2階子群均共軛置換的4p2及4pq階群

雪君霞

(西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 北碚 400715)

如無特別說明，本文涉及的群均為有限群.符號H ＜·G表示H為群G極大子群，［A］B表示A與B的半直積，其中A?［A］B，Cn表示n階循環(huán)群，Q4n表示4n階廣義四元數(shù)群，D2n表示2n階二面體群，A4表示12階交錯群，Sn表示n次對稱群，其余符號都是標(biāo)準(zhǔn)符號．

子群H為G的共軛置換子群是指H滿足對G中任意元素g均成立HgH=HHg，記為H＜c-pG．顯然，正規(guī)子群一定是共軛置換子群，但反之未必，共軛置換子群是正規(guī)子群的推廣．從共軛置換子群概念引入以來，一些群論學(xué)者就利用Sylow子群、極大子群等某些特殊子群的共軛置換性質(zhì)來刻畫群的可解性及冪零性等，得到了一些有用的結(jié)果，見文獻［1-3］．本文利用共軛置換子群來刻畫2階子群均共軛置換的非交換有限群，分類了具有該特性的4p2及4pq階有限群.

1 主要引理

在作者的討論中，需要下列引理:

引理1［4］群G的共軛置換子群具有下列基本性質(zhì):

(1)若H ＜c-pG，且H≤K，則H ＜c-pK;

(2)若N ?G，H ＜c-pG，則HN N＜c-pGN;

(3)若G的所有極大子群均在G中共軛置換，則G冪零;

(4)若P ＜c-pG，且P∈Sylp(G)，則P ?G;

(5)若H ＜c-pG，H ＜·P，且P∈Sylp(G)，則H?G或P ?G;

(6)若H是G的一極大共軛置換子群，則H?G;

(7)若H ＜c-pG，且H為單群，則對任意g∈G ，有 H=Hg或［H，Hg］ =1;

(8)若H ＜c-pG，則H??G.

2 定理的證明

定理1 若4p2階群G的所有2階子群均在G中共軛置換，其中p為奇素數(shù)，則G為下列群之一:

(1)G冪零;

(2)G?A4×C3;

(3)G?Q4p2;

(4)G?〈a，x，ya4=xp=yp=［x，y］=1，a-1xa=x-1，a-1ya=y-1〉 ;

(5)G ? 〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，a］ =［x，y］ =1，a-1ya=y-1〉 .

證明 設(shè)G=HP，H∈Syl2(G)，P∈Sylp(G).

假設(shè)G冪零.由于H為交換群，于是G的2階子群均在G中正規(guī)，故情形(1)成立.

假設(shè)G不冪零.下面分兩種情形討論.

(1)若 H不循環(huán)，則 H為初等 Abel群，且H?G.事實上，若H的2階子群均在G中正規(guī)，則H?G.若H有2階子群H1G，則H1＜c-pG，又H1＜·H，據(jù)引理1(5)，可知H?G.因G不冪零，于是P G，從而存在p階子群〈x〉G，使得H〈x〉 成群，又 Aut(H)=6 ，故 p=3，且H〈x〉 =A4.此時，若〈x〉是P唯一的3階子群，則P循環(huán).令P=〈g〉，讓g共作用到H上，g誘導(dǎo)出H的9階自同構(gòu)，這與 Aut(H)=6相矛盾，這表明P還有不同于〈x〉的3階子群〈y〉．

若CG(H)=H，則P?G H=NG(H)CG(H)＜～Aut(H)，而 Aut(H)=6，故P =9 ，矛盾.故CG(H)＞H，因 G不冪零，于是 CG(H)=4×3，從而P有3階子群在G中正規(guī)，不妨假定〈y〉?G.所以 P= 〈x〉 × 〈y〉 ，且［H，〈y〉］ =1，于是G?A4×C3，從而情形(2)成立.

(2)若H循環(huán)，則P?G，于是H=〈a〉 G.因 〈a2〉 ＜c-pG ，據(jù)引理1(5)，知 〈a2〉?G.

當(dāng)P循環(huán)時，令P= 〈x〉 ，a-1xa=xr，于是r2≡ 1(mod p2)，因 G不冪零，從而 r2≡-1(mod p2)，即a-1xa=x-1，故G?〈a，xa4=xp2=1，a-1xa=x-1〉 ，即 G?Q4p2，故情形(3)成立.

當(dāng)P不循環(huán)時，P為初等Abel群，可令P=〈x〉 × 〈y〉 .

