感受數(shù)學(xué)美的兩個(gè)重要途徑

王欽敏

（福建教育學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，福建 福州 350025）

關(guān)于數(shù)學(xué)美的問題，已有許多文章對(duì)數(shù)學(xué)美的外在形式特征進(jìn)行了反復(fù)的歸納總結(jié)，也有部分文章以數(shù)學(xué)美的本質(zhì)論為題[1~2]，但有些所談?wù)摰膮s與主題不相關(guān)聯(lián)，或仍是在對(duì)數(shù)學(xué)美的基本特征進(jìn)行概括和總結(jié)[3]．美的本質(zhì)問題是傳統(tǒng)美學(xué)研究的核心問題，貌似簡(jiǎn)單實(shí)際上極其復(fù)雜，對(duì)數(shù)學(xué)美學(xué)研究來說，同樣是一個(gè)不能回避的重要問題，也是難以定論的問題．要明白數(shù)學(xué)美的本質(zhì)問題是怎樣性質(zhì)的一個(gè)問題，必須先簡(jiǎn)要了解歷史上東西方關(guān)于美本質(zhì)與審美問題的主要觀念，以及不同時(shí)期的人們對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)知狀況．這里將在這兩個(gè)認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，嘗試性地描繪感受數(shù)學(xué)美的兩個(gè)重要途徑，希望能產(chǎn)生拋磚引玉之效，引發(fā)后繼的研究，讓有關(guān)認(rèn)識(shí)更接近于數(shù)學(xué)美的本質(zhì)．

1 歷史上東西方在美本質(zhì)與審美問題上存在諸多爭(zhēng)議

東方的美本質(zhì)論主要是圍繞著生命的體驗(yàn)而展開的．最初的觀念比較素樸，認(rèn)為美即感官愉悅，而且是源于個(gè)體生理的本能與快感．后來就有了美即是善的說法，主要是儒家等所指的仁義理智等品德之美，有“里仁為美”、“美是外在的善，善是外在的美”[4]等說法．同時(shí)也有道家、佛家的“美即是真”的說法，其所謂真，主要指的是萬物的本真與生命的本性，而宇宙萬物各盡其生命真實(shí)本性，到達(dá)少有束縛的自由與澄明之境，就是到達(dá)美的極點(diǎn)．道、佛學(xué)說均強(qiáng)調(diào)審美者與審美對(duì)象之間高度的和諧統(tǒng)一，如莊子有自我與外物相融的“物化”、“物忘”的思想，而佛家有“汝今見物之時(shí)，汝既見物，物亦見汝”的說法，禪宗則視真如本性為美，以之為世界的本源，有“青青翠竹，盡是法身；郁郁黃花，無非般若”、“自識(shí)本心，自見本性”、“拈花有悟”[5]等說法與典故，這在美學(xué)觀念上已到達(dá)比較高的境界．

西方的美本質(zhì)論著重關(guān)注審美活動(dòng)中的主體與客體兩個(gè)要素，由畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)始的客觀論認(rèn)為，美是宇宙萬物的客觀屬性，美在比例、美在和諧、美在秩序，到了18世紀(jì)，法國(guó)啟蒙主義者伏爾泰、狄德羅等人都還認(rèn)同著客觀論，認(rèn)為美是大自然的屬性．但早在古希臘，智者學(xué)派就曾宣揚(yáng)過主觀論，認(rèn)為美并非事物的客觀屬性，而是人的一種主觀感受與認(rèn)識(shí)，憑借人的直覺可以將任何事物都當(dāng)作美來享受．持主觀論的哲學(xué)家為數(shù)眾多，如黑格爾斷定“美是理念的顯現(xiàn)”，休謨說過，美只存在于觀賞者的心里，每一個(gè)人心靈可見出各自不同的美[6]．為了調(diào)和二者的矛盾，哲學(xué)家康德提出了主客體統(tǒng)一論，他認(rèn)為，審美經(jīng)驗(yàn)不是由單純的感覺所喚起的，也不是由單純的判斷所喚起的，而是由二者的共同作用，以及足以激發(fā)二者發(fā)生共同作用的事物所喚起的，而且只能由其結(jié)構(gòu)適合于審美者本性的事物所成就．之后有社會(huì)客觀論，認(rèn)為美是指它的社會(huì)屬性，美是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物．當(dāng)前關(guān)于美學(xué)的教材上，常常以社會(huì)客觀論的觀點(diǎn)給美的本質(zhì)下定義，但這種觀點(diǎn)存在3個(gè)不足：忽視了人的內(nèi)在心理活動(dòng)，太過簡(jiǎn)單化；將美的存在僅定義在勞動(dòng)上，過于狹窄；強(qiáng)調(diào)美是人的本質(zhì)力量的對(duì)象化，但對(duì)什么是人的本質(zhì)力量卻闡述不足．

