壓力傳感器最小二乘直線不確定度評(píng)定及應(yīng)用

李群，李鑫武，張賢

(中航工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京100095)

0 引言

壓力傳感器作為現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)較為常用的壓力測(cè)量?jī)x器，大量應(yīng)用于國(guó)防軍工及各種工業(yè)自控環(huán)境。在壓力傳感器的使用過(guò)程中，主要參考工作直線方程來(lái)進(jìn)行壓力測(cè)量，該直線最接近傳感器的實(shí)際工作曲線。能否通過(guò)工作直線及當(dāng)前壓力值準(zhǔn)確地估算壓力傳感器的輸出值(即工作直線的預(yù)測(cè)是否準(zhǔn)確)，直接關(guān)系到測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，因此需要評(píng)定工作直線的不確定度。本文結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)壓力傳感器最小二乘直線不確定度進(jìn)行分析。

1 不確定度分析

1.1 數(shù)學(xué)模型

最小二乘直線是利用最小二乘法、以殘差平方和最小(即傳感器特性曲線與擬合直線相應(yīng)點(diǎn)之差的平方和最小)為原則來(lái)確定的。對(duì)被測(cè)傳感器取m 個(gè)測(cè)量點(diǎn)，進(jìn)行n 個(gè)循環(huán)測(cè)量，則每個(gè)測(cè)量點(diǎn)有2n 個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)定2n 個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為y，根據(jù)m 組數(shù)據(jù)(pi，yi)可擬合出壓力傳感器的最小二乘直線方程:y=a +bp。根據(jù)殘差平方和∑(yi-(a + bpi))2最小原則，得出截距a 和斜率b 的計(jì)算公式如下［1］。

式中:m 為測(cè)量點(diǎn)的個(gè)數(shù);n 為循環(huán)次數(shù);pi為標(biāo)準(zhǔn)壓力值;yi為壓力傳感器在某一測(cè)量點(diǎn)2n 個(gè)輸出值的平均值;為m 個(gè)壓力點(diǎn)的平均值;為m 個(gè)測(cè)量點(diǎn)輸出值的平均值。

1.2 不確定度分量評(píng)定

當(dāng)壓力傳感器對(duì)測(cè)試系統(tǒng)內(nèi)壓力進(jìn)行測(cè)量時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)壓力在該測(cè)量點(diǎn)保持固定值p，由p 引入的不確定度可忽略不計(jì)，因此可認(rèn)為:采用最小二乘直線預(yù)測(cè)壓力傳感器輸出信號(hào)值的不確定度由截距a 和斜率b 引入的兩不確定度分量合成。

截距a 引入的不確定度分量為

斜率b 引入的不確定度分量為

公式(3)，(4)中的s 為殘余標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算方法為

式中:ypi為在壓力點(diǎn)pi處，利用最小二乘直線計(jì)算出的傳感器的輸出值。

殘余標(biāo)準(zhǔn)差s 可用于評(píng)價(jià)測(cè)量過(guò)程中所有隨機(jī)因素對(duì)被測(cè)輸出值y 的單次觀測(cè)的平均差的大小，殘余標(biāo)準(zhǔn)差越小，回歸效果越好，最小二乘直線的準(zhǔn)確度越好。［2］因此，u(a)，u(b)的計(jì)算與殘余標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。

另外u(a)，u(b)兩個(gè)分量的相關(guān)系數(shù)ρa(bǔ)b計(jì)算公式為

1.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定

根據(jù)不確定度傳播定律，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度可表示為

式中:p 為具體的壓力測(cè)量值，由于公式中其他參數(shù)的值在確定最小二乘直線后便可求出，因此，在后續(xù)使用中，最小二乘直線預(yù)測(cè)傳感器輸出值的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度只與p 值有關(guān)。所以在用最小二乘直線表示壓力傳感器工作直線方程時(shí)，建議同時(shí)給出u(a)，u(b)，ρa(bǔ)b的值，以方便用戶在后續(xù)使用過(guò)程中，對(duì)具體壓力點(diǎn)進(jìn)行不確定度計(jì)算。

