一種改進(jìn)的方差自適應(yīng)濾波算法

駱榮劍，李穎，錢廣華

（中國人民解放軍重慶通信學(xué)院，重慶400035）

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型（“Current”Statistical model，CS）是目前公認(rèn)的比較切合實(shí)際的一種運(yùn)動(dòng)模型[1]，它是以修正的瑞利分布來描述機(jī)動(dòng)加速度的當(dāng)前概率分布，將當(dāng)前加速度的預(yù)測值作為概率分布的均值以實(shí)現(xiàn)均值自適應(yīng)濾波，同時(shí)又運(yùn)用狀態(tài)噪聲方差與機(jī)動(dòng)加速度方差的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)的方差自適應(yīng)濾波。但是，CS模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和加速度方差的計(jì)算，均依賴于兩個(gè)預(yù)先設(shè)定的參數(shù)——機(jī)動(dòng)頻率和加速度極限值。當(dāng)預(yù)先設(shè)定的參數(shù)值與目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不一致時(shí)，將導(dǎo)致跟蹤精度降低，甚至造成濾波算法的發(fā)散。為此，國內(nèi)外學(xué)者采用了自適應(yīng)技術(shù)來解決上述問題[2-12]。目前，比較典型的加速度方差自適應(yīng)算法，主要基于加速度方差與加速度擾動(dòng)增量間的線性關(guān)系[2-3，5-7]，該方法雖在一定程度上提高了非機(jī)動(dòng)或弱機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度，卻降低了機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度；比較典型的機(jī)動(dòng)頻率和加速度方差同步自適應(yīng)，主要基于模糊理論，該方法需構(gòu)造隸屬度函數(shù)，并且隸屬度函數(shù)的構(gòu)建仍需預(yù)先設(shè)定一些參數(shù)[4，8-12]，因而相對(duì)比較復(fù)雜；比較典型的機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)算法，主要基于LMS（Least-Mean-Square）自適應(yīng)濾波理論[6]，該方法構(gòu)建的LMS自適應(yīng)濾波器，會(huì)不可避免的帶來額外時(shí)延。

針對(duì)以上問題，本文在文獻(xiàn)[6-7]的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的加速度方差自適應(yīng)算法，仿真結(jié)果表明該算法提高了跟蹤精度，明顯改善了非機(jī)動(dòng)或弱機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度。

1 “當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型自適應(yīng)濾波算法

目標(biāo)的離散狀態(tài)方程為:

式中，X（k）=[x（k）x˙（k）x¨（k）]T，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)輸入矩陣分別為：

a（k）為機(jī)動(dòng)加速度均值，W（k）是均值為零、方差為Q（k）=（k）q的白噪聲序列。α為機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)倒數(shù)，為機(jī)動(dòng)加速度修正瑞利分布方差，q是一個(gè)與α和采樣時(shí)間T有關(guān)的常數(shù)矩陣[6]

目標(biāo)的觀測方程為：

其中當(dāng)僅含有噪聲的目標(biāo)位置數(shù)據(jù)可觀測時(shí)，有

V（k）是均值為零，方差為R（k）的高斯觀測噪聲。

機(jī)動(dòng)加速度方差自適應(yīng)調(diào)整如下

“當(dāng)前”加速度為正

在卡爾曼濾波過程中，參數(shù)α和加速度極限值的選擇取決于目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況，屬于未知參數(shù)，隨著α和加速度極限值的變化，公式（1）～公式（4）及公式（6）和系統(tǒng)噪聲會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化。由于α和加速度極限值的取值一直以來主要依靠經(jīng)驗(yàn)來確定，因而具有一定的局限性，如果在一定的跟蹤精度內(nèi)α和加速度極限值能夠自適應(yīng)的確定將使算法更有普適性。

2 改進(jìn)的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型加速度方差自適應(yīng)算法

本文IAVS算法對(duì)系統(tǒng)噪聲方差的自適應(yīng)是在分析了濾波中新息的變化與加速度增量關(guān)系的基礎(chǔ)上得到的。

對(duì)于加速度方差，文獻(xiàn)[2]在加速度方差與加速度擾動(dòng)增量成線性關(guān)系的假設(shè)下給出了一種加速度方差自適應(yīng)表達(dá)式：

其中Y（k）-H（k）X^（k|k-1）為卡爾濾波的新息。但該表達(dá)式一方面不能保證非負(fù)，另一方面如果采樣頻率過高，方差就會(huì)過大，例如在跟蹤同一個(gè)常速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，當(dāng)T=0.1 s時(shí)，加速度方差會(huì)比T=1 s大100倍，這顯然是不合理的。為此，在加速度方差與加速度擾動(dòng)增量成線性關(guān)系的假設(shè)下有

