時間窗下單船岸橋調(diào)度——基于數(shù)學(xué)規(guī)劃和規(guī)則的啟發(fā)式算法

樂美龍，趙彥營，劉秀玲

LE Meilong,ZHAO Yanying,LIU Xiuling

上海海事大學(xué) 物流研究中心，上海 201306

The Logistics Research Center,Shanghai Maritime University,Shanghai 201306,China

1 引言

隨著集裝箱運(yùn)輸?shù)牟粩喟l(fā)展，集裝箱港口競爭日益激烈，為此，提高集裝箱港口生產(chǎn)率尤其重要。涉及集裝箱港口生產(chǎn)率的操作有兩項(xiàng)：岸橋、龍門吊的裝卸操作和集卡的水平運(yùn)輸。其中，岸橋是集裝箱港口最重要也是最昂貴的設(shè)備。合理制定岸橋的調(diào)度計(jì)劃，有助于提高岸橋的生產(chǎn)率，減少船舶作業(yè)時間，降低港口運(yùn)作成本，對提高集裝箱港口的競爭力具有重要意義。

岸橋問題分為兩種：岸橋安排問題QCAP（Quay Crane Assignment Problem）和岸橋調(diào)度問題QCSP（Quay Crane Scheduling Problem）。QCSP是指給已指定的一組岸橋進(jìn)行裝卸排程。為此，必須定義裝卸任務(wù)屬性和岸橋?qū)傩浴?/p>

裝卸的任務(wù)屬性定義包括三個方面：

（1）任務(wù)的定義

①貝位域（Bay areas）：一個任務(wù)是由某些貝位上的裝卸集裝箱組成。

②單個貝位（Bays）：一個任務(wù)是一個貝位上的所有裝卸集裝箱。

③堆垛（Stacks）：同一貝位同一個列位置的一些集裝箱。

④集裝箱組（Groups）：同一貝位上的某幾個列上的集裝箱。它們通常有相同的目的地、類型等。

本文任務(wù)的定義：先根據(jù)貝位和裝卸操作分為一系列大任務(wù)，再將每個貝位上的有裝卸操作任務(wù)的一個集裝箱視為一個小任務(wù)，只有當(dāng)岸橋出現(xiàn)替接移動時，才會出現(xiàn)大任務(wù)的分割。

（2）任務(wù)的優(yōu)先順序：根據(jù)集裝箱在船上同一貝位的位置和裝還是卸操作而定。如一艘船舶：同一貝位先卸后裝；先卸甲板再卸艙內(nèi)；先裝艙內(nèi)再裝甲板。

（3）任務(wù)的不可同時執(zhí)行性：由于岸橋的安全距離要求，有些任務(wù)不可以同時執(zhí)行。

岸橋?qū)傩远x包括六個因素：

（1）準(zhǔn)備時間（Ready times）：每臺岸橋的最早可獲得時間。

（2）時間窗（Time windows）：每臺岸橋都有一個可作業(yè)的時間窗。

（3）位置（Position）：每臺岸橋都有一個初始位置和終止位置。

（4）轉(zhuǎn)移時間（Travel times）：每臺岸橋在貝位之間轉(zhuǎn)移的時間。

（5）安全距離（Safety margins）：同時作業(yè)的兩臺岸橋之間都有一個最小的安全距離，即8個貝位距離。

（6）岸橋的裝卸速度：由于岸橋或岸橋司機(jī)的操作熟練程度不一樣，每臺岸橋的裝卸速度也不一樣。

理論研究中主流的岸橋調(diào)度目標(biāo)函數(shù)有兩個：一是最小化岸橋的最遲作業(yè)完成時間和所有岸橋作業(yè)時間總和，前者權(quán)重大于后者；二是最小化岸橋的最遲作業(yè)完成時間。