最后，取k=2，擴(kuò)展不確定度為U=2uc(y)。

2 實(shí)例應(yīng)用與分析

選定一支測(cè)量范圍為0 ～2 psi(1 psi=6.8948 kPa)，信號(hào)輸出范圍為2.5 ～5 V，允許基本誤差為±0.1%FS 的壓力傳感器作為被測(cè)對(duì)象，用一臺(tái)測(cè)量范圍為0 ～14 kPa，準(zhǔn)確度等級(jí)0.01 級(jí)的自動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)壓力發(fā)生器對(duì)壓力傳感器進(jìn)行校準(zhǔn)，供電電源和數(shù)字多用表等配套設(shè)備的技術(shù)指標(biāo)均滿足壓力傳感器檢定規(guī)程的要求。測(cè)量結(jié)果及本次測(cè)量結(jié)果平均值的不確定度如表1所示。

表1 壓力傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)

根據(jù)公式(1)，(2)得出a=2.486373 V，b=1.248238 V/psi，因此，壓力傳感器工作直線方程可表示為y=2.486373 +1.248238p。

通過(guò)公式(5)得出殘余標(biāo)準(zhǔn)差s=0.00044 V;由公式(3)，(4)，(6)得出截距a 引入的不確定度分量u(a)=0.00032 V;斜率b 引入的不確定度分量u(b)=0.00027 V/psi;相關(guān)系數(shù)ρa(bǔ)b=1.0000。

通過(guò)這些參數(shù)即可求出壓力傳感器在某一壓力點(diǎn)的輸出值及其不確定度。以壓力測(cè)量值1.6 psi 為例，采用最小二乘直線計(jì)算該點(diǎn)輸出值為

y1.6=2.486373 +1.248238×1.6=4.4836(V)

由公式(7)可得出該值的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

擴(kuò)展不確定度U=2uc(y)=0.0015 V(k=2)

壓力傳感器在1.6 psi 壓力點(diǎn)的測(cè)量結(jié)果可表示為(4.4836±0.0015)V(k=2)。各測(cè)量點(diǎn)預(yù)測(cè)值不確定度如表2所示。

表2 各壓力點(diǎn)預(yù)測(cè)值及其不確定度

表1 所列出的本次測(cè)量結(jié)果平均值的擴(kuò)展不確定度是上級(jí)計(jì)量機(jī)構(gòu)在對(duì)壓力傳感器進(jìn)行計(jì)量后，綜合考慮重復(fù)性、分辨力、顯示儀表、標(biāo)準(zhǔn)器、高度差等引入的不確定度分量求出的［3］，此不確定度只包含了本次測(cè)量過(guò)程中的各個(gè)不確定度分量，只針對(duì)本次測(cè)量結(jié)果或測(cè)量結(jié)果平均值有效，沒(méi)有考慮后續(xù)使用時(shí)各不確定度因素。表2 給出的預(yù)測(cè)值的擴(kuò)展不確定度是以最小二乘直線為基礎(chǔ)求出的，最小二乘直線是根據(jù)殘差平方和最小原則求得的，最接近于壓力傳感器實(shí)際工作曲線，求其預(yù)測(cè)值的不確定度對(duì)于壓力傳感器的后續(xù)使用更有參考意義。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)壓力傳感器最小二乘直線方程，對(duì)其預(yù)測(cè)值的不確定度進(jìn)行了評(píng)定，并通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。建議相關(guān)實(shí)驗(yàn)室在用最小二乘直線表示壓力傳感器工作直線方程時(shí)，同時(shí)給出u(a)，u(b)，ρ(a，b)的值，以方便用戶在后續(xù)使用時(shí)，對(duì)具體壓力點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)值的不確定度計(jì)算。

［1］國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局.JJG 860-1994 壓力傳感器(靜態(tài))檢定規(guī)程［S］.北京:中國(guó)計(jì)量出版社，1994.

［2］國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局.JJF 1059.1-2012 測(cè)量不確定度評(píng)定與表示［S］.北京:中國(guó)質(zhì)檢出版社，2013.

［3］中國(guó)計(jì)量測(cè)試學(xué)會(huì)壓力計(jì)量專業(yè)委員會(huì).壓力測(cè)量不確定度評(píng)定實(shí)例［M］.北京:中國(guó)質(zhì)檢出版社，2012.