東西方關(guān)于美的本質(zhì)和審美問題至今仍然存在著諸多爭(zhēng)議，但都開始意識(shí)到，美的本質(zhì)很難被完整把握和精確表述，美學(xué)理論經(jīng)過不斷地變化發(fā)展，最后都傾向于論述美與審美是如何發(fā)生的問題．美與丑是相對(duì)的，但在屬性方面是有分別的，正如數(shù)的大小是相對(duì)的但仍可有正負(fù)的區(qū)分一樣．美的事物，通常有較普遍的社會(huì)認(rèn)可．一切美的事物中所蘊(yùn)涵的美的規(guī)律，疊合成美的本質(zhì)，這個(gè)本質(zhì)也許難以抓摸難以界定，但和其它規(guī)律一樣，如果僅就其中相對(duì)穩(wěn)定的成分而言，就可以對(duì)它進(jìn)行逐漸地逼近和透析．

2 研究數(shù)學(xué)美本質(zhì)與審美問題不應(yīng)陷入美學(xué)中純客觀論的泥淖

對(duì)于數(shù)學(xué)美，不同時(shí)期的人們有不同的看法，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早意識(shí)到數(shù)學(xué)美的概念，認(rèn)為萬物皆數(shù)，而美體現(xiàn)在由數(shù)構(gòu)成的恰當(dāng)比例，和諧就是美．哲學(xué)家柏拉圖進(jìn)一步宣揚(yáng)了這樣的看法，認(rèn)為美是適度、相稱、和諧和有序，對(duì)自然界超感覺的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的追求，就是對(duì)美的追求，他把對(duì)美的追求視為對(duì)“絕對(duì)真理”的探索，認(rèn)為“美是真的光輝”，與中國(guó)古代“美即是真”的審美理念相一致．這些樸素見解大致可視為數(shù)學(xué)美學(xué)的“客觀論”，曾被廣泛認(rèn)同，“哪里有數(shù)，哪里就有美”，古希臘普洛克拉斯的這一名言傳頌至今，秉持著都是“見物不見人”的美學(xué)觀念．

在17世紀(jì)初，培根已開始反對(duì)“美在比例”的說法，他把“真”與“美”當(dāng)作兩個(gè)不同的問題，放在不同范疇內(nèi)研究．在18世紀(jì)，傳統(tǒng)形式主義美學(xué)家受之前的數(shù)學(xué)美學(xué)觀點(diǎn)的影響，都認(rèn)為美在于規(guī)則和勻稱，但康德指出，不規(guī)則不對(duì)稱的圖形不一定不美，更加規(guī)則與勻稱的圓形也不一定會(huì)比正方形更美．被譽(yù)為“近代美學(xué)之父”的鮑姆加登將美定義為感性認(rèn)識(shí)、秩序和表現(xiàn)的調(diào)和，認(rèn)為美的本質(zhì)是感官認(rèn)識(shí)到的美，美學(xué)的研究對(duì)象是憑感官認(rèn)識(shí)到的完善，而邏輯學(xué)和自然科學(xué)的研究對(duì)象是憑理性認(rèn)識(shí)到的完善，完善的理性認(rèn)識(shí)是真，完善的感性認(rèn)識(shí)是美，所以，他已完全地將數(shù)學(xué)與美隔離開來．但是，數(shù)學(xué)家們并不太關(guān)注他們的這些說法．

