基于頻響函數(shù)法的路面激勵(lì)下車(chē)輪軸頭力的估計(jì)

靳 暢，周 鋐，慕 樂(lè)

(同濟(jì)大學(xué)新能源汽車(chē)工程中心，上海 201804)

前言

近年來(lái)，對(duì)于動(dòng)力總成系統(tǒng)振動(dòng)噪聲的研究及優(yōu)化日趨成熟，動(dòng)力總成對(duì)車(chē)內(nèi)振動(dòng)噪聲的貢獻(xiàn)得到了有效控制。這使得其它振動(dòng)源所引起的車(chē)內(nèi)振動(dòng)噪聲顯得突出，其中路面激勵(lì)是重要的一方面。在粗糙路面激勵(lì)下，輪胎和車(chē)輪既會(huì)衰減路面激勵(lì)能量又能產(chǎn)生新的激勵(lì)，從而成為新的激勵(lì)源。路面通過(guò)接觸面對(duì)輪胎不斷進(jìn)行局部壓縮和釋放，同時(shí)不斷地發(fā)生滾擠和釋放，共同形成包括垂向力Fz、側(cè)向力Fy、縱向力Fx、翻轉(zhuǎn)力矩Mx、牽引力矩My和回正力矩Mz的車(chē)輪軸頭六分力載荷，引起車(chē)內(nèi)的振動(dòng)和噪聲。測(cè)量軸頭載荷對(duì)車(chē)內(nèi)振動(dòng)噪聲的預(yù)測(cè)和控制具有重要的作用［1－2］。目前普遍采用車(chē)輪力傳感器獲取軸頭載荷信號(hào)，但是設(shè)備價(jià)格十分昂貴，安裝較復(fù)雜，需要輪輞適配等裝置。本文中嘗試采用基于頻響函數(shù)載荷識(shí)別方法，結(jié)合剛體動(dòng)力學(xué)理論來(lái)間接估計(jì)軸頭力載荷。

1 基本理論

本文中闡述了頻響函數(shù)法估計(jì)車(chē)輪軸頭六分力的基本理論。提出頻響函數(shù)法識(shí)別車(chē)輪軸頭載荷，借助于剛體動(dòng)力學(xué)的基本理論，采用附加剛體質(zhì)量的方法推導(dǎo)出響應(yīng)點(diǎn)到軸頭六分力的頻響函數(shù)，為實(shí)車(chē)工況下車(chē)輪軸頭載荷的估計(jì)提供理論依據(jù)。

1.1 頻響函數(shù)法載荷識(shí)別

國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)頻響函數(shù)法識(shí)別載荷的研究已進(jìn)行多年。文獻(xiàn)［3］中首先采用頻域法通過(guò)加速度響應(yīng)識(shí)別了直升機(jī)主軸的動(dòng)態(tài)載荷;文獻(xiàn)［4］中用動(dòng)應(yīng)變測(cè)量作為已知信息并使用頻域方法識(shí)別動(dòng)載荷，建立了較系統(tǒng)的頻域識(shí)別方法;文獻(xiàn)［5］中指出測(cè)量響應(yīng)的數(shù)目超過(guò)待識(shí)別載荷數(shù)目能夠在一定程度上減輕頻響函數(shù)病態(tài)和平滑濾掉噪聲產(chǎn)生的誤差;文獻(xiàn)［6］中研究了載荷位置未知情況下的載荷識(shí)別問(wèn)題，采用的是頻響函數(shù)直接求逆法，在求逆過(guò)程中利用了奇異值分解技術(shù);文獻(xiàn)［7］中用頻域方法識(shí)別直升機(jī)的動(dòng)載荷;文獻(xiàn)［8］中將隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法做了逆向推廣，用確定性方式求解了平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的荷載譜識(shí)別問(wèn)題;文獻(xiàn)［9］中提出改進(jìn)的頻響函數(shù)矩陣求逆算法使頻響函數(shù)由長(zhǎng)方陣改為簡(jiǎn)單的方陣形式，再將計(jì)算出的激勵(lì)力求平均;文獻(xiàn)［10］中用逆虛擬激勵(lì)法識(shí)別隨機(jī)載荷譜并用試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

