關(guān)于復(fù)正規(guī)矩陣的2個(gè)不等式

沈 浮，夏必臘，周堂春

(解放軍陸軍軍官學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，安徽 合肥230031)

0 引言

矩陣不等式是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)很重要內(nèi)容。隨著矩陣?yán)碚摰难杆侔l(fā)展及其在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的廣泛運(yùn)用，關(guān)于矩陣不等式的新結(jié)果層出不窮。文獻(xiàn)［1］中的定理3.9指出:當(dāng)A是Hermite矩陣時(shí)，則有λmin(A)E≤A≤λmax(A)E。文獻(xiàn)［2］中定理6.2.2又指出:當(dāng)A和B為2個(gè)非負(fù)定的Hermite矩陣時(shí)，則有0≤trAB≤λmax(A)trB≤rtA·trB。這2個(gè)結(jié)果都是針對(duì)Hermite矩陣的，本文對(duì)復(fù)正規(guī)矩陣進(jìn)行了研究，得出了更進(jìn)一步的結(jié)論。

本文中，用Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部，用λmin(A)和λmax(A)分別表示Hermite矩陣A的最小特征值和最大特征值，用λRmin(A)和λRmax(A)分別表示復(fù)矩陣A實(shí)部最小的特征值和實(shí)部最大的特征值，用tr(A)記矩陣A的跡，向量x的共軛轉(zhuǎn)置用xH，E表示n階單位矩陣。

1 基本概念及相關(guān)引理

定義1:設(shè)A∈Cn×n，若對(duì)任意非零列向量x∈Cn×1，都有

則稱A為復(fù)正定矩陣(或復(fù)非負(fù)定矩陣)，記作A＞0(或A≥0)。

顯然，當(dāng)A為Hermite正定(非負(fù)定)矩陣時(shí)，它也是復(fù)正定(非負(fù)定)矩陣。

定義2:設(shè)A、B∈Cn×n，如果A－B是復(fù)正定矩陣(或復(fù)非負(fù)定矩陣)，則稱復(fù)矩陣A大于復(fù)矩陣B(或稱復(fù)矩陣A大于或等于復(fù)矩陣B)，記作A＞B(或A≥B)。

本文要用到復(fù)正定(非負(fù)定)矩陣以下幾個(gè)重要結(jié)果，把它們作為引理1。

引理1［1］:(1)設(shè)A=(aij)n×n∈Cn×n，且A是復(fù)正定矩陣(或復(fù)非負(fù)定矩陣)，則Re(aii)＞0 (或Re(aii)≥0)(i=1，2，…，n)。

(2)A是復(fù)正定(非負(fù)定)矩陣的充要條件是:A+AH為Hermite正定(非負(fù)定)矩陣。

(3)復(fù)對(duì)角矩陣A=diag(λ1，λ2，…，λn)是復(fù)正定(非負(fù)定)矩陣的充要條件是:Re(λi)＞0 (Re(λi)≥0)，i=1，2，…，n。

(4)設(shè)A、B∈Cn×n，若A＞B，P為n×m的列滿秩矩陣，則PHAP＞PHBP;當(dāng)P不是列滿秩時(shí)，由A≥B只能推出PHAP≥PHBP。

定義3:如果方陣A∈Cn×n滿足AAH=AHA，則稱A為正規(guī)矩陣。

引理2［3］:A∈Cn×n，則A酉相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是:A為正規(guī)矩陣。

引理3［4］:設(shè)A∈Cn×n是正規(guī)矩陣，則A為復(fù)正定(非負(fù)定)當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值實(shí)部皆為正(非負(fù))。

引理4［5］:設(shè)A、B∈Cn×n都是正規(guī)矩陣，則A、B可同時(shí)酉對(duì)角化的充要條件是AB=BA。

2 主要結(jié)果

下面的定理1、定理2及其推論就是本文的主要結(jié)果。

定理1:設(shè)A∈Cn×n是正規(guī)矩陣，則λRmin(A) E≤A≤λRmax(A)E。

證明:A是正規(guī)矩陣，由引理2知，存在酉矩陣U，使A=Udiag(λ1，λ2，…，λn)UH，這里λ1，λ2，…，λn必是A的n個(gè)特征值。于是由引理1的(3)、(4)知

