二次函數(shù)在高中階段的應用

張學雷

二次函數(shù)作為一種重要的基本初等函數(shù)在初高中數(shù)學教學中都有很重要的地位.對二次函數(shù)進行詳細研究，對于初高中數(shù)學教學都有重要的意義.在初中，因為學生對函數(shù)知識的理解還不夠深入，所以這部分內(nèi)容的學習多是機械性和記憶性的.進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對二次函數(shù)的知識靈活應用，就必須對它的基本概念和基本性質(zhì)（定義域、值域、圖像、單調(diào)性、奇偶性、有界性）進行深入研究.

一、引導學生在掌握了函數(shù)定義的基礎上進一步深入理解二次函數(shù)的概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數(shù)概念，主要是用映射觀點闡明函數(shù)，這時就可以用學生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例以更深刻地認識函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax■+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為f（x）=ax■+bx+c（a≠0）.這里ax■+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學生進一步處理以下問題.

類型I：已知f（x）=2x■+x+2，求f（x+1）.

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值.

類型Ⅱ：設f（x+1）=x■-4x+1，求f（x）.

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x■-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應法則.

一般有兩種方法：（1）把所給表達式表示成x+1的多項式.f（x+1）=x■-4x+1=（x+1）■-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x■-6x+6.（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數(shù)都適用.令t=x+1，則x=t-1，∴f（t）=（t-1）■-4（t-1）+1=t■-6t+6，從而f（x）=x■-6x+6.

二、結合二次函數(shù)的圖像深化學生對于單調(diào)性、最值、對稱性等基本性質(zhì)的理解

在高中階階段學習單調(diào)性時，必須讓學生對二次函數(shù)y=ax■+bx+c在區(qū)間（-∞，-■]及[-■，+∞）上的單調(diào)性的結論用定義進行嚴格論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖像學習二次函數(shù)有關的一些函數(shù)單調(diào)性.

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性.

（1）y=x■+2|x-1|-1

（2）y=|x■-1|

（3）y=x■+2|x|-1

這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系.掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：設f（x）=x■-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）.

求：g（t）并畫出y=g（t）的圖像

解：f（x）=x■-2x-1=（x-1）■-2，在x=1時取最小值-2

當1∈[t，t+1]，即0≤t≤1，g（t）=-2

當t>1時，g（t）=f（t）=t■-2t-1

當t<0時，g（t）=f（t+1）=t■-2

g（t）=t■-2，（t<0）-2，（0≤t≤1）t■-2t-1，（t>1）

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大值或最小值的情況隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面的知識，可以再給學生補充一些練習.

如：y=3x■-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域.

三、強化學生對二次函數(shù)的知識的綜合理解，提升學生的數(shù)學思維水平

類型Ⅴ：設二次函數(shù)f（x）=ax■+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的兩個根x■，x■滿足0

（Ⅰ）當x∈（0，x■）時，證明x

（Ⅱ）設函數(shù)f（x）的圖像關于直線x=x■對稱，證明：x■<■.

解題思路：

本題要證明的是x

因為00，又a>0，所以f（x）>0，即f（x）-x>0.至此，證得x

根據(jù)韋達定理，有x■x■=■，∵0f（0），所以當x∈（0，x■）時f（x）

（Ⅱ）∵f（x）=ax■+bx+c=a（x+■）■+（c-■） （a>0）

函數(shù)f（x）的圖像的對稱軸為直線x=-■，且是唯一的對稱軸，因此，依題意，得x■=-■，因為x■，x■是二次方程ax■+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)韋達定理得，x■+x■=-■，∵x■-■<0，∴x■=-■=■（x■+x■-■）<■，即x■=■.

總之，二次函數(shù)作為最基本的初等函數(shù)之一，它有著豐富的內(nèi)涵和外延.以它為代表研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學問題，考查學生的數(shù)學基礎知識和綜合數(shù)學素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學生運用數(shù)學知識和思想方法解決數(shù)學問題的能力.