誤差預(yù)算在精密與超精密機(jī)床中應(yīng)用的研究概述*

梁迎春 陳國(guó)達(dá) 孫雅洲

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)精密工程研究所，黑龍江 哈爾濱 150001)

誤差預(yù)算是精密機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一種預(yù)測(cè)和控制誤差的重要工具，在機(jī)床、機(jī)器人、坐標(biāo)測(cè)量機(jī)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。機(jī)械系統(tǒng)中存在很多誤差源，如結(jié)構(gòu)部件誤差、熱變形誤差等，誤差預(yù)算通過(guò)綜合這些誤差源對(duì)于系統(tǒng)末端執(zhí)行器位置(如刀具)的最終影響規(guī)律預(yù)測(cè)系統(tǒng)整體性能。美國(guó)勞倫斯利弗莫爾國(guó)家實(shí)驗(yàn)室(Lawrence Livermore National Laboratory，LLNL)［1］在1980 年首次系統(tǒng)性地將誤差預(yù)算方法應(yīng)用于工業(yè)機(jī)床的設(shè)計(jì)中，過(guò)去的20 多年里，許多學(xué)者不斷改進(jìn)誤差預(yù)算方法，將其應(yīng)用于各類精密機(jī)械系統(tǒng)里。在精密和超精密機(jī)床的設(shè)計(jì)中，誤差預(yù)算不可或缺，具有非常重要的作用。合理的誤差預(yù)算有利于機(jī)床設(shè)計(jì)中的優(yōu)化決策和選擇。在概念和系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段，誤差預(yù)算有助于在不同機(jī)床結(jié)構(gòu)布局進(jìn)行選擇，分配各個(gè)子系統(tǒng)的誤差，在滿足可實(shí)現(xiàn)性的前提下實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性。在具體設(shè)計(jì)階段，誤差預(yù)算有助于選擇不同部件、材料以及加工工藝。誤差預(yù)算是一個(gè)多學(xué)科融合的方法，其過(guò)程包括誤差源的辨識(shí)、運(yùn)動(dòng)學(xué)建模、多重誤差效應(yīng)的組合、材料去除過(guò)程的建模等［2］。本文內(nèi)容介紹主要面向精密和超精密機(jī)床，分別對(duì)誤差預(yù)算的總體流程、組合規(guī)則、誤差預(yù)算應(yīng)用研究等幾方面進(jìn)行概述。

1 誤差預(yù)算的總體流程

機(jī)床設(shè)計(jì)時(shí)使用誤差預(yù)算需要有兩個(gè)基本假設(shè)為前提，一是特定方向下的即時(shí)總誤差值是所有單一誤差元值的和，如線性疊加。二是單一誤差元可被辨識(shí)、控制及測(cè)量，以致可降低和預(yù)測(cè)。實(shí)際應(yīng)用中常以誤差上邊界來(lái)估計(jì)。

為提高對(duì)測(cè)量不確定性的理解并實(shí)現(xiàn)更為精密可靠的測(cè)量?jī)x器，LLNL 的學(xué)者Kroll［3］對(duì)Xradia Micro -XCT 和Laser UT 系統(tǒng)等無(wú)損檢測(cè)儀器進(jìn)行了誤差預(yù)算。該誤差預(yù)算流程是閉環(huán)的，以理想或目標(biāo)需求的不確定性為導(dǎo)向，基本步驟包括辨識(shí)基本誤差源、測(cè)量或估計(jì)各單一誤差元的不確定度、誤差映射、確定組合規(guī)則、誤差預(yù)算、與理想不確定度比較等。該誤差預(yù)算流程基本與機(jī)床的誤差預(yù)算流程相同。圖1 所示為機(jī)床誤差預(yù)算流程。

