齒輪的剩余強度模型及其動態(tài)可靠度

林小燕，魏靜，賴育彬，秦大同，張愛強，汝學(xué)斌

(1.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044; 2.太原重工股份有限公司 齒輪傳動分公司，山西 太原 030024)

齒輪的剩余強度模型及其動態(tài)可靠度

林小燕1，魏靜1，賴育彬1，秦大同1，張愛強1，汝學(xué)斌2

(1.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044; 2.太原重工股份有限公司 齒輪傳動分公司，山西 太原 030024)

針對現(xiàn)有剩余強度模型不適用于體積大、壽命長、造價高的齒輪傳動的壽命預(yù)測問題，本文應(yīng)用非線性疲勞損傷累積理論建立剩余強度預(yù)測模型，該模型的參數(shù)由S- N曲線確定，以避免進行大量破壞性實驗。結(jié)合損傷等效理論推導(dǎo)二級加載剩余強度預(yù)測公式，并將模型預(yù)測結(jié)果與材料實驗結(jié)果進行比較，以驗證模型的合理性。考慮齒輪傳動強度及所受載荷隨機性的特點，以應(yīng)力-強度干涉理論為基礎(chǔ)，建立齒輪傳動動態(tài)可靠度功能函數(shù)；并利用攝動法及Rackwitz- Fiessler法(JC驗算點法)得到齒輪傳動服役過程中可靠度指標及可靠度動態(tài)變化曲線。研究表明：齒輪服役前期，應(yīng)關(guān)注齒面接觸疲勞強度可靠度；齒輪服役中后期，應(yīng)關(guān)注齒面接觸疲勞強度可靠度及齒根彎曲疲勞強度可靠度。

非線性疲勞損傷； 齒輪傳動； 剩余強度； 損傷等效； 動態(tài)可靠度； 接觸疲勞； 彎曲疲勞； 正態(tài)分布

Abstract：Existing residual strength models are inapplicable in the life forecast of a transmission gear with large volume, long life, and high cost. Thus, a new residual strength model is proposed to address this shortcoming. The proposed model is based on the nonlinear fatigue damage accumulation theory and its parameters are extrapolated from the S- N curve of materials to avoid massive and destructive experiments. The formula for residual strength prediction under two- stage loading is derived through the damage equivalent theory. Then, the model prediction result is compared with experimental data to verify the feasibility of the model. Considering the drive strength of the gear and the randomness of the load, the dynamic reliability function of the gear drive is established on the basis of the theory of stress- strength interference. In addition, the perturbation method and JC design point method are utilized to obtain the reliability index and the dynamic change curve of reliability in the drive process of the gear. Research shows that the reliability of the contact fatigue strength of the tooth surface in the early stage of gear service should receive more attention. By contrast, the fatigue- strength reliability of the tooth- surface contact and that of the tooth- root bending in the mid and late stage of gear service should receive more attention.

Keywords：nonlinear fatigue damage; gear drive; residual strength; damage equivalent; dynamic reliability; contacting fatigue; bending fatigue; normal distribution

齒輪是航空航天、能源、交通及機器人等領(lǐng)域中極其重要的基礎(chǔ)零部件，齒輪的可靠性關(guān)系到整個傳動系統(tǒng)甚至整個機械系統(tǒng)的安全。其剩余強度與可靠度預(yù)測是齒輪傳動研究的重要內(nèi)容。

剩余強度是指零部件、結(jié)構(gòu)在使用一段時間后，還具備的抵抗外載荷的能力。剩余強度模型有幾十種，不同的材料有不同的強度衰減形式，對應(yīng)的剩余強度模型也各不相同，Sen等基于疲勞裂紋的擴展特性提出了用于金屬纖維層板性能優(yōu)化的剩余強度模型[1]。張祿等運用強度退化模型建立了2種不同的金屬構(gòu)件疲勞累積損傷模型，模型利用材料疲勞壽命特性確定了強度退化模型的系數(shù)，并結(jié)合試驗數(shù)據(jù)對模型在兩級和三級載荷下疲勞剩余壽命的估算能力進行了驗證[2]。BIAN根據(jù)復(fù)合材料的疲勞損傷特性提出了復(fù)指數(shù)剩余強度模型[3]；Koo建立了適用于受沖擊載荷作用的復(fù)合材料的剩余強度模型[4]；Ashhad在Azad提出的經(jīng)驗公式的基礎(chǔ)上進行擴展，提出了一個人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)剩余強度預(yù)測模型，利用該模型對銹蝕鋼筋混凝土梁進行剩余壽命預(yù)測，并與Azad的經(jīng)驗公式預(yù)測結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)進行了對比[56]；Alberto針對材料“突然死亡”的特性對現(xiàn)有的模型進行了徹底的修正，且修正后的模型沒有在原有模型的基礎(chǔ)上增加未知參數(shù)[7]。

