車輛傳動(dòng)系統(tǒng)線性彎扭耦合振動(dòng)響應(yīng)靈敏度研究

黃 毅， 劉 輝,2， 陳胤奇， 項(xiàng)昌樂,2

(1.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院， 北京 100081；2.北京理工大學(xué)車輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100081)

引 言

靈敏度分析的概念起源于電路設(shè)計(jì)，為達(dá)到整體性能最佳，需找出對(duì)整體性能影響最大的那些原件。這就是電路設(shè)計(jì)中靈敏度分析的概念。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性直接影響機(jī)械系統(tǒng)和機(jī)械裝備的性能和工作可靠性[1]，因此，研究齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性以及靈敏度分析具有重要意義。

機(jī)械結(jié)構(gòu)靈敏度分析的目的是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化，主要包括固有頻率問題、振型問題和動(dòng)力響應(yīng)振幅問題。其中固有頻率問題和振型問題的靈敏度分析統(tǒng)稱固有特性靈敏度分析。早期文獻(xiàn)在研究系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性時(shí)以研究固有特性為主，希望通過修改和優(yōu)化參數(shù)避免機(jī)械結(jié)構(gòu)共振的發(fā)生或減小發(fā)生共振時(shí)的振型，以此為目的進(jìn)行固有特性靈敏度分析能使參數(shù)修改和優(yōu)化更具目的性。R G Parker等以復(fù)合行星排為對(duì)象[2,3]，分別研究了調(diào)諧和失諧系統(tǒng)中固有特性對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度，并將其簡化成與應(yīng)變能/動(dòng)能成比例的表達(dá)式，僅獲得模態(tài)應(yīng)變能/動(dòng)能的情況下就能在定性和定量上獲得對(duì)某階模態(tài)影響最大的參數(shù)。文獻(xiàn)[4,5]建立集中質(zhì)量模型，應(yīng)用系統(tǒng)矩陣法推導(dǎo)了定軸齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有特性對(duì)實(shí)際系統(tǒng)模型參數(shù)的靈敏度公式。文獻(xiàn)[6]利用實(shí)模態(tài)理論計(jì)算分析了系統(tǒng)各階固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的靈敏度，得到了系統(tǒng)的固有頻率分布規(guī)律和物理參數(shù)對(duì)固有頻率的影響。

在車輛傳動(dòng)系統(tǒng)中，由于發(fā)動(dòng)機(jī)的工作轉(zhuǎn)速在一個(gè)相對(duì)較寬的范圍之內(nèi)，有時(shí)不管如何對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改都不能將所有共振頻率移出到工作轉(zhuǎn)速之外；或者在某轉(zhuǎn)速下雖然發(fā)生了共振現(xiàn)象但共振幅值很小，此時(shí)不足以對(duì)車輛傳動(dòng)系統(tǒng)造成破壞影響；更進(jìn)一步的情況是對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性的分析從線性領(lǐng)域擴(kuò)展到非線性領(lǐng)域以后傳統(tǒng)的線性固有特性的概念不再存在。所有這些都要求對(duì)車輛系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的分析從固有特性的分析轉(zhuǎn)向關(guān)于動(dòng)態(tài)響應(yīng)的分析。目前對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)靈敏度的研究還基本停留在理論研究的階段，張義民等針對(duì)直接法和攝動(dòng)法進(jìn)行靈敏度分析時(shí)會(huì)產(chǎn)生長期項(xiàng)的問題[7]，在對(duì)靈敏度方程解耦的基礎(chǔ)上，結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)有效消除了長期項(xiàng)并給出了消除長期項(xiàng)判斷法則。林家浩等對(duì)簡單線性系統(tǒng)采用簡諧激勵(lì)和脈沖激勵(lì)分析了動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度[8]，但其方法仍是基于模態(tài)靈敏度的基礎(chǔ)上演化而來。在車輛傳動(dòng)領(lǐng)域，劉輝等建立線性純扭轉(zhuǎn)集中質(zhì)量模型[9]，并采用直接求導(dǎo)法推導(dǎo)了扭振角位移和軸段附加扭振應(yīng)力對(duì)軸系剛度的靈敏度計(jì)算公式。但并未考慮彎曲方向?qū)εまD(zhuǎn)自由度的影響和耦合作用。在很多情況下，振動(dòng)能量是在彎曲方向上通過軸承傳到箱體引起振動(dòng)和噪聲。本文在純扭轉(zhuǎn)模型的基礎(chǔ)上考慮了軸和齒輪在彎曲方向上的彈性以及軸承的彈性作用，以線性彎扭耦合模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行附加扭轉(zhuǎn)力矩和軸承支反力對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度研究，以獲得更為精確的計(jì)算結(jié)果，并對(duì)實(shí)際問題中基于響應(yīng)靈敏度進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化和動(dòng)力學(xué)修改等應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)方程組的建立