圖1 機(jī)床誤差預(yù)算流程［3］

LLNL 對(duì)一臺(tái)兩軸車床進(jìn)行了誤差預(yù)算，其流程圖如圖2 所示［1］。圖2 中，Si表示誤差源(如熱誤差)，Ci表示耦合機(jī)制，即剛度、熱膨脹系數(shù)、阻尼等參數(shù)關(guān)于誤差幅度或頻率的過(guò)濾效應(yīng)，它可以等效為一個(gè)方向性參數(shù)，通常決定誤差在敏感方向的幅度。以車床刀尖處的位移誤差為例，垂直于車削工件表面的方向?yàn)槊舾蟹较?。車削產(chǎn)生的工件誤差具有3 種不同的類別，包括尺寸誤差(如直徑和長(zhǎng)度)，面形誤差(如圓度、直線度和平面度)，表面誤差(如粗糙度)。圖中顯示各個(gè)誤差源經(jīng)耦合機(jī)制處理后得到的位移誤差分別以不同誤差類別歸類，而后分不同方向歸類，經(jīng)一定的組合規(guī)則處理后得到某個(gè)特定方向下的關(guān)于某個(gè)誤差類別的位移誤差，最終可得到特定誤差類別的工件誤差。

為滿足極為嚴(yán)格的光學(xué)元件頻域誤差要求，LLNL針對(duì)超精密機(jī)床的設(shè)計(jì)提出了空間頻域誤差預(yù)算方法，其流程圖如圖3 所示［4］。該方法中的頻域數(shù)據(jù)表達(dá)利用功率譜密度(PSD)。

圖2 兩軸車床誤差預(yù)算流程圖［1］

圖3 空間頻域誤差預(yù)算流程圖［4］

2 誤差預(yù)算組合規(guī)則

利用合理的組合規(guī)則計(jì)算總誤差是誤差預(yù)算過(guò)程的重要步驟。許多學(xué)者對(duì)機(jī)床的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行了研究，得到了一些誤差模型用于預(yù)測(cè)刀具在加工過(guò)程中刀尖點(diǎn)的位置誤差。但是，這些模型往往不能方便地用于機(jī)床設(shè)計(jì)中的誤差預(yù)測(cè)，因?yàn)樗鼈儽容^復(fù)雜且需要足夠的信息，如機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)、材料、控制、環(huán)境和運(yùn)行，而這些不易得到。而且，在設(shè)計(jì)階段對(duì)于誤差源的實(shí)際誤差值或函數(shù)通常是未知的。所以當(dāng)有許多重要誤差源時(shí)機(jī)床設(shè)計(jì)者經(jīng)常使用一種組合規(guī)則去直接預(yù)測(cè)總誤差。當(dāng)組合規(guī)則要用于估計(jì)總誤差時(shí)，誤差大小主要取決于采用什么組合規(guī)則，選擇組合規(guī)則非常重要。最后的設(shè)計(jì)、性能和費(fèi)用主要取決于采用的組合規(guī)則。若組合規(guī)則過(guò)估了總誤差，機(jī)床可能過(guò)設(shè)計(jì)，使精度浪費(fèi)，費(fèi)用增加。若低估則無(wú)法滿足需要的精度要求。算術(shù)和可能是最簡(jiǎn)單的組合規(guī)則，代表最差的誤差情形，但此情形發(fā)生可能性極小。

誤差預(yù)算過(guò)程中一般考慮3 種誤差，分別是隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和磁滯誤差。組合規(guī)則即組合和確定單一誤差幅度(沿一定方向)的方法。對(duì)單一誤差幅度來(lái)說(shuō)，基本選擇PV 值(峰谷值)或RMS 值(均方根值)。若以RMS 值為例，則總誤差的RMS 值RMSf可表示為:

誤差組合下的總誤差可以有最優(yōu)情況值εbest和最劣情況值εworst，分別為總誤差的上邊界和下邊界，其計(jì)算公式如式(2)、(3)所示，

通常情況下，取εbest和εworst兩者的平均值足以估計(jì)總誤差［2］。

已報(bào)道的組合規(guī)則有經(jīng)驗(yàn)公式，如誤差元的算術(shù)和乘一系數(shù)、算術(shù)和均方根的和的平均數(shù)。Shen 和Duffie［5］基于中心極限定理(Central Limit Theorem，CLT)研究組合規(guī)則，不確定性區(qū)間被用于表達(dá)預(yù)測(cè)的總誤差。精密機(jī)床誤差源數(shù)據(jù)被用于蒙特卡洛仿真去比較這些規(guī)則與經(jīng)驗(yàn)公式規(guī)則的預(yù)測(cè)能力。研究顯示經(jīng)驗(yàn)公式規(guī)則對(duì)仿真的總誤差有很高的覆蓋率，但是有些低估總誤差的傾向。基于CLT 的組合規(guī)則擁有很高的覆蓋率且有令人滿意的預(yù)測(cè)總誤差的置信水平，因此證明后者在預(yù)測(cè)總誤差方面更為精確?；贑LT 的方法的優(yōu)勢(shì)還在于預(yù)測(cè)總誤差時(shí)可以先指定置信水平。

3 誤差預(yù)算應(yīng)用研究

LLNL 針對(duì)大型光學(xué)金剛石車削機(jī)床(Large Optics Diamond Turning Machine，LODTM)進(jìn)行了表面粗糙度的誤差預(yù)算［1］，如圖4 所示，對(duì)11 項(xiàng)誤差源引起的單一誤差元進(jìn)行峰谷值誤差的辨識(shí)，最終得到工件表面粗糙度的預(yù)算值。

Treib 和Matthias［6］將誤差預(yù)算用于多軸機(jī)床體誤差場(chǎng)的計(jì)算和優(yōu)化。作者測(cè)量不同狀態(tài)下(載荷，溫度，制造誤差)各軸的幾何精度，利用仿真程序計(jì)算系統(tǒng)的誤差場(chǎng)。研究中基于3 個(gè)假設(shè):將所有幾何誤差聚焦到導(dǎo)軌上;導(dǎo)軌的連接面(接觸界面)保持水平，系統(tǒng)為剛體系統(tǒng);系統(tǒng)是線性的，變形可以疊加。另外，利用奇次變換矩陣來(lái)計(jì)算體誤差。假設(shè)單一誤差元服從正態(tài)分布，用協(xié)方差表示誤差元之間的相關(guān)性。麻省理工學(xué)院學(xué)者Slocum［7］概述了誤差預(yù)算用于精密機(jī)床設(shè)計(jì)的方法，還利用電子數(shù)據(jù)表來(lái)進(jìn)行誤差預(yù)算。

Dorndorf 等學(xué)者［8］研究了機(jī)床準(zhǔn)靜態(tài)誤差的最優(yōu)預(yù)算，面向最低成本進(jìn)行誤差分配，考慮了誤差的概率性特征，假設(shè)某尺寸上的誤差服從高斯分布，制造該尺寸的花費(fèi)是關(guān)于該高斯分布標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)。一旦指定功能條件或約束，即可進(jìn)行誤差分配使總成本最低。在機(jī)床誤差預(yù)算方面，功能條件或約束限制在工作空間內(nèi)關(guān)鍵點(diǎn)上的體誤差，體誤差又是各單誤差元的函數(shù)。因此該誤差預(yù)算主要是確定這些誤差的最優(yōu)水平，使控制它們和失效產(chǎn)生的成本最低。