數(shù)學(xué)的高度抽象讓美學(xué)家難以登堂入室窺視真相，也就無法感受到數(shù)學(xué)創(chuàng)造的內(nèi)涵之美．在20世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家龐加萊細(xì)致闡述了數(shù)學(xué)創(chuàng)造中存在著數(shù)學(xué)美的觀點(diǎn)，他說，科學(xué)家研究自然，只是因?yàn)樗?，可以從中獲得樂趣，他說的美，不是能給感官以印象的美，而是理性范疇有內(nèi)涵的深?yuàn)W的美，可以為純粹的理智所掌握．緊接著，許多數(shù)學(xué)家對(duì)之前的將科學(xué)與藝術(shù)分成互不相干的兩個(gè)范疇的美學(xué)觀持批判態(tài)度，而將數(shù)學(xué)看作是藝術(shù)的一種，并確定地說：一個(gè)科學(xué)理論成就的大小，事實(shí)上就是它的美學(xué)價(jià)值的大??；科學(xué)理論的合理性要在它的審美價(jià)值中去尋找，并用它來斷定科學(xué)方法的合理性[7]．?dāng)?shù)學(xué)充滿詩(shī)意地與美互攜共進(jìn)，數(shù)學(xué)研究熱情高漲，是這個(gè)年代的顯著特征，當(dāng)時(shí)的世界“數(shù)學(xué)中心”哥廷根大學(xué)所在地的市政廳墻上鐫刻著“哥廷根以外沒有生活”．在哥廷根大學(xué)任教的克萊茵也豪壯地宣稱：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，而數(shù)學(xué)能給予以上的一切．”[8]

在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)美被數(shù)學(xué)家們發(fā)展成為一種方法、一種思想．關(guān)于數(shù)學(xué)美的意義，龐加萊曾說過，數(shù)學(xué)家將他們的方法、他們的結(jié)果和美聯(lián)系起來，并不是純粹的淺薄涉獵[9]．在很多科學(xué)家的工作中，數(shù)學(xué)美學(xué)方法成為頗具實(shí)效的研究工具．例如，極有數(shù)學(xué)天賦的科學(xué)家楊振寧長(zhǎng)年致力于揭示隱藏在對(duì)稱后面的奧秘，在他的工作中，一組漂亮的方程式可以化為一串靈感的源泉，讓他在還沒有實(shí)驗(yàn)證據(jù)之前就洞察出物理的世界是怎樣運(yùn)轉(zhuǎn)的．物理學(xué)家戴森說過：“楊振寧對(duì)數(shù)學(xué)的美妙的品味照耀著他所有的工作．它使他的不是那么重要的工作成為精致的藝術(shù)品，使他的深?yuàn)W的推測(cè)成為杰作”，讓他“對(duì)于自然神秘的結(jié)構(gòu)比別人看得更深遠(yuǎn)一些．”

總之，數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)美大都有很深的感觸，他們?cè)诠ぷ鬟^程中欣賞、品味著異彩紛呈的數(shù)學(xué)美，將它作為一種方法和思想加以應(yīng)用，并深入地詮釋數(shù)學(xué)美學(xué)的價(jià)值和意義．他們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)美產(chǎn)生的根源及其本質(zhì)進(jìn)行思考的時(shí)候，往往將其歸結(jié)為自然宇宙的神奇和偉大，并對(duì)之“頂禮膜拜”，這中間有許多道理，但卻也很容易讓他們陷入美學(xué)中的純客觀論的泥淖．研究數(shù)學(xué)美的問題，陷入純客觀論的泥淖而把具有豐富感受力的人這一主體排除在外，就不可能會(huì)獲得關(guān)于美的正確概念．從美學(xué)的角度看，審美體驗(yàn)中最具魅力的并不是數(shù)學(xué)本身，而是那些創(chuàng)造數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家．也就是說，數(shù)學(xué)審美是一個(gè)實(shí)踐的過程，數(shù)學(xué)家能深刻地感受到數(shù)學(xué)美，不僅是因?yàn)樽匀挥钪娲嬖谥?，更重要的是因?yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造心理中存在著靈感、頓悟、自由的心境和深邃的思想．