在岸橋調(diào)度研究方面，Dirk Steenken[1]等人建立了just-in-time調(diào)度模型，研究了出口集裝箱船的每個集裝箱的船上儲位問題，目的是減少岸橋的等待時間。Kim和Park[2]研究了單艘船舶的岸橋調(diào)度問題，在考慮岸橋任務(wù)的優(yōu)先順序、岸橋之間的安全距離等因素下，建立混合整數(shù)線性模型，運(yùn)用分支定界法和貪婪隨機(jī)自適應(yīng)算法進(jìn)行了求解。Luigi Moccia[3]等人在Kim和Park模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展了約束條件的范圍，他們運(yùn)用CPLEX和分支-切割算法來分別求解小、大規(guī)模岸橋問題。Young-Man Park[4]等人研究了在堆場龍門吊干擾下的岸橋調(diào)度問題，運(yùn)用貪婪隨機(jī)自適應(yīng)算法進(jìn)行了求解。Marcello Sammarra[5]等人采用Kim和Park的模型，將岸橋調(diào)度問題分解為路徑和排程兩個子問題，從而轉(zhuǎn)化為求解最小化最長路徑問題，分別運(yùn)用禁忌搜索算法和局部搜索算法進(jìn)行求解。Der-HorngLee[6]等人在以一個船艙為一個任務(wù)、岸橋之間沒有相互干涉限制的條件下建立了混合整數(shù)線性模型，運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行了求解。R.Tavakkoli-Moghaddam[7]等人拓展了Kim和Park的模型，從岸橋成本角度，通過建立混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，研究了多條船舶的岸橋安排問題和岸橋調(diào)度問題QCSAP（Quay Crane Scheduling Assignment Problem），并運(yùn)用 LINGO和一種有效的遺傳算法分別求解了小、大規(guī)模問題。Frank Meisel[8]等人研究了單向移動的岸橋調(diào)度問題，他們通過建立分割圖模型（Disjunctive graph model），運(yùn)用分支定界啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，并提出了新的分支原則。Kap Hwan Kim[9]等人研究了雙吊具技術(shù)下的岸橋調(diào)度問題，它以最大的雙吊具岸橋的操作次數(shù)（也就是最小化岸橋的操作次數(shù)）為目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用一種混合啟發(fā)式算法進(jìn)行求解。Der-Horng Lee[10]等人研究了關(guān)于進(jìn)口集裝箱的岸橋和集卡聯(lián)合調(diào)度問題，通過建立混合整數(shù)線性模型，并運(yùn)用遺傳算法和改正的規(guī)則啟發(fā)式算法（Modified Johnson’s Rule-based Heuristic Algorithm，MJRHA）進(jìn)行了求解。Frank Meisel[11]建立了帶有時間窗的岸橋調(diào)度模型，并運(yùn)用樹枝搜索啟發(fā)式算法進(jìn)行了求解。Frank Meisel[12]等人研究了單艘船舶的岸橋調(diào)度問題，在不同工作效率、時間窗，并向同一個方向移動條件下，建立混合整數(shù)線性模型，運(yùn)用分支定界法求解模型，并提出了新的分支原則。

在上述研究基礎(chǔ)上，綜合考慮岸橋?qū)傩院腿蝿?wù)屬性因素，提出了基于規(guī)則的、更貼近實(shí)際的、帶有時間窗的岸橋調(diào)度優(yōu)化問題，并進(jìn)行了分階段求解。

2 問題描述

在文獻(xiàn)[11-12]基礎(chǔ)上，給定一組岸橋，采用最小化單艘船舶岸橋最遲作業(yè)完成時間為目標(biāo)函數(shù)；考慮任務(wù)屬性中任務(wù)的優(yōu)先順序、不可同時執(zhí)行性和岸橋?qū)傩灾邪稑虻臅r間窗、轉(zhuǎn)移時間、初始位置、安全距離、裝卸速度等因素，通過建立混合整數(shù)線性模型P1，得出各臺岸橋的裝卸任務(wù)時序表。岸橋調(diào)度問題流程如圖1所示。

圖1 岸橋調(diào)度問題流程

模型基于以下假設(shè)：

（1）岸橋在同一軌道上作業(yè)，因此岸橋不能交叉作業(yè)；

（2）岸橋只能在可獲得的時間窗內(nèi)作業(yè)；

（3）同時作業(yè)的兩臺岸橋之間都有一個最小的安全距離，即8個貝位距離；

（4）岸橋的裝卸速度：岸橋是同一性的。但由于港口每臺岸橋司機(jī)的操作熟練程度不一樣，岸橋的工作速度也不一樣。

3 數(shù)學(xué)模型P1

3.1 參數(shù)

3.2 決策變量

W ，船舶裝卸完成時間；Ci，任務(wù)i的完成時間；Ek，k岸橋的結(jié)束時間。

Zij，任務(wù)i和任務(wù) j不能同時執(zhí)行；任務(wù)i完成后，任務(wù) j才能開始取1，反之0。

3.3 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)式（1）表示單艘船舶的最小化作業(yè)完成時間。目標(biāo)函數(shù)也可以表示為：

