電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定分析方法綜述

王卓欣，李禹鵬

（國網(wǎng)上海市電力公司浦東供電公司，上海 200122）

現(xiàn)代電力系統(tǒng)由于采用了多種控制措施（如短路快速切除、配置先進(jìn)勵磁控制系統(tǒng)等），功角失穩(wěn)事故的發(fā)生概率大為減少。由于負(fù)荷的持續(xù)增長、大功率遠(yuǎn)距離交直流輸電的出現(xiàn)，電力電子裝置的廣泛運(yùn)用，電壓穩(wěn)定性問題已經(jīng)成為威脅電力系統(tǒng)安全的主要問題［1］。而電力系統(tǒng)在某初始運(yùn)行狀態(tài)下遭受擾動，通過電壓穩(wěn)定性分析，可以確定系統(tǒng)中所有母線電壓維持在可以接收范圍內(nèi)的能力［2］。

作為電壓穩(wěn)定運(yùn)行與控制的基礎(chǔ)，電壓穩(wěn)定性理論得到了長足發(fā)展。雖然電壓穩(wěn)定機(jī)制尚未有統(tǒng)一清晰的解釋［3－5］，但目前研究人員根據(jù)實(shí)際情況對分析問題做一定簡化后提出的電壓穩(wěn)定分析模型，可對大多數(shù)電壓穩(wěn)定問題進(jìn)行解釋，并得到眾多有意義的結(jié)論。常見的電壓穩(wěn)定分析方法有靈敏度法、連續(xù)潮流法、時域仿真法、小擾動法等［6］。依照電壓穩(wěn)定分析是否關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的動態(tài)變化特性，可將已有的方法分為靜態(tài)分析方法和動態(tài)分析方法兩大類。本文重點(diǎn)分析有關(guān)電壓穩(wěn)定問題的數(shù)學(xué)模型，并通過分析典型的靜態(tài)分析方法和動態(tài)分析方法，為電壓穩(wěn)定分析提供參考。

1 電壓穩(wěn)定數(shù)學(xué)模型

根據(jù)電壓穩(wěn)定性定義，可用1組微分代數(shù)方程的初值問題，描述擾動后的電壓變化軌跡，考察擾動后的電壓軌跡是否可以收斂到穩(wěn)定平衡點(diǎn)。對于電壓穩(wěn)定分析的數(shù)學(xué)描述，與暫態(tài)功角穩(wěn)定分析的數(shù)學(xué)描述類似，但電壓穩(wěn)定現(xiàn)象通常具有很長的時間跨度，所涉及到的動態(tài)元件的響應(yīng)速度相差很大，因此其數(shù)學(xué)模型可表示為不同時域范圍上的微分代數(shù)方程［7］。系統(tǒng)的暫態(tài)和瞬時過程，可用微分代數(shù)方程表示：

式中：˙x為具有快速動態(tài)的系統(tǒng)狀態(tài)變量；y為可瞬時變化的系統(tǒng)變量；zC為具有慢速動態(tài)的系統(tǒng)狀態(tài)變量；zD為離散變量；p為可變參數(shù)。

系統(tǒng)的中長期過程，可用連續(xù)／離散時間動態(tài)方程表示：

zD（k＋1）＝hD（x，y，zC，zD（k），p） （3）

zC＝hC（x，y，zC，zD，p） （4）

式中：k為離散時間，k＝0，1，2，…。

電壓穩(wěn)定分析模型特點(diǎn)，如表1所示。

表1 電壓穩(wěn)定分析模型特點(diǎn)

由表1可知，式（1）至式（4）包含了研究系統(tǒng)電壓穩(wěn)定問題的全部模型［7］，可通過研究該類微分—差分—代數(shù)方程組獲得電壓穩(wěn)定性信息。顯然，這是十分困難的。在具體工作中，通常根據(jù)關(guān)注的時域范圍，忽略某些沒有必要考慮的動態(tài)過程，并根據(jù)具體的研究目的選取不同的分析方法。本文將從數(shù)學(xué)模型式（1）至式（4）出發(fā)，對現(xiàn)有典型電壓穩(wěn)定靜態(tài)和動態(tài)分析方法進(jìn)行歸納比較。