車輛傳動(dòng)系統(tǒng)包括齒輪、軸承和離合器等部件，此處將不同部件用統(tǒng)一表達(dá)式進(jìn)行表述。齒輪嚙合部分采用平均嚙合剛度，忽略綜合傳動(dòng)誤差等參數(shù)激勵(lì)以及齒側(cè)間隙和偏心等非線性因素。采用拉格朗日法建立齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程組，每個(gè)質(zhì)量點(diǎn)在3個(gè)自由度方向表達(dá)式如下式所示

(1)

式中x，y為平動(dòng)位移；θ為扭轉(zhuǎn)位移；mj和Jj為質(zhì)量點(diǎn)j質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fb表示彎曲方向上同一根軸上各質(zhì)量點(diǎn)間相互作用力，Tt表示兩質(zhì)量點(diǎn)間扭轉(zhuǎn)力矩，F(xiàn)n表示質(zhì)量點(diǎn)所承受的橫向作用力，如果質(zhì)量點(diǎn)j為軸承，F(xiàn)n表示軸承支反力；如果質(zhì)量點(diǎn)j為齒輪，F(xiàn)n表示齒輪嚙合力；如果質(zhì)量點(diǎn)j為離合器，F(xiàn)n為零；Tn表示齒輪副嚙合力矩，當(dāng)質(zhì)量點(diǎn)j為軸承和離合器時(shí)，Tn為零，各量表達(dá)式如下：

如果質(zhì)量點(diǎn)j為軸承，有

(6)

如果質(zhì)量點(diǎn)j為齒輪，有

(7)

式中Rj為所在齒輪基圓半徑；Kij為第i根軸上第j個(gè)質(zhì)量點(diǎn)的軸段彎曲剛度，Cij為相應(yīng)軸段的彎曲阻尼；ktj-1j和ktjj+1為質(zhì)量點(diǎn)j-1與j，j與j+1間軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，ctj-1j和ctjj+1為相應(yīng)扭轉(zhuǎn)阻尼；kxj和kyj為軸承支承剛度，cxj和cyj為相應(yīng)支承阻尼；kmk和cmk為第k對(duì)齒輪副嚙合剛度和阻尼，以上剛度和阻尼均為不隨時(shí)間變化的定值；αk為第k對(duì)齒輪副主被動(dòng)輪之間位置角，βk為其壓力角；Δk為第k對(duì)齒輪副嚙合線變化量，其表達(dá)式為

(8)

2 響應(yīng)靈敏度方程組的建立

直接法求靈敏度物理概念明確，數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡單，數(shù)值計(jì)算方便，又可進(jìn)行從一階到高階的靈敏度分析，故采用直接求導(dǎo)法建立靈敏度方程組。將通用化動(dòng)力學(xué)方程組對(duì)參數(shù)a進(jìn)行求導(dǎo)，a為扭轉(zhuǎn)剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和軸承支承剛度等參數(shù)。對(duì)動(dòng)力學(xué)方程組用直接求導(dǎo)法建立的靈敏度方程組(1)如下式

(9)

其中，各量表達(dá)式為

式(12)中當(dāng)a=ktj-1j，有

當(dāng)a≠ktj-1j有

如果質(zhì)量點(diǎn)j為軸承，由式(6)可推得靈敏度方程

(13)

如果質(zhì)量點(diǎn)j為齒輪，由式(7)可推得靈敏度方程

其中

(15)