對(duì)于振動(dòng)噪聲的研究，在車(chē)輪軸頭載荷估計(jì)中，可以將懸架系統(tǒng)視為多輸入多輸出的線性系統(tǒng)［11］，輸入f是車(chē)輪作用在軸頭的力載荷，輸出X是懸架側(cè)的振動(dòng)響應(yīng)，懸架系統(tǒng)的特性［H(ω)］是懸架側(cè)振動(dòng)響應(yīng)到軸頭載荷的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)。對(duì)于線性時(shí)不變的系統(tǒng)，如果輸入是隨機(jī)且部分相關(guān)的，那么系統(tǒng)的響應(yīng)也是隨機(jī)且部分相關(guān)的。根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論［1］，輸入和輸出信號(hào)用功率譜密度表示，分別為［Gf(ω)］和［Gx(ω)］，響應(yīng)的自功率譜密度矩陣可以表示為

式中H表示共軛裝置。若已知響應(yīng)的自功率譜密度矩陣［Gx(ω)］和懸架系統(tǒng)的特性［H(ω)］，可以得到軸頭載荷［Gf(ω)］:

式中+表示頻響函數(shù)的偽逆矩陣。

1.2 剛體動(dòng)力學(xué)

從式(2)可知，獲取軸頭力載荷的關(guān)鍵是對(duì)懸架系統(tǒng)頻響函數(shù)［H(ω)］的識(shí)別。本文中利用附加剛體質(zhì)量的慣性參數(shù)推導(dǎo)頻響函數(shù)［12］。以直角慣性坐標(biāo)系(oxyz)為運(yùn)動(dòng)參考系，其原點(diǎn)o與靜止剛體的原點(diǎn)相重合。剛體的微振動(dòng)可用質(zhì)心的3個(gè)移動(dòng) xc、yc、zc和繞參考軸的 3 個(gè)微轉(zhuǎn)動(dòng) θxc、θyc、θzc來(lái)描述。剛體上任一點(diǎn) qi(x¨i，y¨i，z¨i)的運(yùn)動(dòng)加速度可以看作是剛體模態(tài)的疊加［13］，可表示為

式中:［qi］為i點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度向量;［Ψi］為在小角度擾動(dòng)下的剛體模態(tài)線性變換矩陣;［K］為模態(tài)向量參與向量。

設(shè)剛體模態(tài)以原點(diǎn)o的x、y、z3個(gè)方向的平動(dòng)和繞x、y、z3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)描述，若將o點(diǎn)的剛體模態(tài)轉(zhuǎn)化為單位位移，則模態(tài)參與向量［K］就等同于o點(diǎn)在 x、y、z3個(gè)方向的平動(dòng)和繞 x、y、z3 個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，可表示為

式中:xci、yci和zci為 i點(diǎn)相對(duì)于 o 點(diǎn)的幾何坐標(biāo);x¨c、y¨c、z¨c、θ¨

xc、θ¨

yc、θ¨zc為剛體的運(yùn)動(dòng)加速度。

若已知模態(tài)參與向量［K］，就可以確定剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。為計(jì)算模態(tài)參與向量，至少需要6個(gè)運(yùn)動(dòng)加速度，因此應(yīng)至少獲得剛體上2個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加速度向量。為提高數(shù)值計(jì)算的精度，使運(yùn)動(dòng)加速度響應(yīng)數(shù)大于模態(tài)參與向量的6個(gè)自由度，產(chǎn)生的增廣系統(tǒng)為

式(5)還可表示為

通過(guò)式(6)求得的模態(tài)參與向量［K］代表了剛體的全部運(yùn)動(dòng)特性。為減少測(cè)量信號(hào)產(chǎn)生的誤差，提高估計(jì)的準(zhǔn)確度，引入一個(gè)計(jì)權(quán)矩陣［W］:

式中［W］為一個(gè)對(duì)角元素有0的單位陣，在計(jì)算模態(tài)參與向量［K］時(shí)，測(cè)量信號(hào)差的通道被剔除。

設(shè)模態(tài)參與向量［K］是由測(cè)得的剛體上的實(shí)際加速度響應(yīng)［qm］乘以線性變換矩陣［Ψ］的偽逆矩陣得到:

將計(jì)算得到的模態(tài)參與向量帶入式(6)，剛體上每一點(diǎn)的平動(dòng)計(jì)算如下:

若每通道測(cè)量的信號(hào)都很理想，則計(jì)算得到的剛體上的響應(yīng)與測(cè)量的相一致。但由于實(shí)際信號(hào)測(cè)量存在誤差，為剔除測(cè)量信號(hào)差的通道，定義測(cè)量信號(hào)在頻域內(nèi)的歸一化誤差:

在所關(guān)心的頻率內(nèi)，每通道信號(hào)誤差的均值可定為

式中n為譜線數(shù)。平均誤差大的信號(hào)在模態(tài)參與向量的計(jì)算中應(yīng)予以剔除:

運(yùn)用以上剛體動(dòng)力學(xué)理論，在車(chē)輪軸頭處安裝一個(gè)已知質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛體質(zhì)量塊，通過(guò)剛體的慣性參數(shù)推導(dǎo)出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到作用于軸頭與剛體質(zhì)量安裝面中心軸頭力的頻響函數(shù)。

若有力作用在剛體質(zhì)量上m點(diǎn)，該點(diǎn)的隨體坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為作用于原點(diǎn)的廣義力［14］為

式中:［FTa］為原點(diǎn)o的6自由度合力向量;［Fam］為作用在剛體上m點(diǎn)的力向量;［Ωm］為小角度擾動(dòng)下作用力和原點(diǎn)合力的線性變換矩陣。

式(13)可寫(xiě)成如下形式:

式中:Fxm、Fym和Fzm為作用在剛體上m點(diǎn)的分力;xcm、ycm和zcm為m點(diǎn)相對(duì)于o點(diǎn)的幾何坐標(biāo)。

當(dāng)有多個(gè)力作用在剛體上時(shí)，原點(diǎn)合力的估計(jì)為

將式(15)寫(xiě)成:

作用在原點(diǎn)的合力FTa與作用在剛體質(zhì)量上的軸頭六分力FR可推出剛體的運(yùn)動(dòng)方程:

式中:［M］為6×6的慣性參數(shù)矩陣;［A］為原點(diǎn)的加速度向量;［FTa］為外力在原點(diǎn)產(chǎn)生的合力;［FR］為作用在剛體質(zhì)量上的軸頭六分力。

式(17)展開(kāi)寫(xiě)為:

式中:M 為剛體的質(zhì)量;Ixx、Ixy、Ixz、Iyx、Iyy、Iyz、Izx、Izy和Izz為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)。

1.3 懸架響應(yīng)點(diǎn)到軸頭力的頻響函數(shù)估計(jì)

根據(jù)式(12)，剛體質(zhì)量原點(diǎn)的加速度向量可以表示為

式中［am］為剛體質(zhì)量上的作用力產(chǎn)生的加速度響應(yīng)向量。

剛體上的作用力和加速度響應(yīng)的關(guān)系為

式中［Hm］為剛體質(zhì)量上響應(yīng)點(diǎn)到作用力的頻響函數(shù)矩陣。

式中［Hc］為6×6的頻響函數(shù)矩陣，剛體質(zhì)量原點(diǎn)的加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。

作用力到懸架側(cè)加速度響應(yīng)的頻響函數(shù)［Has］可以通過(guò)測(cè)量得到:

式中［s］為懸架側(cè)的加速度響應(yīng)。

將式(23)代入式(25)可以得到:

將式(24)代入式(26)，得到軸頭力與懸架側(cè)加速度響應(yīng)的關(guān)系式:

式中［Hs］為懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。

通過(guò)式(28)估計(jì)出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到作用于軸頭與剛體質(zhì)量安裝面中心的軸頭力之間的頻響函數(shù)，再根據(jù)式(2)可以確定軸頭六分力:

式中:［Gs］為實(shí)際工況下懸架側(cè)加速度響應(yīng)自功率譜密度;［Hs］為計(jì)算的懸架加速度響應(yīng)到軸頭力的頻響函數(shù);［Gf］為待估計(jì)的軸頭六分力的自功率譜密度。

2 試驗(yàn)過(guò)程

2.1 頻響函數(shù)的測(cè)量

根據(jù)式(24)和式(28)，需要測(cè)量剛體質(zhì)量塊上加速度響應(yīng)到剛體質(zhì)量塊上激勵(lì)的頻響函數(shù)以及懸架側(cè)響應(yīng)點(diǎn)到剛體質(zhì)量塊上激勵(lì)的頻響函數(shù)，以此計(jì)算懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。采用錘擊法測(cè)量頻響函數(shù)，根據(jù)安裝、試驗(yàn)要求以及剛體假設(shè)，設(shè)計(jì)一質(zhì)量塊如圖1所示，質(zhì)量塊應(yīng)避免與軸頭及懸架上其他部件產(chǎn)生干涉，非對(duì)稱(chēng)及偏心的設(shè)計(jì)有利于角加速度的測(cè)量。另外，水平和垂直面保證加速度計(jì)的安裝和其坐標(biāo)位置的準(zhǔn)確性。為確保質(zhì)量塊的剛體性質(zhì)，材料選用鋁，厚度為20mm，慣性參數(shù)矩陣為

通過(guò)試驗(yàn)得到其第一階固有頻率為1 672Hz。由于路面激勵(lì)引起的車(chē)內(nèi)振動(dòng)噪聲頻率主要集中在150Hz以內(nèi)［15］，所以設(shè)計(jì)的質(zhì)量塊在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)滿足剛體的假設(shè)。拆除試驗(yàn)車(chē)輛右前輪，通過(guò)5個(gè)車(chē)輪安裝螺栓將質(zhì)量塊緊固在轉(zhuǎn)子上如圖2所示。為保持頻響函數(shù)測(cè)量的自由邊界條件，采用如圖3所示的空氣彈簧支撐右前懸架。

根據(jù)式(5)，為了求得質(zhì)量塊原點(diǎn)的加速度和角加速度，需要質(zhì)量塊上至少有6個(gè)加速度響應(yīng)，為提高計(jì)算精度，在質(zhì)量塊上布置15個(gè)響應(yīng)點(diǎn)，位置如圖4中M1～M5所示。為了得到懸架側(cè)的加速度響應(yīng)，在懸架側(cè)5個(gè)點(diǎn)布置三向加速度計(jì)。根據(jù)式(15)可以計(jì)算出外力作用在原點(diǎn)處的合力，包括縱向力、側(cè)向力、垂向力、繞X的力矩、繞Y的力矩和繞Z的力矩6個(gè)分力，因此至少需要6個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，為提高測(cè)量及數(shù)值計(jì)算精度，選擇14個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，包括4個(gè)X向、5個(gè)Y向和5個(gè)Z向，均勻分布在質(zhì)量塊上，位置如圖5所示。試驗(yàn)采用錘擊法，使用橡膠錘頭保證中低頻的激勵(lì)能量。每個(gè)激勵(lì)點(diǎn)敲擊5次，進(jìn)行平均，得到質(zhì)量塊以及懸架側(cè)的頻響函數(shù)。

