寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間拓撲關系的表示及推理

李 健，歐陽繼紅，朱佳斌，廖夢蘭，趙 慧

（1.吉林農(nóng)業(yè)大學信息技術學院，長春130118；2.吉林大學計算機科學與技術學院，長春130012；3.吉林大學教育部符號計算與知識工程重點實驗室，長春130012；4.浙江工業(yè)大學 計算機科學與技術學院，杭州310014；5.吉林大學數(shù)學研究所，長春130012）

有關空間推理［1］的基本模型主要有4－交模型［2］、區(qū)域間拓撲關系的層次表達法［3］等和區(qū)域連接演算（Region connection calculus，RCC）模型［4］。這些模型主要是用來描述簡單對象間的拓撲關系的，對于同時結合寬邊界區(qū)域［5］和簡單區(qū)域之間的拓撲關系很少涉及，因此其表達能力相對有限，一定程度上制約了空間推理在其相關學科的應用及發(fā)展。

本文為了對寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間的拓撲關系進行表示和推理，基于RCC5得到了寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間的交集模型，根據(jù)寬邊界模型的約束條件提出算法，可以得到11種可以實現(xiàn)且完備的拓撲關系。進而可將本文所建立的寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間拓撲關系的表示和推理模型，用于熱帶氣旋路徑預報中對于異常路徑［6］的預報，可以表示和分析島嶼沿海地區(qū)受氣旋影響的情況，進而完善島嶼沿海地區(qū)臺風預警和災害評估機制，對建立防災預警機制、減小災害損失和人員傷亡具有指導意義。

1 寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間的交集模型

1.1 寬邊界區(qū)域定義

寬邊界區(qū)域［7］是一類對邊界不敏感的模糊區(qū)域，可將其分為外部區(qū)域和內部區(qū)域，兩者之差就是寬邊界。因而，寬邊界區(qū)域的邊界具有一定的寬度和面積，如圖1所示，其中X、Y均為簡單區(qū)域，且X和Y間的拓撲關系為NTPP（X，Y），則定義Y0－X0為簡單區(qū)域X的寬邊界（其中X0，Y0分別表示X、Y的內部）。

圖1 寬邊界區(qū)域Fig.1 The region with broad boundary

1.2 寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間交集模型的建立

對于兩個區(qū)域的情況：由于本文考查的是簡單區(qū)域，所以上述表示的含義是把R2－｛?A∪?B｝劃分成4個部分，如圖2所示。

圖2 兩個區(qū)域的劃分Fig.2 Partition of two simple regions

A0∩B0，A0∩（B1）0，（A1）0∩B0，（A1）0∩（B1）0這4個開集兩兩不相交，從而由此推出兩個區(qū)域拓撲關系互斥且完備，其中實際存在的情況恰好滿足RCC5關系［8－9］。基于該思想，可以先對一個寬邊界區(qū)域和一個簡單區(qū)域間的拓撲關系進行研究，將R2－｛?A∪?B∪?C｝劃分成8個子部分，如圖3所示。

圖3 三個區(qū)域的劃分Fig.3 Partition of three simple regions

根據(jù)劃分出的8個子部分（B是A的洞），可以建立相應的8-交集矩陣模型［10］：

式中：A0表示A的內部；A1表示A的補集。

通過每個位置上集合的空與非空，確定2×2 ×2的0-1矩陣，用來描述3個區(qū)域間的拓撲關系。

該模型加入適當?shù)募s束條件后可以表示一個寬邊界區(qū)域和一個簡單區(qū)域間的交集矩陣，即可作為寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間的交集模型。

1.3 寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域拓撲關系約束條件

理論上有28個一個寬邊界區(qū)域和一個簡單區(qū)域間的交集矩陣，但是并不是所有的矩陣都是可以實現(xiàn)的。通過加入約束條件，除去矩陣模型中不可實現(xiàn)的情形，得到所有可實現(xiàn)的一個寬邊界區(qū)域和一個簡單區(qū)域間的交集模型。

約束條件1 一個0-1矩陣與一個可以實現(xiàn)的三元拓撲關系相對應，必須滿足：

約束條件2 因為考慮的是簡單有界區(qū)域，則有：（A1）0∩（B1）0∩（C1）0非空，即M111＝1。

約束條件3 寬邊界區(qū)域的邊界必須具有一定的寬度，因此寬邊界外部區(qū)域A和內部區(qū)域B之間必須滿足A真包含B。

1.4 寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域的拓撲關系算法

算法的基本思想是：①每個0-1矩陣以二進制數(shù)（用含有8個元素的0-1數(shù)組表示）的形式給出，首先生成理論上的256種0-1矩陣，即把0～255內的所有整數(shù)i轉化為0-1矩陣；②依次掃描每個i轉化的0-1數(shù)組，標記出所有滿足約束條件的數(shù)組；③將所有滿足條件的數(shù)組i保存到矩陣M中，并輸出，其結果即為所求。