3.4 約束條件

模型最終給出船舶的岸橋作業(yè)完成時間和帶時間窗的岸橋調(diào)度時序表，其中岸橋調(diào)度時序表包含了每臺岸橋的任務(wù)次序、每項(xiàng)任務(wù)的開始時間和結(jié)束時間。公式（3）表示船舶作業(yè)完成時間不早于任何一臺岸橋的最遲作業(yè)完成時間。公式（4）定義了每臺岸橋的第一項(xiàng)任務(wù)。公式（5）定義了每臺岸橋的最后一項(xiàng)任務(wù)。公式（6）定義了一項(xiàng)任務(wù)一次只能有一臺而且必須有一臺岸橋去執(zhí)行。公式（7）表示岸橋執(zhí)行任務(wù)的流動平衡，即每臺岸橋不管從哪個任務(wù)進(jìn)入任務(wù) j，就必須從任務(wù) j轉(zhuǎn)入別的任務(wù)。公式（8）定義了每項(xiàng)任務(wù)的完成時間。公式（9）定義了有優(yōu)先順序的集合對(i，j)，任務(wù)i必須在任務(wù) j開始之前完成。公式（10）表示若任務(wù)i在任務(wù) j之前，任務(wù) j開始時間必須在任務(wù)i完成后。公式（11）定義了當(dāng)任務(wù)i和任務(wù) j距離小于8個貝位時，任務(wù)i和任務(wù) j不能同時作業(yè)；要么任務(wù)i作業(yè)在前，任務(wù) j作業(yè)在后；要么任務(wù) j在前，任務(wù)i在后。公式（12）定義了每臺岸橋的完成時間。公式（13）和公式（14）定義了每臺岸橋可作業(yè)的時間窗。公式（15）～（17）定義了三個正數(shù)變量。公式（18）和公式（19）定義了四個0-1變量。

4 基于規(guī)則的啟發(fā)式算法

4.1 簡單模型P2

為降低上述模型P1的求解復(fù)雜度，在文獻(xiàn)[11-12]基礎(chǔ)上建立了簡單模型P2。P2只初步求解單艘船舶岸橋的最短作業(yè)完成時間，不求每臺岸橋的每項(xiàng)任務(wù)的開始時間和完成時間。

4.1.1 簡單模型P2問題描述

給定一組岸橋，考慮岸橋的時間窗、移動時間和裝卸速度三個因素，建立以單艘船舶岸橋的最短作業(yè)完成時間為目標(biāo)函數(shù)的模型P2?；谙率黾僭O(shè)，建立模型P2。

（1）岸橋之間不存在干擾，不考慮岸橋之間的安全距離。

（2）不考慮裝卸任務(wù)之間的優(yōu)先關(guān)系。

（3）每臺岸橋都有可作業(yè)的時間窗。

（4）岸橋在兩個貝位間有一定的轉(zhuǎn)移時間。

4.1.2 簡單模型P2引入新的決策變量如下：

Dk1，如果k岸橋；0，否則。

簡單模型P2：

公式（1）仍是目標(biāo)函數(shù)，表示單艘船舶的最短作業(yè)完成時間。公式（20）定義了船舶作業(yè)完成時間不早于任何一臺岸橋的最遲作業(yè)完成時間。公式（21）定義了每臺岸橋可作業(yè)的時間窗。公式（22）～（28）定義了每臺岸橋的最小移動時間。公式（29）定義了三個正數(shù)變量。公式（30）和公式（31）定義了兩個0-1變量。

4.2 基于規(guī)則的啟發(fā)式算法

在給定的岸橋時間窗下，為岸橋制定岸橋調(diào)度時序表，它是指給各岸橋分配船舶裝卸作業(yè)任務(wù)并安排作業(yè)先后順序。目標(biāo)是使各岸橋結(jié)束作業(yè)必須在岸橋的時間窗內(nèi)結(jié)束，并且船舶在港的作業(yè)時間最短。啟發(fā)式算法的主要思想：階段1，根據(jù)裝卸船基本原則構(gòu)建模型初始值。階段2，在初始值基礎(chǔ)上，根據(jù)裝卸船基本原則和岸橋的具體工作時間進(jìn)行局部調(diào)整，如果求得的解優(yōu)于當(dāng)前解，則更新當(dāng)前解；否則，不斷迭代，直到得到滿意解。基于規(guī)則的啟發(fā)式算法流程圖如圖2所示。