即λRmin(A)E≤A≤λRmax(A)E。

由于復(fù)正定(非負(fù)定)的正規(guī)矩陣特征值實(shí)部全為正(非負(fù))，所以由定理1便得如下推論。

推論:設(shè)A∈Cn×n是復(fù)正定(非負(fù)定)的正規(guī)矩陣，則

定理2:設(shè)A、B∈Cn×n是復(fù)正規(guī)矩陣，AB= BA，A、B的特征值分別為λ1，λ2，…，λn和μ1，μ2，…，μn，則當(dāng)Re(λRmin(A)μj)≤Re(λjμj)≤Re (λRmax(A)μj)(j=1，2，…，n)時(shí)，Re(λRmin(A) trB)≤Re(trAB)≤Re(λRmax(A)trB)。

證明:因A、B可交換的正規(guī)矩陣，由引理4知:A、B可以同時(shí)酉對(duì)角化，即存在酉矩陣U，使得A=Udiag(λ1，λ2，…，λn)UH，B=Udiag(μ1，μ2，…，μn)UH。于是有

即λRmax(A)B－AB酉相似于對(duì)角矩陣。由于Re (λjμj)≤Re(λRmax(A)μj)(j=1，2，…，n)，故對(duì)角矩陣的對(duì)角元的實(shí)部全非負(fù)，從而λRmax(A)B≥AB。類似可證:當(dāng)Re(λRmin(A)μj)≤Re(λjμj)(j =1，2，…，n)時(shí)，λRmin(A)B≤AB。于是得

推論1:當(dāng)A∈Cn×n是復(fù)正規(guī)矩陣，B∈Cn×n為非負(fù)定的Hermite矩陣時(shí)，AB=BA，Re(λRmin(A)) ·trB≤Re(trAB)≤Re(λRmax(A))·trB。

證明:設(shè)A、B的特征值分別為λ1，λ2，…，λn和μ1，μ2，…，μn，因B是非負(fù)定的Hermite矩陣，所以其特征值μi(i=1，2，…，n)非負(fù)，于是在定理2證明中出現(xiàn)的(λRmax(A)－λi)μi(i=1，2，…，n)實(shí)部全非負(fù)，從而λRmax(A)B≥AB，類似地可以證明:λRmin(A)B≤AB。故

注意到trB≥0，便得Re(λRmin(A))·trB≤Re(λRmax(A))·trB。

推論2:設(shè)A∈Cn×n是非負(fù)定的正規(guī)矩陣，B∈Cn×n為非負(fù)定的Hermite矩陣，AB=BA，則0≤Re (λRmin(A))·trB≤Re(trAB)≤Re(λRmax(A))· trB。

證明:由推論1知，Re(λRmin(A))·trB≤Re (trAB)≤Re(λRmax(A))·trB顯然成立。再由trB≥0及Re(λRmin(A))≥0，便可得出推論2。

推論3:設(shè)A∈Cn×n是非負(fù)定的Hermite矩陣，B∈Cn×n為非負(fù)定的正規(guī)矩陣，AB=BA，則 λmin(A)·Re(trB)≤Re(trAB)≤λmax(A)·Re(trB)。

證明:在定理2中，如果設(shè)

則定理2的條件Re(λRmin(A)μj)≤Re(λjμj)≤Re(λRmax(A)μj)(j=1，2，…，n)就變成

在本推論中，依條件及引理3知:所有的aj≥0，bj=0，uj≥0，(j=1，2，…，n)，所以條件

相當(dāng)于

此不等式顯然成立。于是由定理2得:

注意到A是非負(fù)定的Hermite矩陣，即λRmin(A)=λmin(A)，λRmax(A)=λmax(A)，便得

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