圖4 LODTM 機(jī)床及其誤差預(yù)算［1］

敏感方向的概念可用于簡(jiǎn)化機(jī)床精度分析，但卻不適合分析延展性去除過(guò)程，如成形研磨，因沒(méi)有單一的敏感方向。為此，掃描輪廓法為誤差預(yù)算過(guò)程中的精度建模提供了一種有效的手段，可成功構(gòu)建機(jī)床誤差與工件被加工面誤差間的數(shù)學(xué)關(guān)系。Frey 等學(xué)者［9-10］提出了一種給定刀具形狀和運(yùn)動(dòng)函數(shù)情況下計(jì)算被加工件表面離散點(diǎn)的閉式解，能快速計(jì)算機(jī)床幾何誤差在工件形狀上的效應(yīng)。該方法有3 個(gè)步驟:(1)利用無(wú)誤差的運(yùn)動(dòng)模型計(jì)算刀具的掃描輪廓，確定名義加工表面。(2)利用有誤差的運(yùn)動(dòng)模型計(jì)算刀具的掃描輪廓，確定有干擾下的加工表面。(3)基于前兩者的比較評(píng)估加工過(guò)程的精度。上述方法成功用于成形磨削、無(wú)心磨、外圓磨的建模，也應(yīng)該可拓展用于圓錐銑刀的球立銑和側(cè)銑。由于假設(shè)刀具是理想表面或理想旋轉(zhuǎn)，它最有用的地方在于評(píng)估面形、輪廓、位置和尺寸誤差，但在評(píng)估表面粗糙度方面差一些。

Eisenbies［11］提出了基于約束的誤差預(yù)算方法，即將蒙特卡洛仿真用于精密機(jī)械設(shè)計(jì)的誤差預(yù)算方法。首先建立參數(shù)化模型，然后建立單一誤差的仿真，確立誤差的類型和期望的精度水平。誤差類型取決于誤差的屬性，如靜態(tài)誤差中垂直度的隨機(jī)誤差服從有上下限的均勻分布，該類誤差對(duì)任意虛擬機(jī)械是一個(gè)常量，并不是軸位置的函數(shù)。線性軸的準(zhǔn)靜態(tài)誤差由產(chǎn)生帶有隨機(jī)系數(shù)的十階勒讓德多項(xiàng)式來(lái)模擬，而旋轉(zhuǎn)軸位置誤差采用帶有隨機(jī)系數(shù)和隨機(jī)相位變化的五階傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)模擬。根據(jù)蒙特卡洛模擬，可以得到總誤差的分布，以坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的探針檢測(cè)為試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際測(cè)量的最大誤差落在模擬得到的分布范圍內(nèi)，從而證明了基于約束的誤差預(yù)算方法的有效性。該方法能產(chǎn)生無(wú)數(shù)種不同的虛擬機(jī)械，能估計(jì)出一點(diǎn)誤差元場(chǎng)的效應(yīng)，有望用于精密機(jī)床的設(shè)計(jì)中。

Hii 等學(xué)者［12］在設(shè)計(jì)精密電火花微細(xì)銑削機(jī)床過(guò)程中使用了誤差預(yù)算，參照了麻省理工學(xué)院Slocum 的方法。Uriarte 等學(xué)者［13］對(duì)一臺(tái)帶有直徑小于0.3 mm刀具的微細(xì)銑床進(jìn)行了總體誤差預(yù)算，主要關(guān)注點(diǎn)在夾具角變形與刀具撓曲誤差。Brecher 等學(xué)者［14］在高精度緊湊型五軸機(jī)床的設(shè)計(jì)中采用了誤差預(yù)算以便進(jìn)行敏感度分析，為避免、分離和補(bǔ)償機(jī)床誤差提供了可能性。Erkorkmaz 等學(xué)者［15］對(duì)一臺(tái)兩軸精密運(yùn)動(dòng)臺(tái)進(jìn)行誤差預(yù)算，考慮了幾何、動(dòng)態(tài)、伺服和熱誤差。假設(shè)運(yùn)動(dòng)臺(tái)經(jīng)過(guò)誤差補(bǔ)償，消除各個(gè)誤差源的確定誤差部分，對(duì)不確定誤差部分進(jìn)行誤差預(yù)算。Cheng 等學(xué)者［16］針對(duì)一臺(tái)新型桌面多軸激光加工機(jī)床的設(shè)計(jì)采用了誤差預(yù)算分析，目的是為優(yōu)化選擇關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)部件和分配各軸的位置精度，機(jī)床模型與誤差預(yù)算流程如圖5 所示。