圖2 基于規(guī)則的啟發(fā)式算法流程圖

4.2.1 啟發(fā)式算法階段1

階段1根據(jù)裝卸船基本原則構(gòu)建模型初始值。

裝卸船規(guī)則的優(yōu)先級：

首先進(jìn)行重點(diǎn)路的判斷。

（1）如果有重點(diǎn)路，保證重點(diǎn)路作業(yè)，保證不使次重點(diǎn)路人為變成重點(diǎn)路。

（2）如果沒有重點(diǎn)路，先做高柱貝位，避免產(chǎn)生重點(diǎn)路；盡量平衡各路作業(yè)量。

其次考慮挖孔作業(yè)，方便后來同時多路作業(yè)。

最后按照岸橋的移動方向完成整艘船舶作業(yè)。

步驟1根據(jù)船舶的貝位任務(wù)柱形圖3確認(rèn)是否有重點(diǎn)路。

圖3 船舶貝位柱形集裝箱圖

重點(diǎn)路定義為：單船相鄰兩個大貝位上的任務(wù)箱量大于平均作業(yè)路數(shù)箱量。兩個大貝位（八個貝位）的最大箱量 Qz：當(dāng)時，。平均作業(yè)路數(shù)箱量Qm=總作業(yè)量/作業(yè)路數(shù)，Qm=Q/m。當(dāng)Qz≥Qm，此為重點(diǎn)路，進(jìn)入步驟2和步驟3；當(dāng)Qz＜Qm，此船無重點(diǎn)路，進(jìn)入步驟2和步驟4。

根據(jù)船舶的貝位任務(wù)數(shù)量，即船舶的貝位任務(wù)柱形圖（見圖3），結(jié)合該船總的裝卸箱量，可確認(rèn)該船舶是否有重點(diǎn)路。

步驟2挖孔作業(yè)思想

挖孔作業(yè)是指單船上連續(xù)三個大貝位都有裝卸任務(wù)時，安排岸橋先執(zhí)行中間的一個貝位上的任務(wù)，即當(dāng)li+4=lj，且lj+4=ll，先安排岸橋執(zhí)行l(wèi)j貝位上的 j任務(wù)。目的是方便后來的任務(wù)i和任務(wù) j被不同的岸橋同時作業(yè)。

步驟3如果該船舶有重點(diǎn)路，則運(yùn)用有重點(diǎn)路情況下的啟發(fā)式算法。具體步驟如下：

第3.1步：結(jié)合挖孔作業(yè)思想，安排作業(yè)速度最快的岸橋作重點(diǎn)路任務(wù)。

第3.2.1步：如果li和lj是重點(diǎn)路任務(wù)，li+4=lj，且lj+4=ll，那么安排作業(yè)速度最快的岸橋k作lj貝位上的 j任務(wù)。

第3.2.2步：如果li和lj是重點(diǎn)路任務(wù)，li+4=lj，且lj+4≠ll，ll+4≠li，那么可以安排作業(yè)速度最快的岸橋從重點(diǎn)路的任意一個貝位開始執(zhí)行任務(wù)。

第3.3步：如果li+4=lj，且lj+4=ll，安排岸橋作lj貝位上的任務(wù)；再根據(jù)貝位上的優(yōu)先任務(wù)順序執(zhí)行。

第3.4步：岸橋的替接移動。當(dāng)岸橋QC1完成li貝位上的任務(wù)，li+4=lj，且岸橋QC2在執(zhí)行l(wèi)l貝位上的任務(wù)，lj+4=ll；即當(dāng)兩項(xiàng)任務(wù)的間隔距離dij≥8時，當(dāng)其中一臺岸橋有空閑時，可以發(fā)生一次替接移動。兩臺岸橋同時向有未完成任務(wù)的方向移動，形成兩臺岸橋平行作業(yè)。

第3.5步：岸橋在完成一項(xiàng)任務(wù)時，去執(zhí)行距離它最近的任務(wù)。岸橋任務(wù)依次循環(huán)，直至所有任務(wù)都被執(zhí)行結(jié)束。

步驟4如果沒有重點(diǎn)路，則用沒有重點(diǎn)路情況下的啟發(fā)式算法。具體步驟如下：

第4.1步：將總的裝載箱量除以作業(yè)路數(shù)，得到平均每路作業(yè)的箱量。

第4.2步：按前后順序?qū)⑷蝿?wù)分配給各作業(yè)路。

第4.3步：對分配給各路的作業(yè)，結(jié)合挖孔思想，先安排各岸橋執(zhí)行柱形圖中的高柱貝位任務(wù)。

第4.4步：岸橋的替接移動。當(dāng)岸橋QC1完成li貝位上的任務(wù)，li+4=lj，且岸橋QC2在執(zhí)行l(wèi)l貝位上的任務(wù)，lj+4=ll，即當(dāng)兩個任務(wù)的間隔距離dij≥8時，當(dāng)其中一臺岸橋有空閑時，可以發(fā)生一次替接移動。兩臺岸橋同時向有未完成任務(wù)的方向移動，形成兩臺岸橋平行作業(yè)。