疲勞損傷累積理論中應(yīng)用最廣泛的是miner線性損傷理論。但在研究中發(fā)現(xiàn)材料的疲勞損傷與載荷的狀況、加載次序、載荷間的相互作用有關(guān)，疲勞損傷并非線性累積?；谶@些發(fā)現(xiàn)，提出了各種非線性疲勞損傷累積模型：安宗文等將Gamma過程的形狀參數(shù)假定為線性函數(shù), 并建立了基于P- S- N曲線的強度退化隨機模型[8]；Han等提出了一種非線性腐蝕疲勞損傷累積模型，腐蝕疲勞損傷被認為由腐蝕損傷及應(yīng)力疲勞損傷組成，并基于損傷累積原則建立了腐蝕疲勞壽命模型[9]；林杰威通過鈦合金TC4(Ti-6Al-4V)疲勞試驗獲得了葉片材料的S- N曲線，基于連續(xù)損傷理論對CHABOCHE提出的非線性損傷累積模型進行修正，提出了一種適用于航空發(fā)動機葉片的連續(xù)非線性損傷模型，并驗證了模型的正確性[10-11]。

本文在現(xiàn)有非線性疲勞累積損傷理論的基礎(chǔ)上，根據(jù)剩余強度衰減的特點建立了一種由應(yīng)力-壽命曲線確定未知參數(shù)的剩余強度預(yù)測模型，并將所提出的剩余強度模型結(jié)合動態(tài)可靠度功能函數(shù)，應(yīng)用攝動法及JC驗算點法計算齒輪傳動的接觸、彎曲疲勞可靠度。

1 基于非線性疲勞損傷累積理論的剩余強度模型

1.1 非線性疲勞損傷累積模型

方義慶等在文獻[11]的基礎(chǔ)上提出了基于全域損傷測試建立的連續(xù)疲勞損傷模型：

(1)

其中

(2)

σl(σm)=σ-1(1-bσm)

(3)

(4)

該模型以斷裂力學(xué)為基礎(chǔ)，以金屬材料的韌性作為損傷變量[12]。文獻[12]還利用30CrMnSiA及45#鋼對模型進行了實驗驗證。另外文獻[13]利用30NiCrMoV12對該模型進行了實驗驗證。模型適用于這三種不同的金屬材料，說明了該模型具有一定的適用性。

對式(1)進行積分，并有邊界條件：

1)當載荷循環(huán)次數(shù)n為零時, 疲勞損傷D也為零；2)當載荷循環(huán)次數(shù)為疲勞壽命Nf時，疲勞損傷為D為1。

積分后有

(5)

(6)

式中：σmax表示最大應(yīng)力，σm為平均應(yīng)力，σ-1表示疲勞極限，M0、U、a、b、b′均為材料常數(shù)，σ-1(σm)為平均應(yīng)力下的疲勞極限，D為累積損傷，Nf表示疲勞壽命。

模型中的材料常數(shù)依據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進行確定：U=0.55γ，γ為S- N曲線中間區(qū)域斜率；b可以通過式(2)及S- N曲線確定；將式(2)、(4)代入式(6)中，結(jié)合材料的S- N曲線即可確定M0、a的關(guān)系式，并不需要確定M0、a的具體值。這些參數(shù)應(yīng)用現(xiàn)有的材料數(shù)據(jù)即可確定，避免進行大量的破壞性實驗，該模型的應(yīng)用對象可以不受體積、壽命及造價等方面的限制，具有較好的經(jīng)濟性和廣泛的適用性。

