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    關(guān)于兩個(gè)以上個(gè)偶數(shù)個(gè)接連的正整數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的神奇特征(續(xù)十六)

    2014-04-02 01:45:28王仲才
    關(guān)鍵詞:次方偶數(shù)正整數(shù)

    王仲才

    (南昌理工學(xué)院,江西 南昌 330044)

    設(shè)n,l,h≥2為正整數(shù),我們有

    [定理1] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的2l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。

    證明 以n為頭的接連2h個(gè)正整數(shù)中,前h個(gè)是

    個(gè)h個(gè)是n+h,n+1+h,n+2+h,…,n+2h-1

    對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是h,若a,b是正整數(shù),a=b+h,那么

    那么,對(duì)應(yīng)項(xiàng)的平方差是h的整數(shù)倍,那么,總的平方的代數(shù)和是h的整數(shù)倍

    已知l=1,2時(shí),結(jié)果成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)

    成立,那么對(duì)于

    由歸納假設(shè),結(jié)論對(duì)于應(yīng)項(xiàng)成立,從而總的代數(shù)和結(jié)論也成立。

    證畢。

    [定理2] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的3l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。

    證明 已知接連的2h個(gè)正整數(shù)中,前后h個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是h,由2數(shù)立方差公式

    得悉對(duì)應(yīng)項(xiàng)的立方差都是h的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)筆也是h的整數(shù)倍,即l=1時(shí),結(jié)論成立。假設(shè)

    是h的整數(shù)倍,那么

    由歸納假設(shè),它是h的整數(shù)倍,那么,總的代數(shù)和也是h的整數(shù)倍。證畢。

    [定理3] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的5l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。

    證明:接連的2h個(gè)正整數(shù)中,前后h個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是h,那么

    即它是h的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和也是h的整數(shù)倍,即l=1時(shí),結(jié)論正確。

    由歸納假設(shè)和上面的證明,它也是h的整數(shù)倍,從而總的代數(shù)和也是h的整數(shù)倍。

    證畢。

    [定理4] 接連的2h個(gè)正整數(shù)的7l次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。證明 若a是正整數(shù),則由(1)式

    即它是h的整數(shù)倍,即對(duì)于l=1,結(jié)論對(duì)于對(duì)應(yīng)項(xiàng)成立,那么,總的代數(shù)和結(jié)論也成立。

    由歸納假設(shè)和上面的證明,即對(duì)應(yīng)項(xiàng)結(jié)論成立,那么,總的代數(shù)和結(jié)論也成立。

    證畢。

    注意到:4l=22l,6l=2l×3l,8l=23l,9l=32l,10l=5l×2l。則有

    反復(fù)應(yīng)用[定理1]、[定理2]、[定理3]、[定理4]即得結(jié)論,證畢。

    注意到接連的2h個(gè)偶數(shù)中,前h個(gè)是

    后h個(gè)是

    對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是2h

    那么類似關(guān)于接連2h個(gè)正整數(shù)相應(yīng)結(jié)果。

    我們有[一般定理6]接連的2h個(gè)偶數(shù)的

    次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。

    證畢。

    注意到接連的2h個(gè)奇數(shù)中,前h個(gè)是

    后h個(gè)是

    對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是2h

    那么類似[一般定理6]

    我們有[一般定理7]接連的2h個(gè)奇數(shù)的

    次方中,前h個(gè)取負(fù),后h個(gè)取正,則它們的代數(shù)和是h的整數(shù)倍。

    證明,這完全類似[一般定理6]的證明,略。

    證畢。

    注:取h=3,6,即得文,的部分結(jié)果。

    注:由以上結(jié)果的證明中,得悉對(duì)于

    次方,結(jié)果都成立。

    [1]王仲才.關(guān)于接連的6的整數(shù)倍個(gè)正整數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的3的任意次方的代數(shù)和的神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2011(4).

    [2]王仲才.關(guān)于12的神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2012(2).

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