第4.5步：岸橋在完成一項(xiàng)任務(wù)時，根據(jù)各作業(yè)路任務(wù)群去執(zhí)行距離它最近的任務(wù)。岸橋任務(wù)依次循環(huán)，直至所有任務(wù)都被執(zhí)行結(jié)束。

4.2.2 啟發(fā)式算法階段2

階段2在初始值基礎(chǔ)上，進(jìn)行局部調(diào)整，尋求最優(yōu)解。

根據(jù)岸橋作業(yè)的均衡化原則，及各岸橋的相應(yīng)任務(wù)的同步性原則，在初始值的基礎(chǔ)上進(jìn)行局部調(diào)整，得到新解。如果求得的新解優(yōu)于當(dāng)前解，則更新當(dāng)前解；否則，繼續(xù)迭代，直到得到滿意解。

5 算例

5.1 算例數(shù)據(jù)

計(jì)算數(shù)據(jù)為寧波某集裝箱港口數(shù)據(jù)。具體數(shù)據(jù)見表1～表4。表4為兩兩任務(wù)距離表。另外岸橋的單位貝位移動時間t為0.003 h，岸橋間的最小距離為8個貝位距離。

表1 船舶裝卸任務(wù)數(shù)據(jù)表

表2 岸橋數(shù)據(jù)表

5.2 模型P2解算

采用上述數(shù)據(jù)，運(yùn)用LINGO9.0軟件對P2模型進(jìn)行求解。在惠普6515bADM Athlon64 X2雙核處理器、內(nèi)存為1 GB和硬盤為160 GB的個人計(jì)算機(jī)上，運(yùn)行了24.5 h，得到了全局最優(yōu)解，最短完成時間9.971111 h，它為模型P1的下限邊界值。詳細(xì)求解結(jié)果如表5，每臺岸橋的工作任務(wù)、完成時間和左右最小移動時間。

表3 岸橋首個任務(wù)距離表

表5 簡單模型P2求解結(jié)果

5.3 基于規(guī)則的啟發(fā)式算法解算P1

同樣采用上述數(shù)據(jù)，根據(jù)3.2節(jié)所述基于規(guī)則的啟發(fā)式算法對模型P1進(jìn)行求解，得到船舶的岸橋調(diào)度時序表如表6～表10。

5.4 數(shù)據(jù)分析

對模型P2和模型P1的求解結(jié)果（表11）進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)值從9.971111 h上升到10.427 h，增加了0.456 h。但是模型P2中有些岸橋的某些任務(wù)安排不符合港口實(shí)際，如岸橋在實(shí)際執(zhí)行任務(wù)時不能相互跨越；模型P2中的岸橋1的任務(wù)14，岸橋2的任務(wù)20。

表6 QC1調(diào)度時序表1）

表7 QC2調(diào)度時序表1）

表8 QC3調(diào)度時序表1）

表9 QC4調(diào)度時序表1）

表10 QC5調(diào)度時序表1）

表11 兩種方法結(jié)果比較表

由模型1的岸橋調(diào)度時序表，可得到任務(wù)銜接圖（圖4）。由圖4可以直觀看出各岸橋的相應(yīng)任務(wù)完成時間很接近，這與港口的實(shí)際操作相符；另外各岸橋均在時間窗內(nèi)作業(yè)。由此可見：該艘船舶的岸橋調(diào)度時序表和目標(biāo)值10.427 h是符合實(shí)際的較好的滿意解。

圖4 單艘船舶岸橋任務(wù)時間分布圖

6 結(jié)語

岸橋調(diào)度研究有利于縮短船舶在港作業(yè)時間，提高港口生產(chǎn)率。本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)是在注重理論研究的基礎(chǔ)上，更加關(guān)注實(shí)際應(yīng)用，表現(xiàn)在：一是考慮了岸橋?qū)傩灾邪稑虻臅r間窗、裝卸速度等實(shí)際因素。二是根據(jù)港口中控人員的實(shí)際操作，抽象出岸橋的工作原則，提出了基于規(guī)則的啟發(fā)式算法，將其求解結(jié)果與下限值進(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)該解屬于較好的滿意解。

本文的不足之處是沒有考慮其他設(shè)備（集卡、龍門吊）對岸橋調(diào)度問題的影響，也沒有考慮實(shí)際港口作業(yè)中的隨機(jī)因素影響，如岸橋故障、天氣的影響。因此，隨機(jī)因素可作為進(jìn)一步研究的方向。

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