3 算例分析

3.1 系統(tǒng)力學(xué)模型

利用集中參數(shù)法對(duì)某車輛傳動(dòng)系統(tǒng)樣機(jī)進(jìn)行建模。該樣機(jī)能實(shí)現(xiàn)8個(gè)前進(jìn)擋位和4個(gè)倒擋，CH，BL，BR，C1，C2，C3，C4為換擋離合器，本文將以4擋為例進(jìn)行靈敏度的分析，4擋為離合器BL和C4結(jié)合，其他離合器分離。另外系統(tǒng)還包括1個(gè)輸入慣量盤、2個(gè)輸出慣量盤、11個(gè)軸承、7個(gè)離合器、4對(duì)定軸齒輪副和2個(gè)簡單行星排共計(jì)42個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)量點(diǎn)包括x，y和θ三個(gè)方向自由度共計(jì)126自由度，其動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 某樣機(jī)彎扭耦合振動(dòng)模型

對(duì)如圖1所示傳動(dòng)系統(tǒng)采用發(fā)動(dòng)機(jī)輸入，發(fā)動(dòng)機(jī)在全油門額定轉(zhuǎn)速，輸入轉(zhuǎn)速4 200 r/min，其輸入轉(zhuǎn)矩如圖2所示。對(duì)質(zhì)量點(diǎn)32和42施加大小相等的負(fù)載。計(jì)算工況取4擋進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)式(4)可將響應(yīng)的一次物理量θ轉(zhuǎn)化為各質(zhì)量點(diǎn)間軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩。在系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速為4 200 r/min時(shí)，各軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩最大值的計(jì)算結(jié)果如圖3所示。可以看出附加扭轉(zhuǎn)力矩較大的軸段為20-21,24-25,25-26,26-27,27-29等5段軸。

圖2 發(fā)動(dòng)機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩

圖3 系統(tǒng)各軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩波動(dòng)幅值

3.2 軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)軸段扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度

在工程實(shí)際中，通常采用調(diào)整軸段扭轉(zhuǎn)剛度的方法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)修改。在進(jìn)行軸段的選取時(shí)，首先選取前面5段附加扭轉(zhuǎn)力矩較大的軸段，一軸上選取1-2，s1-s2，21-22以及三軸上選取32-33，33-35，37-38，40-41，41-42共計(jì)13個(gè)軸段為對(duì)象研究其對(duì)各軸段扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度，設(shè)計(jì)參數(shù)選取了22段軸扭轉(zhuǎn)剛度。計(jì)算通過Matlab編程進(jìn)行，每個(gè)靈敏度程序運(yùn)行時(shí)間約7 min，總時(shí)間共計(jì)154 min。

根據(jù)式(12)定義的靈敏度，此時(shí)取a=kti進(jìn)行軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各軸段扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度計(jì)算，其結(jié)果如圖4所示。

圖4 各質(zhì)量點(diǎn)間軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度

圖4所得結(jié)果是系統(tǒng)輸入端轉(zhuǎn)速為4 200 r/min，輸入轉(zhuǎn)矩為如圖2所示波形的情況下所得。其中x坐標(biāo)為各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，y坐標(biāo)為參與靈敏度比較的13段軸段代號(hào)。從左往右剖開來單獨(dú)看每一軸段對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度，可以發(fā)現(xiàn)各軸段間靈敏度在趨勢(shì)上趨于一致，各軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)kt25-26的靈敏度高于對(duì)其他扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度。接下來對(duì)附加扭轉(zhuǎn)力矩影響較大的扭轉(zhuǎn)剛度有：kt 1-2，kt 2-3，kt s1-s2，kt c2-20，kt 24-25，kt 27-29，對(duì)這6個(gè)量的靈敏度基本處于同一數(shù)量級(jí)。從表1和圖1中可以看出同處在二軸的扭轉(zhuǎn)剛度kt 25-26和kt 29-31的大小明顯小于該軸上其他扭轉(zhuǎn)剛度的數(shù)值大小，但各軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩僅對(duì)kt 25-26靈敏度高，而對(duì)kt 29-31靈敏度較低，通過觀察力矩的傳遞可以發(fā)現(xiàn)kt 25-26在傳遞路線上，kt 29-31不在傳遞路線上，結(jié)合同樣不在傳遞路線上的扭轉(zhuǎn)剛度kt 21-22，附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)其靈敏度也較低，但kt 21-22本身數(shù)值并不明顯小于該軸上其他扭轉(zhuǎn)剛度，因此可以認(rèn)為附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)不在傳遞路線上的扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度低。在一軸上扭轉(zhuǎn)剛度普遍較小， 從圖4上可以看出各軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)一軸上各扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度并沒有明顯高出其他靈敏度的情況出現(xiàn)。因此可以認(rèn)為出現(xiàn)靈敏度數(shù)值較高的情況是由扭轉(zhuǎn)剛度較大的軸段中夾雜一個(gè)較小扭轉(zhuǎn)剛度的軸段引起的。