2 電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法

2.1 分析方法

由微分方程理論可知［4］，若式（1）至式（4）無平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)必然發(fā)生電壓崩潰。電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法是將微分代數(shù)方程平衡點(diǎn)是否存在，作為判斷系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的依據(jù)。

令

很顯然，式（1）至式（4）的平衡點(diǎn)，即式（5）至式（8）的解。式（5）至式（8）可簡寫為：

式中：u為除p之外所有的變量向量。

式（9）包含了電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析的所有模型，實(shí)際應(yīng)用中包括常規(guī)潮流模型和各種動態(tài)元件的平衡點(diǎn)方程［9］。

靜態(tài)分析方法主要研究式（9）的解隨參數(shù)p的緩慢變化的狀況。實(shí)際中參數(shù)p的變化是任意的，為了研究方便，通常選取1種最有代表性的變化模式來研究。

式中：p0為初始參數(shù)向量；d為參數(shù)增長方向向量；λ為標(biāo)量，表示參數(shù)向量沿指定方向的增長大小。

式（9）可進(jìn)一步簡化為：

參數(shù)λ對式（11）解的影響，可表示為優(yōu)化問題：

該優(yōu)化問題即求解式（11）的最優(yōu)解λmax，λmax被稱為靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)，對靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析具有重要意義。對式（12）應(yīng)用Kuhn-Tucker最優(yōu)化條件［4］可知，靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)處的雅可比矩陣φu為奇異陣，而各種電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法均建立在此結(jié)論基礎(chǔ)之上。

2.2 特征值分析法

根據(jù)線性代數(shù)理論，矩陣的奇異性條件之一為該矩陣有1個特征值為0。因此，可在當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)下將式（11）的雅克比矩陣φu進(jìn)行特征值分解，找到其中模最小的特征值，該特征值的模可以表示當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)處雅可比矩陣的奇異程度，也就是靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的度量［10］。

上述方法可做進(jìn)一步修改。不失一般性，以式（11）作為潮流方程為例，其在當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)（u，λ）處的修正方程為：

式中：ΔP為節(jié)點(diǎn)有功功率平衡量；ΔQ為無功功率平衡量；Δθ為電壓相角；ΔU為電壓幅值修正量。

假設(shè)ΔP＝0，得到：

式中：：＝表示“定義為”。

由文獻(xiàn)［6］可知，JQU和φu在包括鞍結(jié)分岔點(diǎn)的任何運(yùn)行點(diǎn)處均具有相同的奇異性，因此JQU可以代替φu作為電壓穩(wěn)定裕度的度量。且由JQU的定義可知，其維數(shù)約為φu的一半，因而對其進(jìn)行特征值分解可節(jié)省大量時間。此外，根據(jù)文獻(xiàn)［10］的報道，隨著參數(shù)的增長，JQU的最小特征值，比φu的最小特征值具有更好的線性，更適合作為預(yù)測系統(tǒng)電壓穩(wěn)定裕度的指標(biāo)。

特征值分析法是很多靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析方法的基礎(chǔ)，具有理論分析上的價值，但由于提供信息單一，計(jì)算量較大，因而在工程實(shí)際中很少單獨(dú)使用。

2.3 模態(tài)分析法

特征值分析法只利用到矩陣φu或者JQU中距離原點(diǎn)最近的特征值這一信息，文獻(xiàn)［11，12］對特征值分析法做進(jìn)一步改進(jìn)。對JQU進(jìn)行特征值分解：

式中：ξ為JQU的右特征向量；Λ為對角特征值矩陣；η為左特征向量。

由式（14）、式（15）可得：

由式（16）可知，JQU的特征值及其對應(yīng)的右特征向量和左特征向量（模態(tài)向量），確定了相應(yīng)母線的Q—U靈敏度，因此該方法被稱為模態(tài)分析法。