3 在潛心思考后產(chǎn)生的靈感與頓悟中感受數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)與藝術(shù)或其它的學(xué)科相比，更喜歡精確和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚浅：侠?，但表面上顯得枯燥無味，似乎沒有了形象也沒有了情感，通常習(xí)慣于憑感官去覺察的美，它借以呼吸的一切全都沒有了，這使得數(shù)學(xué)美與其它的科學(xué)美和藝術(shù)美間存在著很大的差異，有著獨(dú)具一格的審美特性．

切實(shí)地看，數(shù)學(xué)是抽象的，但也不乏有形象，仍然具有許多鮑姆加登所說的可以憑感官認(rèn)識(shí)到的完善．?dāng)?shù)學(xué)的平面曲線、空間曲面與幾何圖形都頗具感性的藝術(shù)形象美，經(jīng)常用于藝術(shù)作品的設(shè)計(jì)，就是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，也具有一定的形象性，因?yàn)橛煞?hào)構(gòu)成的公式、定理和表達(dá)式常常顯現(xiàn)出有感性審美價(jià)值的形式美、對(duì)稱美和統(tǒng)一美[9]．

進(jìn)一步地說，數(shù)學(xué)的抽象和形象并不完全對(duì)立，因?yàn)閿?shù)學(xué)并不是一個(gè)完全獨(dú)立于客觀物質(zhì)世界的某個(gè)思維王國(guó)中的自由樂園[10]．所謂的抽象并非絕對(duì)的抽象，任何抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，總與形象的圖形等存在著直接或間接的聯(lián)系．許多時(shí)候，即使這種聯(lián)系極其微弱，仍然可以通過人所固有的幾何直覺將抽象內(nèi)容適度地直觀化、形象化，對(duì)其進(jìn)行感性的觀照和體驗(yàn)，并將它的邏輯規(guī)定和感性形象融合成一體．龐加萊認(rèn)為數(shù)學(xué)直覺能使完全抽象的、符號(hào)化的數(shù)學(xué)思維依附于一定的形象思維、直觀思維，“正是通過直覺，數(shù)學(xué)世界才能依然與真實(shí)世界保持接觸，……以填平把符號(hào)與實(shí)在分隔開的鴻溝”．所以抽象物可以間接地成為人的審美對(duì)象，只不過它比藝術(shù)的審美更需要精細(xì)的感覺．人們對(duì)音樂、繪畫之類的藝術(shù)美的鑒賞，往往不需具備很多知識(shí)即可獲得一定的愉悅感，然而要感知到數(shù)學(xué)的精致優(yōu)雅，卻必須清晰地理解包含其中的所有概念，在理性方面做出努力．也就是說，數(shù)學(xué)的審美活動(dòng)是人的直覺想象力和邏輯知性協(xié)調(diào)運(yùn)作的過程，需要一種基于優(yōu)秀理解力和想象力的精細(xì)感覺．