表1 軸段扭轉(zhuǎn)剛度列表

在比較不同軸段對(duì)同一扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度時(shí)發(fā)現(xiàn)，不管選哪一扭轉(zhuǎn)剛度為對(duì)象，靈敏度高的情況始終出現(xiàn)在軸段20-21，24-25，25-26，26-27，27-29和37-38這6段軸上。從圖3可以看出，這6段軸的附加扭轉(zhuǎn)力矩較其他軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩高。

結(jié)合上面的分析，可以看出影響附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度主要因素有兩點(diǎn)：其一是某一軸上是否存在扭轉(zhuǎn)剛度明顯小的軸段；其二，該軸段是否具有較大附加扭轉(zhuǎn)力矩。

3.3 軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)質(zhì)量點(diǎn)慣量靈敏度

在設(shè)計(jì)階段，由于可以選擇系統(tǒng)中各部件的尺寸等參數(shù)來獲得對(duì)各質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量/慣量屬性的選取。因此往往將慣量作為可研究的宏觀參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。在參數(shù)選取時(shí)，選取各軸承、齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并將軸的慣量等效到各質(zhì)量點(diǎn)上。對(duì)于行星傳動(dòng)部分，選取了太陽輪、齒圈和行星架的質(zhì)量進(jìn)行靈敏度分析。設(shè)計(jì)參數(shù)選取了30個(gè)質(zhì)量點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，每個(gè)靈敏度程序運(yùn)行時(shí)間約6 min,總時(shí)間共計(jì)180 min。其輸入條件如前所述，不同軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各質(zhì)量點(diǎn)慣量靈敏度如圖5所示。

圖5 各質(zhì)量點(diǎn)間軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各質(zhì)量點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量靈敏度

在圖5中從左往右剖開來看每一軸段對(duì)各點(diǎn)慣量的靈敏度，可以發(fā)現(xiàn)各軸段間靈敏度在趨勢(shì)上趨于一致，只不過存在數(shù)值上的差異。在趨勢(shì)上各軸段對(duì)各質(zhì)量點(diǎn)慣量的靈敏度數(shù)值較大的情況出現(xiàn)在J1,J2,J3,J4,Js1,Js2以及三軸上各質(zhì)量點(diǎn)的慣量上。通過表2可以看出，以上慣量大小各異，并沒有同時(shí)大或者同時(shí)小的情況出現(xiàn)。因此，可以認(rèn)為其靈敏度大小同軸系結(jié)構(gòu)相關(guān)，與本身慣量的大小并無太大聯(lián)系，對(duì)附加扭轉(zhuǎn)力矩的影響較大的慣量出現(xiàn)在一個(gè)系統(tǒng)的輸入和輸出端。

表2 質(zhì)量點(diǎn)慣量列表

而研究同一慣量對(duì)不同軸段的影響時(shí)，從圖中可以看出不管選哪一質(zhì)量點(diǎn)慣量為對(duì)象，靈敏度高的情況始終出現(xiàn)在軸段20-21,24-25,25-26,26-27,27-29和37-38這6段軸上。而從圖3可以看出，這6段軸的附加扭轉(zhuǎn)力矩較其他軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩高。因此，可以認(rèn)為不同軸段對(duì)同一慣量靈敏度與該軸段本身的附加扭轉(zhuǎn)力矩的大小相關(guān)，當(dāng)該軸承受較大附加扭轉(zhuǎn)力矩時(shí)，其對(duì)慣量的靈敏度也較高。