模態(tài)分析法［3］可以用來指明系統(tǒng)在當(dāng)前運(yùn)行條件下的相對不穩(wěn)區(qū)域，在電壓穩(wěn)定分析中的應(yīng)用較廣泛。利用模態(tài)分析法，構(gòu)造出一種指明系統(tǒng)電壓穩(wěn)定薄弱線路和薄弱節(jié)點(diǎn)的指標(biāo)，通過算例驗(yàn)證了方法的有效性［13］。

2.4 靈敏度分析法

工程上常把U—Q曲線上某點(diǎn)的斜率作為該運(yùn)行點(diǎn)下某母線電壓穩(wěn)定性和電壓穩(wěn)定裕度的度量。實(shí)際上，JQU逆矩陣的對角元素的值代表了相應(yīng)母線處U—Q曲線在該運(yùn)行點(diǎn)處的斜率，即該點(diǎn)處的U—Q靈敏度，通過其數(shù)值的正負(fù)可以判斷該母線處的電壓穩(wěn)定性狀況［1］。因此，JQU的逆矩陣即最基本的靈敏度矩陣。

更一般地在式（9）的平衡點(diǎn)處，用η（u，p）表示任何感興趣的量，則η（u，p）相對參數(shù)p變化的靈敏度可由式（17）［4］求得：

式中：▽pη為η（u，p）在參數(shù)向量p張成的空間中的梯度場；▽uη為η（u，p）在變量向量u張成的空間中的梯度場。

當(dāng)系統(tǒng)趨向于靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)時，式（17）定義的靈敏度將逐漸趨于無窮大［14］，這可作為判別和監(jiān)視系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的依據(jù)。由于靈敏度法具有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)背景，并且意義明確，所以其在電壓穩(wěn)定分析與控制方面有著比較廣泛的應(yīng)用［15－20］。

2.5 連續(xù)潮流分析法

若得到式（11）的解隨著λ變化的完整軌跡，即可獲得需要的靜態(tài)電壓穩(wěn)定信息，進(jìn)而確定靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)或當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度。該方法經(jīng)過文獻(xiàn)［21-23］的發(fā)展，在理論性和實(shí)用性方面均已比較完善。隨著參數(shù)λ的變化，式（11）的解會有如下兩個變化階段：

1）當(dāng)參數(shù)λ從0逐漸增大，且距離靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)尚遠(yuǎn)時，取λ為所謂的“延拓參數(shù)”，逐步求解式（11）。

2）當(dāng)平衡點(diǎn)距離靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)足夠近時，式（11）的雅可比矩陣φu的病態(tài)性會逐漸增強(qiáng)，這時，如果繼續(xù)增大參數(shù)λ，會導(dǎo)致求解式（11）的牛頓迭代過程不收斂。此時，需要選取某電壓幅值變量（通常選取最小者或者減小最快者）作為延拓參數(shù)，并減小該延拓參數(shù)，求解式（11）得到下一個解點(diǎn)處u中除延拓參數(shù)外的余下分量以及參數(shù)λ的值。若λ開始變小，則說明運(yùn)行點(diǎn)已經(jīng)越過了靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)。

連續(xù)潮流法可以提供許多關(guān)于靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的信息，但需要較長的計(jì)算時間，因此常與靈敏度法、特征值分析法結(jié)合使用［24－25］。

2.6 崩潰點(diǎn)分析法

在靜態(tài)電壓穩(wěn)定研究中，臨界點(diǎn)具有重要意義。連續(xù)潮流法雖然可以得到臨界點(diǎn)在內(nèi)的完整曲線，但由于數(shù)值計(jì)算方法的近似性，并不能直接獲得臨界點(diǎn)的準(zhǔn)確值。直接求取靜態(tài)電壓臨界點(diǎn)時，應(yīng)用牛頓法求解式（11）的“決定性系統(tǒng)”，得到的解即式（11）的臨界點(diǎn)［26］。電力系統(tǒng)中常用Moore-Spence方程描述“決定性系統(tǒng)”［27］：