若P的所有p階子群均在G中正規(guī)，因G不冪零，且 〈a2〉?G，于是 a-1xa=x，a-1ya =y-1，或 a-1xa=x-1，a-1ya=y-1.若前者成立，則 a-1(xy)a=xy-1? 〈xy〉 ，即 〈xy〉 G.這與P的所有p階子群均在G中正規(guī)相矛盾.若后者成立，則 G?〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，y］=1，a-1xa=x-1，aya=y-1〉 ，于是情形(4)成立.

若P有p階子群K在G中不正規(guī)，不妨令K= 〈y〉 ，因 a2∈ Z(G)，于是a-1(yya)a=yya，從而yya∈Z(G).不妨令x=yya.有G?〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，a］ = ［x，y］ =1，a-1ya=y-1x〉 .令 y1=yx(p-1)2，則 a-1y1a=y-1x(p+1)2=y1-1，于是 G ? 〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，a］= ［x，y］ =1，a-1ya=y-1〉 ，故情形(5)成立.

定理2 若4pq階群G的所有2階子群均在G中共軛置換，其中p，q為奇素數(shù)，且p＜q，則G為下列群之一:

(1)G為循環(huán)群或有唯一2階子群的亞循環(huán)群;

(2)G?C2×C2×Cp×Cq;

(3)G?(［Cq］Cp)×H，其中H為4階初等Abel群，且 pq-1;

(4)G?A4×Cq，其中q＞3;

(5)G?［H ×Cq］C3，其中HC3?A4，［C3，Cq］≠ 1 ，且 3q-1.

證明 設(shè)G=HPQ，其中H∈Syl2(G)，P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).

有G是可解群.事實上，任取G的一個2階子群K，據(jù)引理1(7)，知KG為初等Abel-2群，于是 KG=2或4，從而 GKG=2pq或pq，故GKG可解，又KG可解，所以G可解.

若H循環(huán)，則G的所有Sylow子群均循環(huán)，于是G為循環(huán)群或亞循環(huán)群.令H=〈x〉.當(dāng)H?G 時，顯然 〈x2〉?G ，當(dāng) H G 時，若 〈x2〉

G，則P 或Q NG(〈x2〉)，不妨令P NG(〈x2〉)，則〈x2〉 〈x2〉P ，據(jù)引理1(1)，知〈x2〉 ＜c-p〈x2〉P，又據(jù)引理1(5)，有〈x2〉 在 〈x2〉P中的正規(guī)閉包非循環(huán)初等 Abel 2-群.這與 〈x2〉P =2p相矛盾，故〈x2〉?G.這表明G有唯一的2階子群，故情形(1)成立.

若 H不循環(huán)，則 H為初等 Abel群，且H?G.事實上，若H的2階子群均在G中正規(guī)，則H?G.若H有2階子群H1G，則H1＜c-pG，又H1＜·H，據(jù)引理1(5)，可知H?G.

假設(shè)G冪零，有G?C2×C2×Cp×Cq，故情形(2)成立．

假設(shè)G不冪零，若Q G，因G可解，且P循環(huán)，于是Q?PQ．這表明Q ［H］Q，又Q?HQH=NHQ(H)CHQ(H)＜～Aut(H)，而 Aut(H)=6，從而Q =3，這與q＞p相矛盾，故Q?G.因G不冪零，于是 P G.這樣，有4階初等 Abel群H?G，p階循環(huán)群P G，且q階循環(huán)群Q?G.

當(dāng)P?HP時，［H，P］=［H，Q］=1，因G不冪零，于是G=(［Q］P)×H ，即G=(［Cq］Cp)×H，其中H為4階初等Abel群，且pq-1，故情形(3)成立．

當(dāng)PHP時，P?HP H=NHP(H)CHP(H)＜～Aut(H)，而 Aut(H)=6，于是P =3，從而HP? A4，若 P?PQ ，則［Q，P］=1，又［Q，H］=1，于是G=(［H］P)×Q ，即G?A4×Cq，其中q＞3，故情形(4)成立.若P PQ，由于［Q，H］=1，HP?A4，且QP=［Q］P，于是G?［H× Cq］C3，其中 HC3? A4，［C3，Cq］≠ 1 ，且3q-1，故情形(5)成立.

［1］張勤海，趙俊英.冪零群的若干等價條件［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，30(1)：26-30.

［2］裴旭蓮，鐘祥貴.共軛置換子群與群的冪零性［J］.廣西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，25(3)：26-30.

［3］陳順民，陳貴云.共軛置換子群與有限群的可解性［J］.云南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，30(5)：443-447.

［4］Foguel T.Conjugate-permutable Subgroups［J］.Journal of Algebra，1997，191(1)：235-239.