疲勞損傷是材料、零部件強度衰減的原因，損傷過程即強度下降的過程，所以可以利用疲勞損傷程度來預(yù)測材料的剩余強度。

1.2 由S- N曲線確定未知參數(shù)的剩余強度預(yù)測模型

剩余強度r(n)不僅與外載荷的大小有關(guān)，還與外載荷的循環(huán)次數(shù)n有關(guān)，涉及到多級加載時還與加載順序有關(guān)。模型必須滿足的邊界條件有[14]

r(0)=σb

(7)

r(Nf)=Smax

(8)

式中：σb為材料初始靜疲勞強度，Nf為零部件、結(jié)構(gòu)疲勞壽命，Smax為載荷峰值。

綜上，假設(shè)剩余強度模型表達式為

r(n)=r(0)-[r(0)-Smax]f(n)

(9)

其中

現(xiàn)有的剩余強度模型有很多，這些模型被用到包括機械、電子等在內(nèi)的各行各業(yè)。Schaff提出了一種剩余強度模型，這個模型因為需要確定的參數(shù)少，精度相對較高，在輕便對象如瓦楞紙板等的壽命預(yù)測研究中得到了廣泛的應(yīng)用[15]。模型定義如下

(10)

式中：c0由實驗確定，c0決定了零部件、材料剩余強度的具體衰減形式。特別當c0=1時，零部件、材料強度線性衰減。

Schaff的模型與實際情況是比較吻合的。但是影響產(chǎn)品疲勞強度衰減的因素有很多，每個因素的變化都會使得衰減形式發(fā)生變化，這個模型只有一個參數(shù)，影響衰減形式的到底有哪些因素不可知，為了得到c0的準確值，每改變一個影響因素，都需要做一組實驗，而疲勞試驗本身就是一個破壞性的實驗，齒輪壽命長、造價高、體積比較大、不適于進行大量的破壞性實驗來確定參數(shù)。

強度的退化是隨著材料的疲勞損傷程度而發(fā)展的，退化形式與疲勞損傷的累積方式和累積量有關(guān)[16]。本文在非線性疲勞損傷累積理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合1.1節(jié)中的疲勞損傷累積模型提出一種參數(shù)由已知材料的S- N曲線確定的剩余強度預(yù)測模型：

r(n)=r(0)-(r(0)-Smax)D

(11)

將式 (5)代入，有

r(n)=r(0)-[r(0)-Smax]·

(12)

式(12)滿足剩余強度模型的條件，即：初始狀態(tài)下，材料強度為靜強度；失效時，材料強度與所受載荷的大小相等。利用該模型可以求得零部件(材料)在不同載荷作用下剩余強度變化曲線。該模型中，零部件(材料)的剩余強度r(n)隨著載荷的循環(huán)數(shù)n的增加而不斷的減小，直至剩余強度與載荷相等時失效發(fā)生。模型中的參數(shù)由材料的S- N曲線確定，具體確定方法在1.1節(jié)中已論述過，這里不再贅述。

(13)

(14)

由式(14)可得

(15)

那么兩級載荷作用后的剩余強度模型為

r(n1+n2)=r(0)-[r(0)-SP2]·

(16)

同理可求得兩級加載時，按式(10)計算的等效載荷循環(huán)次數(shù)：

(17)

兩級載荷作用后的剩余強度模型為

(18)

當零部件受到多級載荷作用時，也可根據(jù)疲勞損傷等效理論推導(dǎo)出相應(yīng)的多級疲勞載荷剩余強度計算公式。疲勞損傷等效理論具體過程如圖1所示。

圖1 兩個應(yīng)力水平的疲勞剩余強度關(guān)系的等效Fig.1 Equivalent of the residual strength relation for two- stress level fatigue