式中：l為n維任意向量；v為φu（u，λ）的右特征向量。

由文獻(xiàn)［27，28］可知，當(dāng)（u，λ，w）是式（18）的正解時，（u，λ）為式（11）的臨界點(diǎn)。

崩潰點(diǎn)分析法理論背景明確，其難點(diǎn)在于分析實(shí)際電力系統(tǒng)時方程維數(shù)較高，求解相對困難。文獻(xiàn)［26，29］提出了兩種降階求解式（18）的方法，應(yīng)用效果良好。此外，文獻(xiàn)［26］指出，崩潰點(diǎn)法和連續(xù)潮流法結(jié)合使用，可提高連續(xù)潮流在崩潰點(diǎn)處的計(jì)算準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)［30，31］結(jié)合崩潰點(diǎn)法和連續(xù)潮流法，詳細(xì)分析了交直流混合系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性，取得流入良好的應(yīng)用效果。

3 電壓穩(wěn)定動態(tài)分析方法

3.1 數(shù)值積分法

3.1.1 暫態(tài)時域仿真

數(shù)值積分法是研究大擾動后暫態(tài)電壓穩(wěn)定性的最準(zhǔn)確實(shí)用的方法，其研究的時域范圍小于10 s，涉及到發(fā)電機(jī)機(jī)電暫態(tài)過程、勵磁系統(tǒng)、調(diào)速系統(tǒng)、快速無功補(bǔ)償裝置、HVDC和異步電動機(jī)的動態(tài)響應(yīng)過程。

暫態(tài)時域仿真的數(shù)學(xué)模型與式（1）至式（4）類似，但不考慮參數(shù)p的緩慢變化，慢動態(tài)過程式（4）也被忽略，則暫態(tài)時域仿真數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

顯然，暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型式（19）、式（20）與暫態(tài)功角穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型完全一致。因此，可以使用相同的數(shù)值積分方法，對暫態(tài)電壓穩(wěn)定問題進(jìn)行時域仿真分析。但在暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析中，發(fā)電機(jī)勵磁［18］、快速無功補(bǔ)償裝置［32］以及負(fù)荷的動態(tài)特性［33－35］與電壓穩(wěn)定性密切相關(guān)，因此在使用暫態(tài)功角穩(wěn)定分析程序進(jìn)行暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析時，需要格外注意以上三種動態(tài)模型的建立?？傮w來說，基于數(shù)值積分的時域仿真法，目前仍是暫態(tài)電壓穩(wěn)定研究中應(yīng)用最廣泛的方法。

3.1.2 中長期時域仿真

許多影響電壓穩(wěn)定性的系統(tǒng)元件的響應(yīng)時間會持續(xù)數(shù)分鐘，歷史上的電壓崩潰事故也證實(shí)了這一點(diǎn)。典型的影響中長期電壓穩(wěn)定的因素有投切電容器、勵磁限制、有載調(diào)壓變壓器、負(fù)荷恢復(fù)特性等。此外，影響暫態(tài)電壓穩(wěn)定性的發(fā)電機(jī)等因素，對中長期電壓穩(wěn)定性也會產(chǎn)生影響。因此，完整的中長期電壓穩(wěn)定分析研究對象，包括式（1）至式（4）描述的短期、長期、離散以及連續(xù)動態(tài)變化過程。

在基于數(shù)值積分方法的中長期時域仿真中，需把離散變量作為連續(xù)變量處理［36］，即把式（1）至式（4）中的離散長期變量zD和連續(xù)長期變量zC，用連續(xù)長期變量z統(tǒng)一表示；離散長期過程hD和連續(xù)長期過程hC，用連續(xù)長期過程h統(tǒng)一表示。這樣，式（1）至式（4）變?yōu)椋?/p>