根據(jù)算法，最后得到11種滿足一個寬邊界區(qū)域和一個簡單區(qū)域間的拓撲關系。圖4中陰影部分即是寬邊界區(qū)域。

圖4 11種拓撲關系及其示意圖Fig.4 11 kinds of topological relations

2 拓撲關系推理

拓撲關系推理即區(qū)域間拓撲關系的推理，可由一組或多組拓撲關系推理得到其他拓撲關系。將上文得到的寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間的11種拓撲關系圖進行整理分析，可以制定出拓撲關系復合表，如表1所示。

表1 拓撲關系復合表Table 1 Topological relation reasoning table

表中的f（A，B）表示A與B間的拓撲關系；f（A，C）表示A與C間的拓撲關系；f（B，C）表示B與C間的拓撲關系；DR表示相離；PO表示相交；PP表示被包含；EQ表示相等；PPI表示被插入到；由于f（A，B）＝PPI已經(jīng)給定，可以根據(jù)f（A，C）或f（B，C）實現(xiàn)對應的推理和表示。

3 相關應用

隨著對海洋和陸地空間利用需求的不斷增大，島嶼的旅游價值、資源潛力和軍事意義逐漸凸顯。高度準確的氣象預報尤其是準確的大風預報作為島嶼必需的服務項目，對日常生產(chǎn)生活有著重要指導作用，因此為島嶼地區(qū)制定完備的抗臺風預案十分重要。

在具體的拓撲關系模型建立中，島嶼地區(qū)可分為陸上區(qū)域和沿海區(qū)域，如圖5所示。由于島嶼地區(qū)海上貿(mào)易頻繁，海防、沿海旅游業(yè)、漁業(yè)和集裝箱進出口等業(yè)務大多分布在沿海地區(qū)，因此本文著重以島嶼的沿海地區(qū)為對象，對其受臺風影響的情形進行分析，如圖6所示。

圖5 島嶼區(qū)域例圖Fig.5 Hainan Island

圖6 臺風強降水區(qū)域與島嶼沿海地區(qū)拓撲關系示意圖Fig.6 Typhoon rainfall area with islands coastal areas of topological relations schematic diagram

值得注意的是，由于島嶼沿海有縱深且邊界界定不明顯，因此采用寬邊界的模型。上述建立的臺風降水與目標地區(qū)的拓撲關系模型是有具體實際意義并與上述所得的11種拓撲關系對應的。表2僅表示3例。

表2 拓撲關系對應Table 2 Topological relations corresponding diagram

表中序號2的說明：序號2所示的是島嶼沿海區(qū)域與臺風強降水區(qū)域的降水影響拓撲關系模型，其拓撲關系具體包括PPI（A，B），PO（A，C），DR（B，C），它表示臺風強降水區(qū)域C部分與島嶼陸上區(qū)域B相離，與島嶼的沿海區(qū)域A相交。即陸上地區(qū)B不會受到強降水的直接影響，但是沿海局部地區(qū)會因臺風帶來的降水而受災害。于是，可啟動對應級別的預案，通知海上船舶注意臺風動向，適時停止海上作業(yè)，并提醒相關海域的過往船舶回港避風，保障沿海地區(qū)各項防御措施的實施，并密切關注氣象部門發(fā)布的實時臺風預報預警信息，以減輕災害影響。

按照影響范圍，臺風對島嶼沿海區(qū)域的降水影響可分為：有局部影響、全境影響和無影響3種，即PPI（A，C）和EQ（A，C），DR（A，C）。根據(jù)上節(jié)建立的拓撲關系復合表（表1），可對島嶼沿海區(qū)域與臺風強降水區(qū)域的降水影響進行全面推理。其中局部影響對應于圖4中的拓撲關系圖序號包括（b）（c）（e）（h）（j）（k）共6種，全局影響包括圖序號（f）和（g）共2種，無影響的有（a）（d）（i）共3種。

4 結束語

建立了寬邊界區(qū)域和簡單區(qū)域間的交集模型，給出寬邊界模型的約束條件并通過算法得到11種可實現(xiàn)的拓撲關系。在此基礎上建立的臺風－島嶼沿海地區(qū)降水拓撲關系模型可以備份目標地區(qū)可能發(fā)生的降水情形，為島嶼沿海地區(qū)抗臺風工作提供了理論支持，有助于完善臺風強降水預報和抗臺風救災機制。

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