3.4 純扭和彎扭模型下軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度比較

為了解在彎扭模型下靈敏度規(guī)律同純扭模型的區(qū)別，采用文獻(xiàn)[9]中的方法對(duì)本文研究對(duì)象建立了純扭模型。純扭模型下，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(1)變成為下式

(16)

其中，Tt定義同式(4)和(5)。如果質(zhì)量點(diǎn)j為軸承，有

Tnj=0

如果質(zhì)量點(diǎn)j為齒輪，有

此時(shí)有

Δk=R2k-1θ2k-1+R2kθ2k

相應(yīng)的，靈敏度方程(9)變成

(17)

其中，?Tt/?a定義同式(12)。如果質(zhì)量點(diǎn)j為軸承，有

如果質(zhì)量點(diǎn)j為齒輪，有

此時(shí)有

以質(zhì)量點(diǎn)20和21間軸段附加力矩為例，在純扭轉(zhuǎn)模型和彎扭耦合模型下對(duì)各軸段扭轉(zhuǎn)剛度和質(zhì)量點(diǎn)慣量靈敏度如圖6(a)和圖6(b)所示。

圖6 純扭和彎扭模型下靈敏度比較

從圖6(a)可以看出，在趨勢(shì)上，質(zhì)量點(diǎn)20和21間軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度在純扭模型和彎扭下規(guī)律和趨勢(shì)一致，其附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各質(zhì)量點(diǎn)慣量靈敏度如圖6(b)所示，也能得出相同結(jié)論；但是具體到數(shù)值大小，彎扭模型下由于考慮了軸、軸承以及齒輪的彎曲變形，其靈敏度值小于將以上因素考慮為剛體的純扭模型。表3中給出了質(zhì)量點(diǎn)20-21間的軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度在純扭和彎扭模型的情況下動(dòng)態(tài)靈敏度的各自幅值以及它們的對(duì)比信息，可以看出對(duì)于大部分靈敏度在彎扭模型下的計(jì)算結(jié)果比在純扭模型下的計(jì)算結(jié)果小10%～20%。其他軸段的情況也類似，在此不在贅述。

表3 不同模型中軸段20-21間附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度幅值比較

因此可以認(rèn)為將彎曲方向上考慮為彈性體時(shí)的彎扭耦合模型計(jì)算出來的靈敏度是小于將彎曲方向上考慮為剛體時(shí)的純扭轉(zhuǎn)模型計(jì)算出來的靈敏度，加上彎曲方向的彈性后一部分能量會(huì)轉(zhuǎn)移到彎曲方向上，因此減小了扭轉(zhuǎn)方向上設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)附加扭轉(zhuǎn)力矩的影響。

3.5 軸承支反力對(duì)軸承支承剛度靈敏度分析

車輛傳動(dòng)系統(tǒng)在工作過程中振動(dòng)和噪聲不僅在扭轉(zhuǎn)方向上存在，在橫向上同樣存在。橫向上的力是造成箱體變形的主要因素，其對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性造成一定程度的影響。

公式(6)對(duì)軸承支承剛度ki求偏導(dǎo)可獲得支反力對(duì)軸承支承剛度靈敏度。當(dāng)i≠j時(shí)，表達(dá)式即為公式(13)所示；當(dāng)i=j時(shí)有

(18)

根據(jù)式(13)和(18)計(jì)算樣機(jī)中11處軸承所受支反力對(duì)支承剛度的靈敏度，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