式中：x為快動態(tài)過程狀態(tài)變量；y為代數(shù)變量；z為慢動態(tài)過程的狀態(tài)變量。

式（21）至式（23）包含了快動態(tài)過程和慢動態(tài)過程，因而該模型為剛性系統(tǒng)。剛性系統(tǒng)仿真中的步長有3種處理方法［3，12，36－39］：一是采用足夠小的步長進(jìn)行數(shù)值積分；二是在快動態(tài)過程結(jié)束后加大積分步長；三是根據(jù)系統(tǒng)行為自動調(diào)整步長。第1種方法與暫態(tài)穩(wěn)定分析方法沒有區(qū)別，后兩種方法中變量的變化率可作為調(diào)整步長的判據(jù)。由于加大了步長，需采用隱式積分法保證數(shù)值穩(wěn)定性，并且需采用微分代數(shù)方程聯(lián)立求解，以保證收斂性。

文獻(xiàn)［40-42］對基于數(shù)值積分法的中長期電壓穩(wěn)定時域仿真的求解方法和建模要求進(jìn)行了論述，并通過算例分析進(jìn)行驗(yàn)證。目前，用于中長期時域仿真的系統(tǒng)建模，仍需要更深入的研究［43］。

3.1.3 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)長期時域仿真法

采用數(shù)值積分法求解微分代數(shù)方程，即式（21）至式（23），可對大擾動后的中長期電壓穩(wěn)定性進(jìn)行精確分析，但該方法計(jì)算時間較長，難以考慮參數(shù)連續(xù)增長和離散動作元件對系統(tǒng)的影響。而在分析中長期電壓穩(wěn)定性問題時，相比于慢動態(tài)過程，快動態(tài)過程會很快結(jié)束。因此，可以把短期動態(tài)方程式（1）用平衡點(diǎn)方程式（5）表示，以提高計(jì)算速度。長期時域仿真準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法［7］的數(shù)學(xué)模型為：

應(yīng)用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法處理快動態(tài)過程的合理性，可參見文獻(xiàn)［4，6］。準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)長期時域仿真原理示意圖，如圖1所示。

圖1給出了應(yīng)用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法得到的擾動后連續(xù)3個步長范圍內(nèi)的時域仿真曲線［14］。其中，縱坐標(biāo)表示某條母線的電壓幅值；h表示時間步長；點(diǎn)A到A′、B到B′的變化，由通常代表LTC和發(fā)電機(jī)過勵磁限制動作的離散動態(tài)過程式（25）引起；點(diǎn)A′到B、B′到C的變化，由表示負(fù)荷慢速恢復(fù)特性［8］的長期連續(xù)動態(tài)過程式（26），或者系統(tǒng)參數(shù)隨時間的緩慢變化引起。圖1中各點(diǎn)的計(jì)算流程如圖2所示。

文獻(xiàn)［7，17，18，44］應(yīng)用該方法對標(biāo)準(zhǔn)算例和實(shí)際電力系統(tǒng)算例進(jìn)行分析，結(jié)果表明在進(jìn)行中長期電壓穩(wěn)定分析時，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法的精度滿足要求，并且計(jì)算速度較快。但文獻(xiàn)［14］指出，使用該方法需要注意兩方面問題：一是擾動較大時，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法可能會忽略短期的電壓不穩(wěn)定過程，為此文獻(xiàn)［14］推薦，在暫態(tài)時域內(nèi)采用數(shù)值積分求解式（1）至式（2），在快動態(tài)過程消失后采用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法求解式（1）至式（4）；二是系統(tǒng)發(fā)生電壓崩潰時，可能會導(dǎo)致暫態(tài)方程式（1）不存在平衡點(diǎn)，此時將無法使用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法進(jìn)行分析，但在實(shí)際應(yīng)用中，電壓崩潰之后的系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性，通常是沒有實(shí)際意義和研究價值的。