圖5 新型桌面多軸激光加工機(jī)床設(shè)計(jì)

大多數(shù)誤差預(yù)算都是靜態(tài)誤差預(yù)算，盡管有些誤差預(yù)算中考慮了動(dòng)態(tài)誤差，但基本是處理時(shí)域數(shù)據(jù)。靜態(tài)誤差預(yù)算在精密和超精密機(jī)床的設(shè)計(jì)階段起到了很好作用，但是目標(biāo)是圍繞靜態(tài)總誤差，其結(jié)果是不足以或有效符合工件頻域誤差要求，所以有必要在靜態(tài)誤差預(yù)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)誤差預(yù)算。迄今只有少量文獻(xiàn)針對(duì)動(dòng)態(tài)誤差預(yù)算進(jìn)行了研究。

在新系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中需要能預(yù)測(cè)最初可能時(shí)刻的性能，如利用有限元工具進(jìn)行建模去預(yù)測(cè)。許多情況下優(yōu)化設(shè)計(jì)而得到一定的動(dòng)態(tài)響應(yīng)或者誤差修正能力，把它們作為頻率的函數(shù)。但使用者需要去預(yù)測(cè)位置誤差，將其作為所有潛在干擾源影響下關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。據(jù)此，Eijk 等學(xué)者［17］提出了基于動(dòng)態(tài)誤差預(yù)算的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。動(dòng)態(tài)誤差預(yù)算中利用Parseval 定理作為時(shí)域和頻域數(shù)據(jù)的聯(lián)系橋梁，即在時(shí)域上的能量等于在頻域上的能量。這種方法中，不同干擾源在設(shè)計(jì)中被識(shí)別出來(lái)。確定幅度和頻率內(nèi)容的合適估計(jì)，用于控制系統(tǒng)模型上。每個(gè)干擾對(duì)于設(shè)計(jì)性能參數(shù)的頻率轉(zhuǎn)移函數(shù)被用于計(jì)算出性能的功率譜密度?；诖诵畔?，時(shí)域上的總性能可以在統(tǒng)計(jì)學(xué)上被表達(dá)和計(jì)算。單一干擾源的影響能被識(shí)別，在相關(guān)頻域范圍內(nèi)的累積功率譜密度可看出主導(dǎo)的動(dòng)態(tài)效應(yīng)。該方法實(shí)際應(yīng)用于精密轉(zhuǎn)盤驅(qū)動(dòng)裝置的設(shè)計(jì)之中，其思路對(duì)精密與超精密機(jī)床設(shè)計(jì)中的誤差預(yù)算方法有參考作用。

為滿足極為嚴(yán)格的光學(xué)元件頻域誤差要求，LLNL的學(xué)者Krulewich［4］在1997 年針對(duì)超精密機(jī)床的設(shè)計(jì)提出了空間頻域誤差預(yù)算方法。該方法中基于功率譜密度定量分析加工過(guò)程中各誤差元的空間頻率和時(shí)間頻率成分，并估計(jì)工件誤差。但是之后關(guān)于該方法在實(shí)際超精密機(jī)床設(shè)計(jì)中的應(yīng)用未見報(bào)道。

圖6 超精密飛切機(jī)床精度設(shè)計(jì)方法流程圖［18］

為解決現(xiàn)有超精密飛切機(jī)床的設(shè)計(jì)沒(méi)有考慮工件表面的頻域誤差要求問(wèn)題，在Krulewich 提出的誤差預(yù)算方法基礎(chǔ)上，哈爾濱工業(yè)大學(xué)梁迎春、陳國(guó)達(dá)等人［18］提出一種基于頻域誤差分配的超精密飛切機(jī)床精度設(shè)計(jì)方法，其流程圖如圖6 所示，提高了加工適應(yīng)性，可應(yīng)用于大型KDP 晶體超精密加工機(jī)床，提高KDP 晶體應(yīng)用于激光核聚變工程中終端光學(xué)組件的可靠性。該方法對(duì)其他類型超精密機(jī)床的設(shè)計(jì)也有參考價(jià)值。