數(shù)學(xué)美的感受，常來自于潛心思考后產(chǎn)生的靈感與頓悟．抽象內(nèi)容逐個(gè)被形象化，其感性形象與邏輯規(guī)定融為一體，研究范疇內(nèi)各個(gè)抽象物的感性形象將在人的意識(shí)“潭水”中化作魚一樣的生命體，逐漸地與人的情感相熔鑄，匯合成物我交融的審美意境．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，受問題意識(shí)驅(qū)使，這些像魚一樣的有形象特征的抽象元素可以形成大量的組合．其中某些組合有助于問題的解決，問題越困難，這樣的組合越來之不易．有時(shí)候是由于某種機(jī)緣的啟發(fā)，而大多時(shí)候是由于長(zhǎng)時(shí)間的思考使得所嘗試的組合越來越多，突然促成了一個(gè)意想不到的有用組合，就會(huì)在剎那間激發(fā)思維的火花，這就是所謂的靈感．而如果是突然間在不斷地歸納與概括中對(duì)知識(shí)整體有了直觀洞識(shí)，或者是在百思不得其解時(shí)對(duì)問題的實(shí)質(zhì)有了透徹理解，瞬間看清了解決問題的途徑，就是所謂的頓悟．靈感與頓悟是數(shù)學(xué)思維的普遍形態(tài)，往往可以讓人在很短的時(shí)間內(nèi)獲得解決問題的方法．靈感綻放新奇的創(chuàng)意，頓悟開啟豁朗的心境，它們都會(huì)讓人在獲得與自然相一致的知識(shí)時(shí)，仿佛覺得是自己的心靈照亮了世界，心曠神怡的審美享受在靈魂深處散播著愉悅和歡快，讓人油然萌發(fā)對(duì)自然、對(duì)智慧的愛與敬畏，滿懷著五彩斑斕的情趣和想象．

靈感與頓悟不是數(shù)學(xué)所獨(dú)有的，也不是能感受到數(shù)學(xué)美的惟一場(chǎng)合，但卻是獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)促動(dòng)審美契機(jī)的主要方式之一，在許多時(shí)候，正是由靈感與頓悟所彈奏的美麗而甜密的笛聲，誘惑了眾多的數(shù)學(xué)家，爭(zhēng)先恐后地跳進(jìn)并沉醉于深深的數(shù)學(xué)長(zhǎng)河．

4 在超越自然后產(chǎn)生的自由與統(tǒng)一中感受數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)的概念與認(rèn)識(shí)從一開始就是人類大腦抽象思維概括的產(chǎn)物，由于在最初定義“點(diǎn)”這個(gè)最基礎(chǔ)、最原始的概念時(shí)，作了點(diǎn)無大小（或點(diǎn)不論大?。┑囊?guī)定，就使得所建立的數(shù)學(xué)世界只有在理想的抽象思維中才可能存在．在這個(gè)抽象的世界中，線無粗細(xì)，面無厚薄，兩個(gè)數(shù)可以靠得任意近，經(jīng)過多層次的復(fù)雜的抽象與推理，可以建構(gòu)出一個(gè)又一個(gè)精致而又宏大的知識(shí)理論體系，建立起一個(gè)只服從于公理和邏輯的“抽象國(guó)”．

在這個(gè)“抽象國(guó)”中，人類思維超越了自然，脫離了現(xiàn)實(shí)世界的沉重束縛，能夠完全地置研究對(duì)象的自然性質(zhì)于不顧，從而為創(chuàng)造與想象開拓了廣闊天地，讓數(shù)學(xué)家比其它的科學(xué)家享有更大的自由：可以自由、冒險(xiǎn)地提出各種問題；可以神奇地撮合似乎是毫不相干的兩個(gè)符號(hào)概念；只要不違背邏輯規(guī)律，就可以隨心所欲地搭建起一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)理論框架，而理論本身大都已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了通常的經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)…，這些都讓數(shù)學(xué)家們?cè)谒季S上頗具詩(shī)人氣質(zhì)．集合論發(fā)明者康托曾由衷感喟：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由！魏爾斯特拉斯說過，“一個(gè)沒有幾分詩(shī)人才能的數(shù)學(xué)家決不會(huì)成為一個(gè)完全的數(shù)學(xué)家”；希爾伯特也認(rèn)為，數(shù)學(xué)家比詩(shī)人更需要想象力．

