一類廣義凸集值映射優(yōu)化問題弱有效解的最優(yōu)性條件

宋永明，胡 君

(1.昆明鐵路機(jī)械學(xué)校，云南 昆明 650208;2.云南省國有資產(chǎn)監(jiān)督管理委員會，云南 昆明 650031)

一類廣義凸集值映射優(yōu)化問題弱有效解的最優(yōu)性條件

宋永明1，胡 君2

(1.昆明鐵路機(jī)械學(xué)校，云南 昆明 650208;2.云南省國有資產(chǎn)監(jiān)督管理委員會，云南 昆明 650031)

在序線性拓?fù)淇臻g中定義了近似C－次類凸映射的概念，然后應(yīng)用向量拓?fù)淇臻g中的凸集分離定理建立了近似C×D－次類凸的擇一定理，最后運(yùn)用此定理獲得了弱有效解意義下的集值向量優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件.

集值映射;近似C－次類凸;擇一定理;弱有效解;最優(yōu)性條件

0 引言

隨著最優(yōu)化理論研究的不斷深入，及其在非線性系統(tǒng)、控制論、廣義方程及變分問題等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，其面臨越來越多的集值函數(shù)問題.近年來，科研人員對集值優(yōu)化理論的研究已取得了比較豐富的成果，例如，文獻(xiàn)［1］將文獻(xiàn)［2］的廣義凸函數(shù)推廣到廣義錐次似凸集值映射，文獻(xiàn)［3］在向量拓?fù)淇臻g中，在拓?fù)鋬?nèi)部非空的條件下，定義了一種新的廣義凸向量集值映射，建立了此映射的擇一定理及廣義凸規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件，文獻(xiàn)［4］在向量拓?fù)淇臻g中，定義了一種新的凸向量集值映射，并研究了Lagrangian對偶定理和標(biāo)量化定理.在此基礎(chǔ)上，本研究在拓?fù)湎蛄靠臻g中定義了近似C-次類凸的概念，建立了擇一定理，并利用此定理，在拓?fù)湎蛄靠臻g中探討了帶廣義等式和不等式約束的向量優(yōu)化問題弱有效解的最優(yōu)性必要條件和充分條件，推廣了文獻(xiàn)［1-5］中的部分結(jié)果.

1 預(yù)備知識

設(shè)X非空集合，Y，Z是線性拓?fù)淇臻g，C和D分別是Y和Z中的拓?fù)鋬?nèi)部非空的閉凸點(diǎn)錐.用Y*和Z*分別表示Y和Z的拓?fù)鋵ε伎臻g，稱C*={y*∈Y*:〈y，y*〉≥0，?y∈Y+}為C的對偶錐，C*i={y*∈Y*:〈y，y*〉＞ 0，?y∈Y+{0Y}}為C的嚴(yán)格對偶錐，其中，〈y，y*〉表示線性泛函y*在點(diǎn)y的函數(shù)值.集值映射，g:X→2Y，h:X→2Z，集值映射，H=(g，h):X → 2Y×Z.設(shè)，x ∈ C，y*∈ Y*，〈g(x)，y*〉≥ 0?〈y，y*〉 ≥ 0，?y ∈ g(x);〈g(C)，y*〉≥0?〈g(x)，y*〉≥0，?y∈ C.

定義1［4］設(shè)E?X為一非空子集，集值映射，F(xiàn):E→ 2Y，稱為近似C-次 類凸的，如果是凸的.

注:近似C-次類凸是C-次類凸的推廣.

2 擇一定理

定理1 設(shè)intC≠?，intD≠?，H在X上是近似C×D-次類凸的，則下列敘述有且只有一個成立:

①存在x∈X，使g(x)∩(-intC)≠?，h(x)∩(-intD)≠?.

②存在c*∈C*，d*∈D*，(c*，d*)≠ (0C，0D)，使得，

證明 假設(shè)①、②都成立，則存在x∈X，使得，

即，?c1∈g(x)∩(-intC)，d1∈h(x)∩(-intD).由題設(shè)知，c*∈C*，d*∈D*可得，〈c1，c*〉+〈d1，d*〉＜0，此與②矛盾，故①和②不能同時成立.

下面證明如果①不成立，那么②成立.假設(shè)，

容易得到，

因?yàn)?，C，D是閉凸錐，所以，

所以，

此與式(3)矛盾.于是，c*∈ C*，d*∈ D*，(c*，d*)≠ (0C，0D).

在式(3)中令ε→0，可得到，〈c*，y1〉≥0，?y1∈ g(X)，〈d*，y2〉≥0，?y2∈ h(X).

