基于正四棱錐形六元聲陣列被動定位的研究*

劉泳銳,劉文怡,甄成方

(中北大學(xué)電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030051)

作為物聯(lián)網(wǎng)的重要領(lǐng)域,在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)研究中,被動聲定位是一種利用聲音目標(biāo)信號來實(shí)現(xiàn)定位的無源探測技術(shù),由于其采用被動探測方式,不輻射電磁波,因此具有很強(qiáng)的隱蔽性。被測目標(biāo)即使利用隱身和干擾的手段來隱蔽自己,但也會有發(fā)出大量的噪聲,由于聲波的主要能量集中在次聲頻段,因而繞射能力強(qiáng)、衰減慢,聲音目標(biāo)被動探測技術(shù)正是利用目標(biāo)聲源的這一特性實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的自動檢測、識別、定位和跟蹤[1-2]。

對于聲音無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位系統(tǒng),聲音采集陣列設(shè)計(jì)是被動聲定位中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。聲音采集陣列一般可分為線性陣列、平面陣列和立體陣列等[3-4]。線性陣列是對以陣列所在直線為界的半個(gè)平面進(jìn)行定位。四元平面陣列是對整個(gè)平面進(jìn)行目標(biāo)定位,同時(shí)也可對平面陣列的平面為界所劃分的半個(gè)空間進(jìn)行定位,但它不能實(shí)現(xiàn)對運(yùn)動目標(biāo)全空間定位的要求,而且其方位角、俯仰角以及測量距離很大程度上受各陣元位置和有效聲速的影響。立體陣列可以對整個(gè)空間進(jìn)行定位,五元陣列雖然可以對全空間定位,但相對于四元平面陣列不能有效的提高定位精度。本文提出了一種六元正四棱錐形數(shù)學(xué)模型,并進(jìn)行了誤差分析。仿真結(jié)果表明,該模型可以對目標(biāo)聲源進(jìn)行有效定位,并且定位誤差小。

1　六元正四棱錐形數(shù)學(xué)模型的建立

對于六元正四棱錐形聲音陣列建立如圖1所示的笛卡爾坐標(biāo)系,其中六個(gè)陣元M0、M1、M2、M3、M4、M5的坐標(biāo)分別為(0,0,0)、(d/2,0,0)、(0,d/2,0)、(-d/2,0,0)、(0,-d/2,0)、(0,0,d/2)。設(shè)聲音目標(biāo)S為點(diǎn)聲源,坐標(biāo)為(x,y,z),俯仰角為θ,方位角為φ,S到六個(gè)點(diǎn)的距離分別為r0、r1、r2、r3、r4、r5。S到達(dá)M0的時(shí)間為t0;Mi相對于Mj的時(shí)延為τij,即S相對M0到達(dá)M1的時(shí)延為τ10,所以S到M2、M3、M4、M5的時(shí)延為τ20、τ30、τ40、τ50。設(shè)聲速均勻?yàn)閏。

圖1　六元正四棱錐形聲音陣列原理圖

根據(jù)相應(yīng)的幾何關(guān)系可得:

(1)

(2)

由式(1)得,

(3)

將式(2)代入式(3)得,

(t0+τ10)2+(t0+τ30)2=(t0+τ20)2+(t0+τ40)2

從而由式(1)得,

(4)

其中:r0=ct0,r1=c(t0+τ10),r2=c(t0+τ20),r5=c(t0+τ50)。

由幾何關(guān)系得,

所以得到球面坐標(biāo)為:

(5)

其中x、y、t0已由式(5)給出。

由上述可見,通過該模型可以通過測量τ10、τ20、τ30、τ40、τ50,并結(jié)合聲速c確定目標(biāo)S的空間位置,完成對聲音目標(biāo)的定位。

2　延時(shí)估計(jì)

由式(4)和式(5)可知,對聲音運(yùn)動目標(biāo)的測量依賴于時(shí)延,時(shí)延估計(jì)TDE(Time Delay Estimation)是聲音定位領(lǐng)域的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù),它是指傳感器陣列中不同傳感器接收到的同源信號之間由于傳輸距離不同而引起的時(shí)間差?；赥DE的聲源定位就要先估計(jì)出信號在不同陣元處的到達(dá)時(shí)間差TDOA(Time Delay Of Arrival)[5-6]。一般地,時(shí)延估計(jì)的算法包括廣義相互函數(shù)法[7]、互功率譜相位法、自適應(yīng)濾波法和參量模型法等[8-9]。互功率譜相位法由于目標(biāo)信號的頻率較低、實(shí)時(shí)性要求高,最小二乘擬合次數(shù)不能太高,所以常常用在估計(jì)精度不高的場合。自適應(yīng)濾波法運(yùn)算速度快,但在點(diǎn)聲源的干擾下對其估計(jì)精度影響較大。廣義互相關(guān)法具有較好的綜合性能,因此應(yīng)用較為廣泛[10-12]。

利用互相關(guān)算法可以非常方便的求出兩路信號的時(shí)延D從而計(jì)算出節(jié)點(diǎn)間的距離。設(shè)x1(t)、x2(t)分別為兩個(gè)聲傳感器接收到的聲音信號,S(t)為目標(biāo)聲源信號,D為聲陣列中兩陣元間的信號傳播時(shí)延,n1(t)、n2(t)分別為兩陣元傳感器的加性噪聲。并且假設(shè)聲源信號和噪聲信號均符合均值為0、方差為1的正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程,且三者之間互不相關(guān)。則x1(t)、x2(t)表示為:

為計(jì)算方便,我們假設(shè)α=1。

利用廣義互相關(guān)算法可以得到x1(t)、x2(t)的互相關(guān)函數(shù)為:

Rx1x2(τ)=E[x1(t)·x2(t+τ)]

(6)

對式(6)展開整理可以得到:

Rx1x2(τ)=E[(s(t)+n1(t))(s(t-D+τ)+n2(t+τ))]

=E[s(t)·s(t-D+τ)]=RSS(τ-D)

由上式可知,當(dāng)x1(t)、x2(t)互相關(guān)函數(shù)取得最大值時(shí),RSS(τ-D)也同時(shí)取得最大值,又因?yàn)镽SS(τ-D)≤RSS(0),所以取得最大值的時(shí)候τ=D,即求出τ就可以得到時(shí)延D。

對于時(shí)延D,需要對信號x1(t)和x2(t)進(jìn)行預(yù)處理,然后再送入相關(guān)器求互相關(guān)函數(shù),這種方法稱之為廣義互相關(guān)法。

廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)方法模型是由濾波器H、乘法器、積分器、平方器和峰值檢測器組成。如圖2所示。

圖2　廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)方法模型

信號x1(t)和x2(t)經(jīng)過加窗濾波后,得到互功率譜函數(shù):

由于互相關(guān)函數(shù)與互功率譜函數(shù)之間是一對傅立葉變換的關(guān)系,因此相關(guān)函數(shù)為:

由上式可知,當(dāng)權(quán)函數(shù)W(f)=1時(shí),即為一般的互相關(guān)法。

3　誤差分析

3.1　方位角、俯仰角誤差分析

3.1.1俯仰角誤差分析

通過式(1)和式(2)得到:

(7)

由于時(shí)延的統(tǒng)計(jì)誤差特性相同,故假設(shè)時(shí)延估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為:δτ10=δτ20=δτ30=δτ40=δτ50=δτ且相互獨(dú)立。

因此俯仰角誤差估計(jì)為:

(8)

對式(7)中θ分別求偏導(dǎo)數(shù)得:

(9)

將式(9)代入式(8)得到:

(10)

由式(7)和式(10)變形化簡得到:

(11)

由式(11)可知:俯仰角估計(jì)的精度受時(shí)延估計(jì)誤差、聲音傳感器陣列的尺寸和聲源俯仰角的影響。

3.1.2方位角誤差分析

方位角誤差估計(jì)為:

(12)

對式(7)中φ分別求偏導(dǎo)數(shù)得:

(13)

將式(13)代入式(12)得到:

(14)

由式(7)和式(14)變形化簡得到:

(15)

由式(15)可知:方位角估計(jì)的精度受時(shí)延估計(jì)誤差、聲音傳感器陣列的尺寸和聲源俯仰角的影響。

3.2　距離誤差分析

由式(1)和式(2)得到如下表達(dá)式:

(16)

距離誤差估計(jì)為:

(17)

通過計(jì)算得到時(shí)延τi0為:

(18)

用泰勒公式展開,同時(shí)忽略高階無窮小,可以得到:

(19)

化簡得:

(20)

對式(20)兩邊同時(shí)求和得:

(21)

代入下式:

(22)

可以得出:

(23)

因?yàn)?/p>

(24)

上式兩邊分別對τi0(i=1,2,3,4)求偏導(dǎo)數(shù)并化簡得:

(25)

將式(23)代入式(25)可得

(26)

將式(26)代入式(17)得到:

(27)

由式(27)可知:距離誤差估計(jì)的精度受時(shí)延估計(jì)精度、聲音傳感器陣列的尺寸和聲源俯仰角的影響,與方位角沒有關(guān)系。

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證模型設(shè)計(jì)的正確性,使用MATLAB R2010a軟件編寫算法,進(jìn)行仿真計(jì)算。仿真聲源的位置為S1(50,40,60),S2(-120,80,70),表1為使用MATLAB求出的數(shù)學(xué)模型理論值與模型誤差。實(shí)際使用時(shí)將正四棱錐的底面貼近地平面安裝,就可以對地平面上方的全空間進(jìn)行定位。如果需要對地下目標(biāo)進(jìn)行定位,可以將正四棱錐底面安裝在高處,將陣元M5點(diǎn)安放在下方即可。

表1　數(shù)學(xué)模型理論值與模型誤差

5　結(jié)論

文中提出了一種正四棱錐形六元聲音被動定位模型。在理論上進(jìn)行了推導(dǎo),并給出了計(jì)算公式。最后使用MATLAB軟件進(jìn)行模型仿真計(jì)算,給出了理論值和模型誤差。

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劉泳銳(1988-),男,現(xiàn)為中北大學(xué)在讀碩士研究生,研究方向?yàn)闇y試計(jì)量技術(shù)及儀器,lyr403@163.com;

劉文怡(1970-),男,現(xiàn)為中北大學(xué)博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)楹教熘悄軠y量系統(tǒng)。