2 剩余強度模型驗證

45#鋼實驗數(shù)據(jù)如表1所示[16]。與本文提出模型及Schaff的模型預(yù)測結(jié)果擬合，結(jié)果如圖2所示。

從圖2可知，圖2中JEFFERY模型最大誤差為10%，本文中模型僅為5%。采用本文所提模型對材料的剩余強度進行預(yù)測是可行的。此外，圖2也體現(xiàn)了剩余強度衰減的特點，即在服役初期強度衰減速度緩慢，服役后期“突然死亡”，而剩余強度退化主要受到裂紋擴展規(guī)律的控制，服役初期微裂紋在疲勞載荷作用下緩慢形成，隨后微裂紋逐漸擴展最終發(fā)生斷裂，也就是產(chǎn)品“瞬間失效”[18]。

表1 45#鋼疲勞試驗數(shù)據(jù)

圖2 45#鋼在恒幅載荷下的剩余強度Fig.2 Residual strength of 45# steel under constant amplitude load

在對疲勞損傷理論的研究過程中，miner理論認為損傷與加載順序無關(guān)，但是經(jīng)過大量的研究發(fā)現(xiàn)，事實并非如此。在驗證二級加載情況時，引用文獻[12]中兩組由不同加載順序得到的實驗數(shù)據(jù)(表2)與式(8)、(10)的預(yù)測結(jié)果進行對比，實驗時加載平均應(yīng)力為250 MPa。

表2 30CrMnSiA在兩級載荷下實驗數(shù)據(jù)與模型預(yù)測值對比

Table2Experimentandpredictioncomparisonoftwo-stressleveltestresultsfor30CrMnSiA

應(yīng)力/MPa加載順序n1n1Nf1n2n2Nf2732～836836～732低-高高-低130000.23366020.917150000.26965010.903250000.44854000.750350000.62844280.615450000.80732540.42512000167369110.83318000.208324500.79230000.417160020.58350000.69469690.306

圖3、4分別為30CrMnsiA在加載順序為高-低、低-高兩種不同加載方式時兩種模型預(yù)測值與實驗值的比較。圖3中的n1表示高載荷的循環(huán)作用次數(shù)，Nf1是指高載荷作用下的材料壽命，n2表示低載荷的循環(huán)作用次數(shù)，Nf2是指低載荷作用下載荷壽命；圖4中n1表示低載荷的循環(huán)作用次數(shù)，Nf1是指低載荷作用下的材料壽命，n2表示高載荷的循環(huán)作用次數(shù)，Nf2是指高載荷作用下載荷壽命。

圖3 高-低加載時30CrMnSiA剩余強度變化Fig.3 Residual strength of 30CrMnSiA at high- low loading

圖4 低-高加載時30CrMnSiA剩余強度變化Fig.4 Residual strength of 30CrMnSiA at low- high loading

3 齒輪傳動動態(tài)可靠度

3.1 動態(tài)可靠度理論

根據(jù)應(yīng)力-強度干涉理論有可靠性時變功能函數(shù)[19]：

g(t)=r(t)-s(t)

(19)

式中:r(t)為齒輪剩余疲勞強度，根據(jù)式(10)計算，s(t)為時變應(yīng)力。功能函數(shù)g有兩種情況：

(20)

結(jié)合式(4)有

g(X,t)=r(0)-[r(0)-Smax]·

(21)

由于制造過程、材料性能、所處環(huán)境等存在不確定性，使得齒輪的初始強度并不是一個定值，而是服從一定的分布，一般認為，齒輪的初始強度服從對數(shù)正態(tài)分布[20]。

齒輪應(yīng)力分布形式的確定采用如下步驟：

1)建立齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型獲得齒輪的動態(tài)嚙合力；

2)通過準靜態(tài)法獲得齒輪動態(tài)應(yīng)力；

3)通過雨流計數(shù)法對齒輪動態(tài)應(yīng)力進行統(tǒng)計計數(shù)；

4)確定應(yīng)力的分布形式。

當隨機變量服從正態(tài)分布時，根據(jù)攝動法可得齒輪的時變可靠性指標β(t)[20]：

(22)

式中:μg表示狀態(tài)方程的均值，σg為狀態(tài)方程的標準差。

當隨機變量不服從正態(tài)分布時，應(yīng)先根據(jù)JC驗算點法將非正態(tài)分布變量進行等效正態(tài)化[21]，再采用式(22)計算可靠度指標。