圖7 各軸承支反力對(duì)支承剛度靈敏度

根據(jù)圖7以某一軸承支反力對(duì)支承剛度的靈敏度為例發(fā)現(xiàn)，軸承支反力首先是對(duì)軸承本身的支承剛度靈敏度高，除此之外就整個(gè)系統(tǒng)而言各支反力對(duì)軸承3、軸承5、軸承6、軸承7、軸承9、軸承10支承剛度靈敏度較高。對(duì)于軸承1和軸承2而言，它們的支反力對(duì)另外9個(gè)軸承的支承剛度靈敏度都較低；對(duì)軸承1支反力影響較大的支承剛度是軸承1本身和軸承2的支承剛度，對(duì)軸承2支反力影響較大的支承剛度是軸承2本身；對(duì)于一軸左側(cè)的兩軸承，軸承3支承剛度對(duì)各支反力的影響明顯大于軸承4；對(duì)于二軸上三軸承而言，它們對(duì)各支反力影響都較大，其中軸承6支承剛度對(duì)二軸上其他兩軸承以及三軸上部分軸承的支反力都有較大影響；對(duì)于三軸上四軸承的支承剛度而言，中間兩軸承即軸承9和軸承10對(duì)三軸上各支反力都有較大影響。

因此，調(diào)整某軸承支反力首先是考慮到該軸承本身的支承剛度，除此之外對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而言影響較大的支承剛度有軸承3、軸承6、軸承9、軸承10；對(duì)于軸承1和軸承2的支反力而言，它們對(duì)另外9個(gè)軸承的支承剛度都不敏感，其中軸承2的支承剛度對(duì)兩者影響大于軸承1。

結(jié)合各軸承支反力的大小發(fā)現(xiàn)，本身支反力大的軸承對(duì)各支承剛度的靈敏度也相對(duì)較大。從能量的角度出發(fā)來看，在某些設(shè)計(jì)參數(shù)變化之后能量大的軸承能量變化率也較大，這同之前扭轉(zhuǎn)方向上靈敏度結(jié)論相同。不同之處在于彎曲方向上，各軸承支反力還和同一軸上各質(zhì)點(diǎn)之間力的相互制約相關(guān)，這種情況下除了本身支承剛度對(duì)自身支反力影響較大還需要找出系統(tǒng)中對(duì)其他軸承支反力影響較大的軸承支承剛度。

3.6 軸承支反力對(duì)各點(diǎn)質(zhì)量靈敏度

除了上述因素，也對(duì)各點(diǎn)質(zhì)量對(duì)軸承支反力的影響進(jìn)行了分析，其結(jié)果如圖8所示。

圖8 各軸承支反力對(duì)各點(diǎn)質(zhì)量靈敏度

根據(jù)圖8以某一軸承支反力對(duì)各點(diǎn)質(zhì)量的靈敏度為例發(fā)現(xiàn)，對(duì)各支反力影響較大的質(zhì)量點(diǎn)包括m1，m2，m3，m4，ms1，ms2以及三軸上從m32到m42的各點(diǎn)質(zhì)量。這同各質(zhì)量點(diǎn)慣量對(duì)扭轉(zhuǎn)力矩的影響規(guī)律類似。以某一質(zhì)量為例研究對(duì)各支反力的影響發(fā)現(xiàn)，影響最大的支反力有軸承3、軸承4、軸承5、軸承6、軸承7、軸承10、軸承11，且各質(zhì)量的規(guī)律類似。

因此，為改變各軸承支反力調(diào)整各點(diǎn)質(zhì)量的規(guī)律和扭轉(zhuǎn)方向的規(guī)律類似。改變質(zhì)量/慣量參數(shù)同時(shí)對(duì)扭轉(zhuǎn)方向的力矩和彎曲方向的力都能起到較大作用。

4 結(jié) 論

本文以某樣機(jī)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了包含彎曲和扭轉(zhuǎn)方向自由度的動(dòng)力學(xué)模型，并考慮兩個(gè)方向的耦合作用。通過拉格朗日法建立多自由度動(dòng)力學(xué)方程組，并采用直接求導(dǎo)法獲得靈敏度方程組，分別從橫向和縱向分析軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩和軸承支反力對(duì)剛度和質(zhì)量/慣量的靈敏度，結(jié)論如下：

1)考慮了軸、軸承和齒輪彎曲變形的彎扭耦合系統(tǒng)計(jì)算出來的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度與純扭模型大小排序規(guī)律類似，但是由于彎曲方向上考慮為彈性以后的耦合作用，一部分能量分配到彎曲方向上造成彎扭耦合模型的靈敏度數(shù)值略小于相對(duì)應(yīng)純扭模型的數(shù)值。