令C/T2=1得

由上式可見，k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的預(yù)測估計(jì)值X^（k|k-1）沒有考慮時(shí)刻k-1到k時(shí)刻之間的加速度擾動(dòng)增量，而Y（k）是k時(shí)刻的觀測值，其中包含了k-1時(shí)刻到k時(shí)刻加速度擾動(dòng)對(duì)觀測值的影響，因此可以由新息更加直接地表示加速度的擾動(dòng)量。當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)，新息增大，通過式（10）得到的加速度方差也相應(yīng)增大，并使濾波增益值變大，從而提高了新息的重要性；當(dāng)目標(biāo)沒有發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，新息則相對(duì)很小，故下一時(shí)刻機(jī)動(dòng)加速度方差較小，這符合σ2a的物理意義，表明了該方程式能正確反映目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。新算法就是將加速度的變化改為新息變化來完成噪聲方差Q（k）的自適應(yīng)估計(jì)。

由基于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法（AF）的濾波方程，再加上式（10）就構(gòu)成了IAVS算法的整個(gè)過程。

3 仿真及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)1：已有加速度方差自適應(yīng)算法及本改進(jìn)算法的仿真及結(jié)果分析

仿真場景：目標(biāo)從起始位置x0=20 000 m沿軸正方向作初始速度為300 m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)，在[50T，150T]時(shí)間段內(nèi)作加速度為20 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。其中采樣周期T=0.1 s，量測噪聲的模型為，假設(shè)觀測噪聲與距離的關(guān)系為V（k）=（βx（k）+Δx0）ω（k），其中ω（k）均值為0，方差為1正的態(tài)偽隨機(jī)數(shù)，Δx0=100 m則R（k）=（βx（k）+Δx0）2E[ω2（k）]為噪聲方差。機(jī)動(dòng)頻率分別取α=0.1。加速度極限值amax=10g m/s2，a-max=-10g m/s2，g=9.8 m/s2。

條件1：取α=0.1，β=0.001（低噪聲水平）

圖1 位移的一次仿真曲線Fig.1 A simulation curve of displacement

圖2 速度一次仿真曲線Fig.2 Speed once the simulation curve

圖3 加速度一次仿真曲線Fig.3 Acceleration time simulation curve

條件2：α=0.1，β=0.01（強(qiáng)噪聲水平）

圖4 位移濾波估計(jì)的均方根誤差Fig.4 Displacement filter estimation RMSE

圖5 速度濾波估計(jì)的均方根誤差Fig.5 Speed filtering estimated RMSE

圖6 加速度濾波估計(jì)的均方根誤差Fig.6 Acceleration Filtering estimated RMSE

圖7 位移一次仿真曲線Fig.7 Displacement time simulation curve

仿真結(jié)果分析：

圖8 速度一次仿真曲線Fig.8 Speed curve of a simulation

圖9 加速度一次仿真曲線Fig.9 A simulation acceleration curve

圖10 位移濾波估計(jì)的均方根誤差Fig.10 Displacement Filter Estimation RMSE

圖11 速度濾波估計(jì)的均方根誤差Fig.11 Speed filtering estimated RMSE

從以上的仿真結(jié)果可見，在條件1下的低噪聲環(huán)境下，（圖1～圖3）的一次仿真曲線和（圖4～圖6）的均方根誤差都表明，本文的加速度方差自適應(yīng)算法（IAVS）較原有CS算法、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]提出的算法精度得到了有效提高，解決了文獻(xiàn)[7]所提算法方差過大的問題；在條件2的強(qiáng)噪聲環(huán)境下，（圖7～圖9）的一次仿真曲線和（圖10～圖12）的均方根誤差都表明，本文IAVS算法與原有CS算法、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]提出的算法相比精度明顯提高，說明本文算法的抗干擾能力得到了提升；綜合以上兩種條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的IAVS算法無論在低噪聲環(huán)境下，還是在強(qiáng)噪聲環(huán)境下，跟蹤精度較已有算法有明顯提高。

圖12 加速度濾波估計(jì)的均方根誤差Fig.12 Acceleration Filtering estimated RMSE

4 結(jié)論

本文針對(duì)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型加速度極限值需要預(yù)先設(shè)定的問題，在已有加速度方差自適應(yīng)算法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的加速度方差自適應(yīng)算法，該算法可明顯提高目標(biāo)的跟蹤精度。其原因是本文的加速度方差自適應(yīng)算法能更逼近加速度的真實(shí)分布。但從一次仿真圖可見，本文的算法在加速度突變時(shí)會(huì)有延遲，下步將針對(duì)這一問題展開詳細(xì)研究。

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