在這個(gè)“抽象國(guó)”中，人類超越了自然，反而能更簡(jiǎn)單地把握自然，從而擁有更多自由．“世界是一本以數(shù)學(xué)語言寫成的書，自然界總是按照完美的數(shù)學(xué)定律在不斷地運(yùn)動(dòng)變化”（伽利略），理性通過數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)把握了自然界的必然性，讓“實(shí)踐理性按照自身的要求而對(duì)現(xiàn)實(shí)世界施加影響，使經(jīng)驗(yàn)世界最大限度地合乎實(shí)踐理性的要求”（康德）[11]，就意味著自由．由數(shù)學(xué)思考發(fā)展而成的理性思維讓人類有望洞察永恒和無限，洞觀世界本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“無限謬妄的真正終結(jié)”，因而奠定了人格的基礎(chǔ)并在思想上走向自由．

數(shù)學(xué)美的感受，可來自于超越自然后產(chǎn)生的自由的心境，也可來自于超越自然后產(chǎn)生的理性自由．理性主義美學(xué)家笛卡爾認(rèn)為有了理性才會(huì)有美，他說：“思維顯示了人的本質(zhì)，也顯示了人的偉大，……哪里有理性的使用，哪里才有人，哪里才有高貴，哪里才有美”，“能思維的人是美的，具有秩序、規(guī)律的自然是美的，用理性指導(dǎo)的人的行為也是美的．”不僅如此，他還極力否定感性、想象、情感和意志的作用，認(rèn)為感性是靠不住的，想象不能把握事物的本質(zhì)，而意志又往往是錯(cuò)誤的根源．?dāng)?shù)學(xué)讓人類的理性世界變得豐富多彩，同時(shí)有效地消解了人與無限和無常的宇宙世界之間的矛盾．擁有理性，擁有自由，不為感性欲求所限制，不受功利意識(shí)所支配，帶有令人解放的性質(zhì)，才能真正感受到審美中的內(nèi)在精神愉悅[12]．

把取得的數(shù)學(xué)概念與認(rèn)識(shí)等組織起來，使其成為高度有序的知識(shí)系統(tǒng)，可以進(jìn)一步地抽象與概括出各種類型的不同層次的數(shù)學(xué)思想方法．這是在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中始終貫穿著的一個(gè)追求，也就是要盡力地尋找數(shù)學(xué)概念和方法間的一致性、各種數(shù)學(xué)理論間的一致性，以及數(shù)學(xué)和其它科學(xué)間的一致性，然后將它們納入同一系統(tǒng)，以獲得更有力、更簡(jiǎn)單的方法，最后歸結(jié)出一個(gè)能統(tǒng)一最多認(rèn)識(shí)的、最完善的數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)的美，表現(xiàn)在許多方面，但特別表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的思想與精神上[14]．