從而證明了②是正確的.

3 最優(yōu)性條件

設(shè)集值映射，f:X→2W，g:X →2Y，h:X→2Z，E，C，D分別是W，Y，Z中的拓?fù)鋬?nèi)部非空的閉凸點(diǎn)錐，令，V=E × C ×D.令，U=W ×Y ×Z，G=(f，g，h):X→2U，稱G在X上是近似C×D-次類凸的，如果G=((f，g)，h)在X上是近似C×D-次類凸的，即，cl(cone(F(X)+V))是凸的.

考慮優(yōu)化問題，

用K表示(VP)的可行集，

定義2 x0∈K稱為(VP)的弱有效解，如果?w0∈f(x0)，對?x∈K，?w∈f(x)，使得w0-w∈intE，(x0，w0)則稱為(VP)的弱有效元.

由定義可得下列命題，

命題 1 設(shè) x0∈ K，w0∈ f(x0)，(x0，w0)是(VP)的弱有效元，當(dāng)且僅當(dāng)，(w0-f(K))∩intE=?.

定理2 設(shè)x0∈K，w0∈f(x0)，且滿足:

①(x0，w0)是(VP)的弱有效元;

②G=(f-w0，g，h)在K上是近似C×D-次類凸的，則，

使得，

證明 由條件①及命題1知，

于是，-G(x)∩(intE，intC，intD)= ?，?x∈K.若不然，則，

于是，

此與式(4)矛盾.從而，由條件②及定理1知，

使得，

由x0∈K知，?y∈g(x0)，s.t.-y∈C，從而，〈y，c*〉≤0，取 x=x0，由0Z∈ h及式(5)可得，

故〈y，c*〉≥0.于是，

因此，

從而由式(5)得到，

取x=x0代入式(5)，可得，

即是，

從而由式(6)和0Z∈h(x0)可得，

由式(7)和0Z∈h(x0)可得，

由式(6)可得，

由式(6)和(7)可得，〈h(x0)，d*〉≥0，由0Z∈h(x0)得，

定理3 設(shè)x0∈K，且?w1∈f(x0)，e*∈E*i，c*∈C*，d*∈D*，使得，

則x0是(VP)的弱有效解.

證明 由題設(shè)可知，?w1∈f(x0)，e*∈E*i，c*∈C，d*∈D*，使得，

假設(shè)x0不是(VP)的弱有效解，則由命題1可知，對于題設(shè)中的w1，?x'∈K，使得，

于是，

由e*∈E*i得，

由 x'∈K得，?y'∈g(x')，s.t.-y∈C，且，0Z∈ h(x')，故，

由式(9)得，

此與式(8)矛盾，故x0是(VP)的弱有效解.

［1］Huang Y W.Generalized cone-subconvexlike set-valued maps and applications to vector optimization［J］.Journal of Chongqing university(English Edition)，2002，1(2):67 －71.

［2］Frenk J B G，Kassay G.On class of generalized convex functions，Gordan-Farkas type theorems，and Lagrangian duality［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999，102(2):315－343.

［3］Illes T，Kassay G.Theorems of the alternative and optimality conditions for convexlike and general convexlike programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999，101(2):243－257.

［4］Yang X M，Li D，Wang S Y.Near-subconvexlikeness in vector optimization with set-valued functions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2001，110(2):413 －427.

［5］王其林.一類廣義凸集值映射優(yōu)化問題弱有效解的最優(yōu)性條件［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，30(5):556－559.

［6］宋永明.一類集約束下的向量極值問題的最優(yōu)性條件［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，22(2):60 －63.

Optimality Conditions of Weak Efficient Solutions for Optimization Problems of One Class of Generalized Convex Set-valued Mapping

SONG Yongming1，HU Jun2
(1.The Railway Mechanical School of Kunming，Kunming 650208，China;2.State-owned Assets Supervision and Administration Commission of Yunnan Provincial People’s Government，Kunming 650031，China)

This paper defines the concept of nearly C-subconvexlike function in topological vector spaces，and then establishes the alternative theorem of the nearly-subconvexlike function by the convex set separation theorem.Finally，using the alternative theorem，we obtain the optimality conditions of weak efficient solutions for the optimization problems with generalized equality and inequality constraints.

set-valued mapping;nearly C-subconvexlike function;theorem of the alternative;weak efficient solution;optimality condition

O224

A

1004－5422(2014)01－0026－03

2013-12-05.

宋永明(1978—)，男，碩士，講師，從事最優(yōu)化理論與應(yīng)用研究.