2.2 路面激勵(lì)工況的信號(hào)采集

測(cè)量實(shí)車(chē)在路面激勵(lì)工況下懸架側(cè)的加速度響應(yīng)自功率譜密度。同時(shí)安裝Kistler S635應(yīng)變式車(chē)輪力傳感器，測(cè)量軸頭六分力，以驗(yàn)證頻響函數(shù)法估計(jì)軸頭載荷的有效性。試驗(yàn)在試車(chē)場(chǎng)進(jìn)行，選取比利時(shí)道路作為路面激勵(lì)，車(chē)速為40km/h。由于車(chē)輪力傳感器所定義的坐標(biāo)原點(diǎn)O'與本文中所定義的坐標(biāo)原點(diǎn)O在Y向(車(chē)輛橫向)不重合，如圖6所示，驗(yàn)證六分力結(jié)果須進(jìn)行坐標(biāo)變換:

3 軸頭六分力的估計(jì)

3.1 誤差通道的剔除

若在2.1節(jié)中剛體質(zhì)量上M1～M5測(cè)點(diǎn)頻響函數(shù)的測(cè)量都很理想，那么根據(jù)式(9)，計(jì)算得到的剛體質(zhì)量加速度響應(yīng)應(yīng)與測(cè)量所得的相一致。但實(shí)際條件下會(huì)導(dǎo)致測(cè)量誤差的存在。表1列出了根據(jù)式(11)計(jì)算的質(zhì)量塊上響應(yīng)點(diǎn)的測(cè)量誤差，其中大于0.1(即誤差大于10%)的信號(hào)在后面的計(jì)算中通過(guò)計(jì)權(quán)矩陣［W］被剔除。

表1 質(zhì)量塊上響應(yīng)的平均測(cè)量誤差

3.2 頻響函數(shù)的計(jì)算

根據(jù)式(24)和式(28)并通過(guò)2.1節(jié)的試驗(yàn)計(jì)算出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到車(chē)輪軸頭垂向力Fz、側(cè)向力Fy、縱向力Fx、翻轉(zhuǎn)力矩Mx、牽引力矩My和回正力矩Mz6個(gè)分力的頻響函數(shù)［Hs］。圖7和圖8為計(jì)算得到的懸架中3個(gè)響應(yīng)點(diǎn)到軸頭縱向力Fx、牽引力矩My的頻響函數(shù)。

3.3 軸頭六分力的計(jì)算驗(yàn)證

通過(guò)3.2節(jié)計(jì)算的懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)矩陣以及道路試驗(yàn)得到的實(shí)車(chē)工況下懸架側(cè)加速度響應(yīng)的自功率譜密度，根據(jù)式(29)估計(jì)出車(chē)輪軸頭六分力載荷，并與車(chē)輪力傳感器直接測(cè)量的軸頭力做了對(duì)比，如圖9～圖14所示。

計(jì)算結(jié)果中，側(cè)向力Fy、垂向力Fz和回正力矩Mz與實(shí)測(cè)值存在一定偏差，產(chǎn)生的原因如下:

(1)用頻響函數(shù)法進(jìn)行載荷識(shí)別對(duì)于輸入輸出是基于線性關(guān)系的假設(shè)，在實(shí)際測(cè)量中，懸架系統(tǒng)存在一定的非線性導(dǎo)致識(shí)別產(chǎn)生誤差;

(2)實(shí)車(chē)道路試驗(yàn)時(shí)懸架側(cè)加速度響應(yīng)被重新布置，與測(cè)量頻響函數(shù)時(shí)的位置會(huì)有一些偏差，造成結(jié)果的偏差;

(3)在頻響函數(shù)測(cè)量過(guò)程中，由于空間限制，不能完全保證力錘每次激勵(lì)的位置與方向上的一致性，這會(huì)影響頻響函數(shù)測(cè)量的結(jié)果;

(4)在計(jì)算頻響函數(shù)［Hs］的逆時(shí)，對(duì)于非方陣只能求其廣義逆，會(huì)產(chǎn)生誤差，固有頻率附近頻響函數(shù)的病態(tài)和頻響函數(shù)的測(cè)量誤差，會(huì)出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性，當(dāng)頻響函數(shù)矩陣階次較高時(shí)，常常由于矩陣的條件數(shù)較差造成病態(tài)，使誤差增大。

