伸。

［1］王振發(fā).分析力學(xué)[M].科學(xué)出版社.

［2］郭志榮,王晨,等.理論力學(xué)中的牛頓力學(xué)與分析力學(xué)方法之淺析[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報,2009(02).

［3］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].高等教育出版社.