數(shù)學(xué)美的感受，亦可來自于超越自然后產(chǎn)生的思想統(tǒng)一．從表面看，萬事萬物在現(xiàn)象上是雜亂、變易和丑陋的，但通過理性的發(fā)掘，站在數(shù)學(xué)思想的高度看，這些雜亂無章變易無常的現(xiàn)象下面卻潛藏著由數(shù)學(xué)主宰著的和諧有序的統(tǒng)一規(guī)律，大自然不再是物體和過程任意堆積起來的無秩序的混亂世界，而是一個(gè)和諧的統(tǒng)一整體，深蘊(yùn)著不易覺察到的靜穆、宏大、冷峻和理性的美．人的認(rèn)識(shí)與大自然規(guī)律相統(tǒng)一，就可能在主客同構(gòu)中超越自然，借助理性洞觀宇宙，體察“天地同根，萬物一體”的涵義．這是一個(gè)美的境界，有和鳥兒高高飛起俯瞰大地一樣的觀感，就象數(shù)學(xué)家丘成桐所說的：“文學(xué)的最高境界是美的境界，數(shù)學(xué)也具有詩(shī)歌與散文的內(nèi)在氣質(zhì)，達(dá)到一定境界后，也能體會(huì)與享受到數(shù)學(xué)之美．莊子所言‘天地與我并生，萬物與我為一’，是數(shù)學(xué)家追求‘天人合一’的悠然境界．”另一方面，數(shù)學(xué)的整體一致性是不可動(dòng)搖的[15]，而尋求數(shù)學(xué)與其它科學(xué)的一致性，就是一個(gè)數(shù)學(xué)向各科學(xué)滲透并促其數(shù)學(xué)化的過程，是一個(gè)數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的過程，也是一個(gè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在本質(zhì)力量的過程．再?zèng)]有什么比這一事實(shí)更令人難忘，數(shù)學(xué)脫離客觀實(shí)際進(jìn)入抽象的理性王國(guó)，似乎是一種操演、一種游戲，但當(dāng)它返回現(xiàn)實(shí)時(shí)，在對(duì)具體事物進(jìn)行分析時(shí)，最抽象、離現(xiàn)實(shí)最遠(yuǎn)的東西，反而成為解決現(xiàn)實(shí)問題最有力的武器．這是人類精神與智慧最偉大的勝利，同時(shí)深刻體現(xiàn)了人類存在于自然的價(jià)值和人性最光輝、最美麗的一個(gè)部分．

5 結(jié) 語

當(dāng)代美學(xué)家針對(duì)社會(huì)客觀論存在的缺陷，對(duì)美的本質(zhì)理論進(jìn)行了許多修正與補(bǔ)充，有強(qiáng)調(diào)要從創(chuàng)造者的角度來研究美學(xué)的，認(rèn)為美是一種能體現(xiàn)人的自由自覺的創(chuàng)造活動(dòng)[16]；也有強(qiáng)調(diào)美是自由的延續(xù)，認(rèn)為審美是自由的表征，是實(shí)現(xiàn)自由的唯一途徑和中介，而美學(xué)正是研究這種人性的解放途徑的精神哲學(xué)[17~18]．這與文章后兩部分的陳述是相吻合的．

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度看，數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”目標(biāo)，就應(yīng)遵循感受心理過程的規(guī)律，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的感受或體驗(yàn)[19~20]．對(duì)于教師來說，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的“功利性傾向”轉(zhuǎn)向“審美性傾向”[21]，需要更多地了解數(shù)學(xué)美的本質(zhì)問題，以及如何深層次地感受數(shù)學(xué)美的問題，對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展都是非常有益的[22]．以上的論述給予教師數(shù)學(xué)教育教學(xué)方面的啟示是：（1）靈感與頓悟大多出現(xiàn)在研究與發(fā)現(xiàn)的過程中．因此，在學(xué)習(xí)中研究，在研究中學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)的良好方式，而“課堂教學(xué)的最高境界是和學(xué)生一起進(jìn)入思考的前沿”（希爾伯特）．缺少靈感缺少頓悟就會(huì)缺少興趣缺少創(chuàng)造性，正如19世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米所說的，學(xué)生應(yīng)該及早地像數(shù)學(xué)大師那樣去追求和進(jìn)行大量的創(chuàng)造性思考活動(dòng)，而不要讓學(xué)校里那種無休止的練習(xí)把自己的頭腦弄得僵化和貧乏，它除了使人消磨意志之外別無其他作用．（2）理性上的自由和思想上的統(tǒng)一高度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精神美、思想美和方法美，深刻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的獨(dú)特內(nèi)涵與非凡價(jià)值．因而，可以把培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想和空間觀察能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，其核心在于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性[21]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)內(nèi)部錯(cuò)綜復(fù)雜的細(xì)節(jié)，認(rèn)知知識(shí)核心及其整體結(jié)構(gòu)，還要善于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟能將問題整合起來進(jìn)行統(tǒng)一認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)思想和策略智慧，需要站在思想的高度進(jìn)行數(shù)學(xué)的教與學(xué)，讓學(xué)生在逐步的抽象與概括過程中深化對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)．

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