3.2 基于微分方程定性理論的小擾動分析方法

時域仿真方法研究大擾動后的電壓穩(wěn)定性非常有效，而對于系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的小擾動穩(wěn)定性可采用微分方程定性理論進(jìn)行分析，通過研究微分方程解的一般性質(zhì)來進(jìn)行分析。研究平衡點(diǎn)處的小擾動穩(wěn)定性，不需要考慮式（1）至式（4）中參數(shù)p的影響，一般認(rèn)為離散動態(tài)元件不動作。因此，小擾動穩(wěn)定性研究的數(shù)學(xué)模型與式（21）至式（23）完全一致。在大多數(shù)情況下，非線性微分代數(shù)方程組，即式（21）至式（23）的一次線性近似系統(tǒng)，可用來研究原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的局部性質(zhì)，此時可應(yīng)用成熟的線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析。

一次線性近似系統(tǒng)可表示為：

式中：Δ為相應(yīng)變量的擾動量；方程左側(cè)為各變量擾動量對時間的變化率；系數(shù)矩陣中的各分量為式（21）至式（23）對各變量的偏導(dǎo)數(shù)。

電壓穩(wěn)定問題涉及時間范圍通常較寬［1］，同時涉及到幾乎所有的電力系統(tǒng)機(jī)電和機(jī)械動態(tài)過程。如果對所有動態(tài)元件建立模型并進(jìn)行線性化，則會帶來極大的分析難度。因而，如何根據(jù)研究目的建立盡可能簡化、又能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)動態(tài)過程的模型，成為小擾動分析的關(guān)鍵［45］。

嚴(yán)格來說，即使研究局部性質(zhì)時，一次線性近似系統(tǒng)也不是總能替代原系統(tǒng)。文獻(xiàn)［46］指出，只有系統(tǒng)雙曲平衡點(diǎn)（該平衡點(diǎn)處的1階線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣沒有虛軸上的特征值）附近的局部穩(wěn)定性，才可以由線性化方法來分析，而對于系統(tǒng)的非雙曲平衡點(diǎn)，則需要采用中心流形理論［47］來分析其局部穩(wěn)定性。

3.3 基于分岔理論的電壓穩(wěn)定動態(tài)分析方法

歷史上電壓失穩(wěn)事故表明，隨著系統(tǒng)某些參數(shù)緩慢變化，系統(tǒng)電壓可能會出現(xiàn)突然崩潰現(xiàn)象［48］，該現(xiàn)象可用分岔理論來分析。

對式（1）至式（4），不考慮離散變量（或?qū)㈦x散變量連續(xù)化），并把描述快動態(tài)過程和慢動態(tài)過程的微分方程用統(tǒng)一的微分方程~f（·）表示，則應(yīng)用分岔理論分析電壓穩(wěn)定的數(shù)學(xué)模型為：

應(yīng)用一次線性近似系統(tǒng)描述上述模型可得：

假設(shè)gy非奇異，則可消去Δy，進(jìn)而可得：

根據(jù)現(xiàn)有研究成果［14］，在單參數(shù)微分代數(shù)方程式（28）至式（29）中，存在3種分岔現(xiàn)象。

1）鞍結(jié)點(diǎn)分岔 在鞍結(jié)分岔點(diǎn)，1對平衡點(diǎn)重合并消失。該分岔現(xiàn)象對應(yīng)于母線電壓的快速崩潰，在電壓失穩(wěn)中經(jīng)常出現(xiàn)。式（28）至式（29）所述系統(tǒng)，處于鞍結(jié)分岔點(diǎn)的判別條件為Fx奇異。實(shí)際上，鞍結(jié)點(diǎn)分岔屬于靜態(tài)分岔范疇。

2）Hopf分岔 在Hopf分岔點(diǎn)處，F(xiàn)x的1對共軛特征值穿越虛軸。該分岔對應(yīng)于系統(tǒng)的振蕩失穩(wěn)。文獻(xiàn)［27，28］詳細(xì)分析一般形式單參數(shù)微分系統(tǒng)Hopf分岔的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法；文獻(xiàn)［46］對電力系統(tǒng)中Hopf分岔的計(jì)算和應(yīng)用做了全面的總結(jié)。