相應(yīng)地，齒輪時變可靠度為

R(t)=Φ(β(t))

(23)

式中：R(t)為時變可靠性。在各基本變量的概率分布類型及統(tǒng)計參數(shù)已知的條件下，可采用JC驗算點法求得可靠度指標及可靠度。

3.2 齒輪傳動動態(tài)疲勞強度可靠度

由準靜態(tài)法獲得齒輪接觸應(yīng)力-時間歷程的過程為[22]

(24)

式中：σ(t)為接觸應(yīng)力-時間歷程，p(t)為動態(tài)載荷-時間歷程，σ為靜態(tài)載荷所引起的接觸應(yīng)力，p為靜態(tài)載荷。其中齒輪的計算接觸應(yīng)力為[23]

(25)

式中：b為工作齒寬，K為載荷系數(shù)，u為齒數(shù)比，F(xiàn)t為端面內(nèi)分度圓柱上的額定圓周力，εα為端面重合度，βb為基圓螺旋角，ZE為彈性系數(shù)。通常認為b、K、u、Ft、εα、βb、ZE均服從正態(tài)分布[20]。

與齒輪接觸疲勞可靠度計算類似，結(jié)合嚙合力-時間歷程，由準靜態(tài)法可得齒根彎曲疲勞應(yīng)力-時間歷程，即

(26)

式中：σF(t)為齒根彎曲疲勞應(yīng)力-時間歷程，σF為靜態(tài)載荷所引起的齒根彎曲疲勞應(yīng)力。

其中齒輪的計算接觸應(yīng)力為

(27)

式中：mn為法向模數(shù)，YFa為斜齒輪的齒形系數(shù)，YSa為斜齒輪的應(yīng)力校正系數(shù)，Yβ為螺旋角影響系數(shù)。通常認為mn、YFa、YSa、Yβ均服從正態(tài)分布。

齒輪接觸疲勞及彎曲疲勞應(yīng)力-時間歷程確定后，采用雨流計數(shù)法對時間歷程進行統(tǒng)計，確定疲勞應(yīng)力的幅值分布。結(jié)合齒輪初始接觸疲勞及彎曲疲勞強度，應(yīng)用3.1節(jié)中的可靠度功能函數(shù)，用JC驗算點法即可獲得齒輪的動態(tài)接觸疲勞強度可靠度與彎曲疲勞強度可靠度。

4 實例應(yīng)用及結(jié)果分析

某齒輪傳動由一個平行軸斜齒輪結(jié)構(gòu)組成，齒輪材料為18CrNiMo7-6，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3，傳遞的轉(zhuǎn)矩為1 300 N·m，電機轉(zhuǎn)速4 100 r/min齒輪傳動系統(tǒng)的基本參數(shù)如表3所示。

表3 某齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)Table 3 Parameters of a gear transmission system

由齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型經(jīng)仿真得到齒輪嚙合力的時間變化歷程p(t)如圖5所示。

動態(tài)接觸應(yīng)力的平均值為502 MPa，標準差為128 MPa。齒根彎曲疲勞應(yīng)力的平均值為128.5 MPa，標準差為32.88 MPa。齒輪齒面動態(tài)接觸應(yīng)力及齒根彎曲應(yīng)力如圖6、7所示。

采用雨流計數(shù)法對齒輪動態(tài)接觸應(yīng)力統(tǒng)計得到齒輪齒面接觸應(yīng)力及齒根彎曲應(yīng)力的幅值統(tǒng)計量如圖8、9所示。

圖5 動態(tài)嚙合力Fig.5 Dynamic meshing forces

圖6 動態(tài)接觸應(yīng)力Fig.6 Dynamic meshing contact forces

圖7 齒輪動態(tài)彎曲應(yīng)力Fig.7 The dynamic bending stress

圖8 齒輪動態(tài)接觸應(yīng)力幅值統(tǒng)計Fig.8 The amplitude of gear contact stress

載荷的幅值變化對零件的疲勞壽命影響較大，所以采用載荷的幅值進行計算。由圖8、9經(jīng)擬合有齒面接觸應(yīng)力幅值服從均值為472 MPa，標準差為10的極值I型分布；齒根彎曲應(yīng)力幅值服從均值為157 MPa，標準差為3.8的極值I型分布。