2)影響附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度主要因素有兩點(diǎn)：其一是某一軸上是否存在扭轉(zhuǎn)剛度明顯小的軸段；其二，該軸段是否具有較大附加扭轉(zhuǎn)力矩。

3)附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各質(zhì)量點(diǎn)慣量的靈敏度和軸承支反力對(duì)各點(diǎn)質(zhì)量的靈敏度規(guī)律類似，本身的力/力矩大，其對(duì)同一質(zhì)量/慣量參數(shù)靈敏度較大；從本文來看,對(duì)某一軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩/軸承支反力影響大的質(zhì)量點(diǎn)位于輸入和輸出附近的各質(zhì)量點(diǎn)。

4)從各軸承支反力對(duì)各軸承支承剛度的靈敏度來看，影響最大的首先是各軸承本身的支承剛度；其次由于同一軸上各點(diǎn)在彎曲方向上的力互相作用，因此需要找出對(duì)整個(gè)系統(tǒng)各軸承支反力影響最大的那幾個(gè)軸承支承剛度，如本文系統(tǒng)中的軸承3、軸承6、軸承9、軸承10的支承剛度。

5)從能量的角度來看，能量大的各軸段(扭轉(zhuǎn)方向附加扭轉(zhuǎn)力矩)或軸承(彎曲方向支反力)對(duì)某一設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度也越大。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王建軍，李潤芳，李其漢.齒輪系統(tǒng)非線性振動(dòng)研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展,2005,35(1):37—51.Wang J J, Li R F, Li Q H. Research advances for nonlinear vibration of gear transmission systems[J]. Advances in Mechanics, 2005,35(1):37—51.

[2] Guo Yichao, Robert G Parker. Sensitivity of general compound planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2010,132(011006):1—13.

[3] Lin J, Parker R G. Sensitivity of planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999,228(1):109—128.

[4] 項(xiàng)昌樂,廉曉輝,周連景.針對(duì)實(shí)際傳動(dòng)系統(tǒng)的靈敏度分析與動(dòng)力學(xué)修改[J].中國機(jī)械工程,2006,17(3):325—328.Xiang C L, Lian X H, Zhou L J. Sensitivity analysis and dynamic modification based on the physics model of vehicular powertrain[J]. China Mechanical Engineering, 2006,17(3):325—328.

[5] 邵毅敏,張奎,李小俠.基于靈敏度分析的車輛傳動(dòng)系統(tǒng)扭振分析及仿真[J].長沙理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,6(3):1—5.Shao Y M, Zhang K, Li X X. Torsional vibration analysis and simulation of the vehicle driveline based on sensitivity[J]. Journal of Changsha University of Science and Technology, 2009,6(3):1—5.

[6] 蔡仲昌,劉輝,項(xiàng)昌樂,等.車輛行星傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有特性及靈敏度分析[J].中國機(jī)械工程,2011,22(1):96—101.Cai Z C, Liu H, Xiang C L, et al. Research on natural characteristics and sensitivity for torsional vibration of a vehicle multistage planetary gears[J]. China Mechanical Engineering, 2011,22(1):96—101.

[7] 張義民,聞邦椿,劉巧伶.動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析中的長期項(xiàng)消除[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),1998,11(4):462—466.Zhang Y M, Wen B C, Liu Q L. Elimination of secular terms from sensitivity analysis of Dynamic responses[J]. Journal of Vibration Engineering, 1998,11(4):462—466.

[8] 林家浩.結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化中的靈敏度分析[J].振動(dòng)與沖擊,1985,(1):1—6.Lin J H. Sensitivity analysis in structural dynamic optimization[J]. Journal of Vibration and Shock, 1985,(1):1—6.

[9] 劉輝,蔡仲昌,曹華夏.車輛動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)靈敏度研究[J].兵工學(xué)報(bào),2011,32(8):939—944.Liu H, Cai Z C, Cao H X. Sensitivity analysis of forced torsional vibration on vehicle powertrain[J]. Acta Armamentarii, 2011,32(8):939—944.