4 結(jié)論

闡述了頻響函數(shù)法估計(jì)車(chē)輪軸頭六分力的理論及試驗(yàn)。提出頻響函數(shù)法識(shí)別車(chē)輪軸頭力載荷，采用附加剛體質(zhì)量的方法推導(dǎo)出懸架響應(yīng)點(diǎn)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。設(shè)計(jì)了附加質(zhì)量塊進(jìn)行頻響函數(shù)的測(cè)量，并安裝車(chē)輪力傳感器在比利時(shí)道路進(jìn)行實(shí)車(chē)工況懸架響應(yīng)及軸頭力信號(hào)采集，驗(yàn)證了所論述估計(jì)方法的有效性。發(fā)現(xiàn)部分估計(jì)結(jié)果有一定偏差，從頻響函數(shù)法識(shí)別載荷的假設(shè)前提、傳感器布置、頻響函數(shù)測(cè)量以及其求逆計(jì)算等方面闡述了可能導(dǎo)致偏差的原因，為進(jìn)一步的研究提供了參考。

［1］ 龐劍，諶剛，何華．汽車(chē)噪聲與振動(dòng)——理論與應(yīng)用［M］．北京:北京理工大學(xué)出版社，2006．

［2］ 宋國(guó)民，崔硯宏．汽車(chē)虛擬測(cè)試系統(tǒng)的研究與發(fā)展［J］．世界汽車(chē)，2000(7):12－13．

［3］ Bartlett F D，F(xiàn)lannelly WG．Model Verification of Force Determination for Measuring Vibration Loads［J］．Journal of the American Helicopter Society，1979，24(4):10－18．

［4］ Hillary B，Ewin D J．The Use of Strain Gauges in Force Determination and Frequency Response Function Measurements［C］．Proceeding of the 2nd IMAC，F(xiàn)lorida，USA，1984:627－634．

［5］ Stevens K K．Force Identification Problems-an Overview［C］．Proceedings of SEM Spring Conference on Experimental Mechanics，F(xiàn)L，USA，1987:838－844．

［6］ O’Callahan J，Piergentili F．Force Estimation Using Operational Data［C］．Proceedings of 8nd IMAC，1994，2768:1586 －1592．

［7］ 李萬(wàn)新，張景繪．載荷確定方法和直升機(jī)六力素識(shí)別［R］．航空工業(yè)部飛行試驗(yàn)中心科技報(bào)告，1884．

［8］ 林家浩，智浩，郭杏林．平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)載荷識(shí)別逆虛擬激勵(lì)法(一)［J］．計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，1998，15(2):127－136．

［9］ 田燕，王菁，鄭海起．多載荷識(shí)別頻響函數(shù)矩陣求逆的改進(jìn)算法［J］．軍械工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，14(4):13－17．

［10］ 李東升，郭杏林．隨機(jī)激勵(lì)下載荷譜識(shí)別［J］．大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，45(5):561－566．

［11］ Park Joonhyung，Gu Perry．Operational Spindle Load Estimation Methodology for Road NVH Applications［C］．SAE Paper 2001－01－1606．

［12］ Park Joonhyung，Gu Perry．A New Experimental Methodology to Estimate Chassis Force Transmissibility and Applications to Road NVH Improvement［C］．SAE Paper 2003 －01 －1711．

［13］ Li Shumin，William Flagung，David Brown．Indirect Measurement of Rotation/Moments Impedance Functions［C］．SAE Paper 951271．

［14］ Declercq SM，Lazor D R，Brown D L．A Smart 6-DOFLoad Cell Development［C］．Proceedings of IMAC-XX:A Conference on Structural Dynamics，Vol．4753 I:844-853．

［15］ Bryan M E．A Tentative Criterion for Acceptable Noise Levels in Passenger Vehicles［J］．Journal of Sound and Vibration，1976，48(4):525－535．