實(shí)變函數(shù)課程中點(diǎn)集與測度論教學(xué)改革初探

趙侯宇

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，中國 重慶 401331）

點(diǎn)集和測度論作為實(shí)變函數(shù)課程中的重要組成部分，占據(jù)著重要位置.這部分內(nèi)容具有理論性強(qiáng)、概念性多、比較抽象等特點(diǎn),教師在進(jìn)行授課時(shí)，如果只是一味的介紹，會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)、抵觸情緒，進(jìn)而影響教學(xué)質(zhì)量.如果在教學(xué)過程中做一些適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，設(shè)置一些問題，讓學(xué)生利用學(xué)到的知識自己探索，這樣不僅使學(xué)生對知識掌握的更加牢固，也能使教學(xué)效果事半功倍.下面，我們通過幾個(gè)定理和例題來解釋教師在授課時(shí)的技巧和方法對學(xué)生影響的重要性.

例1 證明：P0∈E′的充要條件是在任意含有P0的鄰域U(P,δ)(不一定以P0為中心)中，恒有異于P0的點(diǎn)P1屬于E(事實(shí)上，這樣的P1還有無窮多個(gè))；而P0∈E的開核的充要條件則是由含有P0的鄰域U(P,δ)(同樣，不一定以 P0為中心)存在，使 U(P,δ)?E.

分析：此題考查對幾種點(diǎn)集的概念及相關(guān)性質(zhì)的理解，主要包括開核、導(dǎo)集的定義及聚點(diǎn)的等價(jià)性質(zhì).事實(shí)上，只要熟練掌握這些概念，便能自然的推導(dǎo)出本題的結(jié)論.對于第一問，首先應(yīng)該知道導(dǎo)集具體是什么樣的集合，其次，利用導(dǎo)集中的點(diǎn)都是聚點(diǎn)聯(lián)想到聚點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)條件；對于第二問，只要知道了開核的定義，從此下手便可得到結(jié)果.針對上面的解題思路，只要教師在課堂上介紹這些集合的具體含義，并逐步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出相關(guān)性質(zhì)，相信學(xué)生會較順利的完成該題.

證明：（1）若 P0∈E′，則對任一含 P0的鄰域 U(P,δ)，必有以 P0為中心的鄰域 U(P0)?U(P,δ)，所以存在 P1∈U(P0)?E∩U(P,δ)，且 P1=P，即任何含有P0的鄰域中含有一點(diǎn)P1異于P0而屬于E.

反之，若一含有P0的鄰域有異于P0的點(diǎn)P1屬于E，當(dāng)然對任一P0的鄰域 U(P0)中也有異于P0的點(diǎn)P1屬于 E，故 P0∈E′.

（2） 若 P∈E 的開核，則有 U(P0)?E.反之，若 P0∈U(P,δ)?E，必有U(P0)?U(P,δ)?E,即 P0∈E 的開核.

例2 關(guān)于康托三分集的學(xué)習(xí).

分析：康托三分集是點(diǎn)集理論中的重要例子，如何講好這部分內(nèi)容是一個(gè)值得考慮的問題.教師可根據(jù)前面所學(xué)知識提出一些疑問，例如是否存在一個(gè)測度為零的完備集，并且它的基數(shù)是連續(xù)基數(shù)，借此引出康托集的概念.不妨利用幾何的方式，即在黑板上畫出康托集是如何構(gòu)造出來的，隨之將其中的性質(zhì)介紹出來.比如每次取完中間一段區(qū)間后，剩下的每個(gè)區(qū)間長度是多少，它們之間是否有公共端點(diǎn)等，一步步的帶著學(xué)生將康托三分集的性質(zhì)得到，即：康托三分集是一個(gè)測度為零且具有連續(xù)基數(shù)的疏朗完備集.這樣，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，一定能夠較深刻的理解康托三分集的這些性質(zhì)，課后，只要稍加復(fù)習(xí)，相信學(xué)生能夠熟練掌握這些知識.

例3 設(shè) E?Rq，存在兩列可測集{An}，{Bn}，使得 An?E?Bn且 m(Bn-An)→0(n→∞)，則 E 可測.

分析：此題考查對可測集的概念、性質(zhì)以及測度、外測度的定義.具體來說，我們注意到An?E?Bn，并且告訴了我們An，Bn是兩個(gè)可測集列，因此，可能會用到它們的交集.而交集顯然比每一個(gè)集合都小，從而進(jìn)一步可推導(dǎo)出Bn的交集與E的差集等結(jié)論，這樣順著此條思路，我們便可逐漸得到結(jié)論.該題是學(xué)生在對可測集和測度相關(guān)內(nèi)容熟悉的基礎(chǔ)上的一點(diǎn)推廣，教師對這部分內(nèi)容進(jìn)行講授時(shí)，特別是對可測集的性質(zhì)的介紹，不妨讓學(xué)生根據(jù)可測集的定義，自己去推導(dǎo)幾個(gè)性質(zhì)，以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

也可測.

例4 設(shè){En}是[0,1]中可測集列，若 m(En)=1,n=1,2,…，則=1.

分析：本題考查可測集的相關(guān)性質(zhì)，具體來說是指通過集合間的運(yùn)算，運(yùn)用可測集的性質(zhì)進(jìn)行討論來完成證明.事實(shí)上，我們看到要證的測度為1，又觀察到而每一個(gè)En的測度都是1，因此聯(lián)想到它們之間的聯(lián)系，不妨取其中一個(gè)集合E1，通過測度定義得到與之相關(guān)的等式，再進(jìn)行計(jì)算，期間我們也能夠發(fā)現(xiàn)整個(gè)區(qū)間[0,1]的測度是1，而每個(gè)En的測度是1，從而每個(gè)En的補(bǔ)集測度為0，這為我們提供了一些信息，證明過程中或許會用到，通過一步步的引導(dǎo)，相信學(xué)生能夠做出此題.

證明：因?yàn)?/p>

而我們知道m(xù)(E1)=1,

所以

即本題結(jié)論得證.

通過對上面幾個(gè)例題和定理的分析，我們可以看到對于點(diǎn)集和測度論這兩部分內(nèi)容及解題過程中應(yīng)用的一些重要技巧和方法都是在對基礎(chǔ)知識熟練掌握基礎(chǔ)上才能夠?qū)崿F(xiàn)的，這個(gè)過程需要教師不斷改進(jìn)教學(xué)手段，通過引導(dǎo)、啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生自己探索，找到學(xué)習(xí)的樂趣，才能使學(xué)生對這門本就相對枯燥的課程產(chǎn)生興趣，進(jìn)一步又促使他們?nèi)ヌ剿?、主動學(xué)習(xí).當(dāng)然，教師在這個(gè)過程中扮演著重要的角色，不單只是講解問題，還要引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，使學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中充分發(fā)揮主動性，自覺地聯(lián)系所學(xué)知識，經(jīng)?？偨Y(jié)，并愿意學(xué)好這門課程.

［1］程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng),胡善文,王漱石.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].3版.北京∶高等教育出版社,2010.

［2］周明強(qiáng).實(shí)變函數(shù)倫[M].北京∶北京大學(xué)出版社,2001.