王仲才
(南昌理工學(xué)院,江西 南昌 330044)
設(shè)n,l,h≥2為正整數(shù),我們有
[定理1] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的2l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。
證明 以n為頭的接連2h個(gè)正整數(shù)中,前h個(gè)是
個(gè)h個(gè)是n+h,n+1+h,n+2+h,…,n+2h-1
對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是h,若a,b是正整數(shù),a=b+h,那么
那么,對(duì)應(yīng)項(xiàng)的平方差是h的整數(shù)倍,那么,總的平方的代數(shù)和是h的整數(shù)倍
已知l=1,2時(shí),結(jié)果成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)
成立,那么對(duì)于
由歸納假設(shè),結(jié)論對(duì)于應(yīng)項(xiàng)成立,從而總的代數(shù)和結(jié)論也成立。
證畢。
[定理2] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的3l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。
證明 已知接連的2h個(gè)正整數(shù)中,前后h個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是h,由2數(shù)立方差公式
得悉對(duì)應(yīng)項(xiàng)的立方差都是h的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)筆也是h的整數(shù)倍,即l=1時(shí),結(jié)論成立。假設(shè)
是h的整數(shù)倍,那么
由歸納假設(shè),它是h的整數(shù)倍,那么,總的代數(shù)和也是h的整數(shù)倍。證畢。
[定理3] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的5l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。
證明:接連的2h個(gè)正整數(shù)中,前后h個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是h,那么
即它是h的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和也是h的整數(shù)倍,即l=1時(shí),結(jié)論正確。
由歸納假設(shè)和上面的證明,它也是h的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和也是h的整數(shù)倍。
證畢。
[定理4] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的7l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。證明 若a是正整數(shù),則由(1)式
即它是h的整數(shù)倍,即對(duì)于l=1,結(jié)論對(duì)于對(duì)應(yīng)項(xiàng)成立,那么,總的代數(shù)和結(jié)論也成立。
由歸納假設(shè)和上面的證明,即對(duì)應(yīng)項(xiàng)結(jié)論成立,那么,總的代數(shù)和結(jié)論也成立。
證畢。
注意到:4l=22l,6l=2l×3l,8l=23l,9l=32l,10l=5l×2l。則有
反復(fù)應(yīng)用[定理1]、[定理2]、[定理3]、[定理4]即得結(jié)論,證畢。
注意到接連的2h個(gè)偶數(shù)中,前h個(gè)是
后h個(gè)是
對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是2h
那么類似關(guān)于接連2h個(gè)正整數(shù)相應(yīng)結(jié)果。
我們有[一般定理6]接連的2h個(gè)偶數(shù)的
次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。
證畢。
注意到接連的2h個(gè)奇數(shù)中,前h個(gè)是
后h個(gè)是
對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是2h
那么類似[一般定理6]
我們有[一般定理7]接連的2h個(gè)奇數(shù)的
次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。
證明,這完全類似[一般定理6]的證明,略。
證畢。
注:取h=3,6,即得文,的部分結(jié)果。
注:由以上結(jié)果的證明中,得悉對(duì)于
次方,結(jié)果都成立。
[1]王仲才.關(guān)于接連的6的整數(shù)倍個(gè)正整數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的3的任意次方的代數(shù)和的神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2011(4).
[2]王仲才.關(guān)于12的神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2012(2).