采用JC驗算點法將強度及載荷分布正態(tài)化，通過攝動法得到該齒輪動態(tài)可靠度指標β曲線、可靠度曲線如圖10、11所示。

圖9 齒輪彎曲應(yīng)力幅值Fig.9 The amplitude of gear bending stress

圖10 可靠性指標變化曲線Fig.10 The reliability index curve

圖11 可靠度變化曲線Fig.11 The reliability curve

由圖10、11來看，齒輪彎曲疲勞可靠性指標變化趨勢與可靠度變化趨勢略有不同。在圖10中，齒輪疲勞可靠度指標在齒輪服役前期始終呈下降趨勢；在圖11中，齒輪彎曲疲勞強度可靠度在齒輪服役初期基本保持不變，之后呈下降趨勢。

齒面接觸疲勞強度可靠度指標與可靠度變化趨勢一致。在經(jīng)歷了服役前期的迅速下降后，中后期則進入一個相對穩(wěn)定的過程，無論是可靠度還是可靠性指標都幾乎不再減小，或減小趨勢不明顯。在服役中后期，齒根彎曲疲勞強度可靠度及可靠性指標變化趨勢與接觸疲勞可靠度的變化趨勢一致。

觀察兩圖發(fā)現(xiàn)雖然齒輪可靠性指標及可靠度變化趨勢略有不同，但無論是接觸疲勞強度還是彎曲疲勞強度可靠度進入穩(wěn)定階段的時間相對可靠性指標都有一定的延遲。

齒輪服役前期，無論是可靠度指標還是可靠度，接觸疲勞都比彎曲疲勞低，在這一階段應(yīng)注意齒輪接觸疲勞可靠度。齒輪進入可靠度相對穩(wěn)定階段后，齒根彎曲疲勞可靠度比齒面疲勞可靠度低，但是兩者差距很小，所以應(yīng)同時關(guān)注齒面接觸疲勞及齒根彎曲疲勞可靠度。

5 結(jié)論

1)建立了基于非線性連續(xù)疲勞損傷累積理論的疲勞損傷剩余強度模型，利用實驗數(shù)據(jù)對模型進行驗證。研究表明模型與實驗結(jié)果吻合較好。

2)在對齒輪動態(tài)可靠度研究的基礎(chǔ)上，給出了齒輪接觸疲勞可靠度及齒根彎曲疲勞可靠度隨時間變化的規(guī)律，在服役前期齒輪疲勞強度可靠度下降趨勢，彎曲疲勞可靠度比齒面接觸疲勞可靠度大的多，齒輪服役前期應(yīng)關(guān)注齒面接觸疲勞強度可靠度。

3)齒輪服役中后期，齒輪疲勞強度可靠度進入相對穩(wěn)定階段，接觸疲勞可靠度比彎曲疲勞可靠度略高，應(yīng)同時關(guān)注齒輪齒面接觸及齒根彎曲疲勞強度可靠度。

本文建立的剩余強度模型可應(yīng)用于大型齒輪動態(tài)可靠度及壽命的預(yù)測，這個模型可以避免大量破壞性試驗的進行，提高大型齒輪壽命預(yù)測的經(jīng)濟性及適用性。

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Gearresidualstrengthmodelanddynamicreliability

LIN Xiaoyan1, WEI Jing1, LAI Yubin1, QIN Datong1, ZHANG Aiqiang1, RU Xuebin2

(1.State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China; 2.Taiyuan Heavy Industry Co. Ltd., Gear transmission branch, Taiyuan 030024, China)

TH12

A

1006- 7043(2017)09- 1476- 08

10.11990/jheu.201605050

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170427.1733.202.html

2016-05-16. < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版日期

日期：2017-04-27.

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃項目(2014cb046304)；中央高校基本科研基金項目(106112015cdjxy110001)；中國國際科技合作項目(2013 DFA71330).

林小燕(1990-),女，碩士研究生; 魏靜(1978-)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

魏靜,E- mail:weijing_slmt@163.com.

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