4 結(jié)語(yǔ)

誤差預(yù)算是精密與超精密機(jī)床設(shè)計(jì)中不可或缺的一環(huán)，對(duì)實(shí)現(xiàn)精度目標(biāo)和成本控制有著非常重要的作用。許多學(xué)者對(duì)此展開了研究，取得一定成果。本文主要從誤差預(yù)算的總體流程、組合規(guī)則、誤差預(yù)算應(yīng)用研究等幾方面進(jìn)行概述。誤差預(yù)算雖在機(jī)床設(shè)計(jì)中得到了大量應(yīng)用，但是其相關(guān)理論研究尚未完全成熟，如組合規(guī)則、優(yōu)化算法的理論研究還有待加強(qiáng)。部件誤差預(yù)算中多數(shù)僅考慮對(duì)目標(biāo)誤差的敏感度，很少考慮部件的精度可實(shí)現(xiàn)性和制造成本，難以實(shí)現(xiàn)誤差的最優(yōu)分配。大多數(shù)誤差預(yù)算都是靜態(tài)誤差預(yù)算，盡管有些誤差預(yù)算中考慮了動(dòng)態(tài)誤差，但是目標(biāo)是圍繞靜態(tài)總誤差，其結(jié)果是不足以或有效符合工件頻域誤差要求。目前對(duì)于動(dòng)態(tài)誤差預(yù)算的研究無(wú)論在理論上還是應(yīng)用上都比較缺乏，應(yīng)該需要加強(qiáng)該方面的研究，這對(duì)實(shí)現(xiàn)精密和超精密機(jī)床的更優(yōu)設(shè)計(jì)具有重要作用。我國(guó)的超精密機(jī)床技術(shù)水平與美、英、日、德等發(fā)達(dá)國(guó)家相比，仍有較大差距，超精密機(jī)床系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論是提升超精密機(jī)床水平的關(guān)鍵，而誤差預(yù)算系統(tǒng)理論是機(jī)床設(shè)計(jì)理論中的重要內(nèi)容。因此，我國(guó)應(yīng)加強(qiáng)研究和完善指導(dǎo)超精密機(jī)床設(shè)計(jì)的誤差預(yù)算理論，這對(duì)于我國(guó)超精密機(jī)床研制水平的提高具有重要意義。

未來(lái)的研究趨勢(shì)總體可以概括為以下幾個(gè)方面:(1)誤差預(yù)算的基礎(chǔ)理論研究，包括多尺度多對(duì)象的誤差評(píng)價(jià)方法、組合規(guī)則、優(yōu)化算法、誤差預(yù)測(cè)與預(yù)算的匹配性等方面。(2)動(dòng)態(tài)誤差預(yù)算研究，包括動(dòng)態(tài)誤差的形成規(guī)律和評(píng)價(jià)方法、頻域內(nèi)機(jī)床部件動(dòng)態(tài)誤差對(duì)工件面形誤差的影響規(guī)律、動(dòng)態(tài)誤差預(yù)算的組合規(guī)則等方面。(3)誤差預(yù)算的應(yīng)用研究，包括在不同類型機(jī)床的設(shè)計(jì)與制造中的應(yīng)用，特別是在三軸以上超精密機(jī)床中的應(yīng)用，不僅應(yīng)用于機(jī)床整機(jī)誤差預(yù)算，而且應(yīng)用于精密部件及其組合運(yùn)動(dòng)裝置的誤差預(yù)算。

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