3）奇異誘導(dǎo)分岔 在奇異誘導(dǎo)分岔點(diǎn)處，式（32）中矩陣gy奇異。文獻(xiàn)［49］給出了電力系統(tǒng)奇異誘導(dǎo)分岔點(diǎn)的完整計(jì)算方法；文獻(xiàn)［50］對電力系統(tǒng)奇異誘導(dǎo)分岔現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究。

研究表明，分岔理論可以深刻解釋電壓失穩(wěn)機(jī)理，但由于電力系統(tǒng)的高度復(fù)雜性，分岔理論尚不能作為分析系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的工程實(shí)用方法。

4 電壓穩(wěn)定分析方法的模型演化

在電壓穩(wěn)定數(shù)學(xué)模型式（1）至式（4）的基礎(chǔ)上，根據(jù)不同研究目的，并且在計(jì)算精度和速度之間進(jìn)行取舍，可對原模型進(jìn)行不同程度的簡化，進(jìn)而得到許多具有使用價值的電壓穩(wěn)定分析方法。電壓穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型演化示意圖如圖3所示。

由圖3可以看出，分析電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定問題所采用的各種實(shí)用方法，均可以歸結(jié)為對非線性微分—代數(shù)系統(tǒng)的研究。當(dāng)研究系統(tǒng)參數(shù)緩慢變化下的系統(tǒng)行為時，可只關(guān)注微分—代數(shù)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)條件，進(jìn)而研究對象轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程；當(dāng)研究小擾動下的系統(tǒng)行為時，可對原非線性微分代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，把研究對象轉(zhuǎn)化為線性微分方程；當(dāng)研究大擾動下的系統(tǒng)行為時，可使用數(shù)值積分方法求解非線性微分代數(shù)方程，對系統(tǒng)進(jìn)行時域仿真分析。

圖3將現(xiàn)有的電壓穩(wěn)定分析方法歸納于一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)框架中，有利于分析具體問題時選取合適的數(shù)學(xué)工具，并為發(fā)展新的電壓穩(wěn)定分析方法以及利用數(shù)學(xué)理論探索電壓穩(wěn)定機(jī)理提供有利條件。

圖3 電壓穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型演化示意圖

5 結(jié)論

本文在統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型框架內(nèi)對各種電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法和動態(tài)分析方法的理論基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)模型、物理意義和適用范圍進(jìn)行了分析。

電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法中，特征值分析法和靈敏度法可以得到度量當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)下靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的指標(biāo)；連續(xù)潮流法可以得到系統(tǒng)電壓隨負(fù)荷增長的完整曲線；崩潰點(diǎn)法可以準(zhǔn)確快速得到該曲線上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，二者可以結(jié)合使用。從理論上說，靜態(tài)分析方法研究的是系統(tǒng)動態(tài)方程的平衡點(diǎn)存在性問題，只能給出電壓穩(wěn)定的必要條件，但由于靜態(tài)分析方法簡單快速，因此得到廣泛應(yīng)用。

電壓穩(wěn)定動態(tài)分析方法是深入理解電壓穩(wěn)定機(jī)理和進(jìn)行電壓穩(wěn)定控制的重要基礎(chǔ)和工具。其中，時域仿真法方法成熟、結(jié)果精確，是進(jìn)行離線分析和驗(yàn)證控制效果的必要工具；小擾動分析法具有完整的理論基礎(chǔ)，但在電壓穩(wěn)定模型的建立和提高計(jì)算速度方面仍有發(fā)展空間；分岔分析法具有嚴(yán)格的非線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)，可以分析電壓穩(wěn)定的動力學(xué)本質(zhì)，溝通靜態(tài)分析方法和動態(tài)分析方法，但不適合分析實(shí)際電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定問題。

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