心形非圓齒輪副節(jié)曲線設(shè)計研究

侯曉超, 黃穎為

(西安理工大學(xué) 印刷包裝工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

非圓齒輪是產(chǎn)生非勻速運動的機構(gòu)之一，相對于勻速的輸入能夠方便地得到非勻速的輸出，它綜合了圓形齒輪和凸輪機構(gòu)的優(yōu)點, 能準(zhǔn)確地以變傳動比傳遞較大的動力，具有傳動平穩(wěn)精確、傳遞效率高和結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)點，已被廣泛應(yīng)用于包裝機械、印刷機械、泵、流量計等輕工設(shè)備中[1]。

非圓齒輪節(jié)曲線是非圓齒輪設(shè)計的關(guān)鍵[2]，人們在非圓齒輪方面的研究已取得了一定的成就，但是在設(shè)計方面，對于非圓齒輪節(jié)曲線的形狀還未能尋找出一種有效的控制方法[3-4]。因為并非任意形狀的曲線都能用作非圓齒輪節(jié)曲線，實用的非圓齒輪節(jié)曲線形狀受到許多限制[5]，導(dǎo)致節(jié)曲線封閉的非圓齒輪的種類較少[5]，因此開發(fā)具有新式傳動特性的非圓齒輪是十分必要的[6]。

心形非圓齒輪及其共軛齒輪傳動是一種新式變傳動比傳動，可以實現(xiàn)不同于橢圓齒輪和偏心圓齒輪的傳動規(guī)律[7]。

1 心形非圓齒輪的傳動特性及節(jié)曲線設(shè)計

設(shè)計非圓齒輪的主要任務(wù)就是確定它的節(jié)曲線。節(jié)曲線實際上是一對相互嚙合的齒輪在其嚙合過程中實現(xiàn)無滑動地滾動的共軛曲線[8]。

圖1所示為一對心形非圓齒輪傳動，因為主動輪的節(jié)曲線形狀為心形，故稱為心形非圓齒輪。該齒輪副中心固定，節(jié)點在中心連線上，當(dāng)主動輪轉(zhuǎn)一圈時，從動輪也轉(zhuǎn)動一周。

圖1 心形非圓齒輪傳動

由于中心固定，兩齒輪嚙合半徑r1、r2之和恒為中心距的長度E，有:

r1+r2=E

(1)

設(shè)主動輪的轉(zhuǎn)角為φ1，瞬時角速度為ω1，從動輪的轉(zhuǎn)角為φ2，瞬時角速度為ω2，瞬時傳動比可表示為：

(2)

對某心形非圓齒輪副進行測繪，得到中心距、齒輪模數(shù)和主動輪齒頂離散點數(shù)據(jù)，經(jīng)過換算得主動輪節(jié)曲線數(shù)據(jù)，再運用公式(2)換算成傳動比數(shù)據(jù)，將此數(shù)據(jù)輸入Matlab繪圖，得到心形非圓齒輪傳動比變化規(guī)律曲線如圖2所示。

圖2 心形非圓齒輪傳動比變化曲線

觀察圖2可知：在整個圓周上很難找到一個曲線方程擬合該心形非圓齒輪傳動比變化規(guī)律曲線，所以筆者采用分段擬合的方法；在一個周期([0,2π])內(nèi)，該曲線是以φ1=π為對稱軸的軸對稱曲線，所以只需研究0到π上的變化規(guī)律; 在(0,θ1)段傳動比不變，稱為等速段。從A點開始傳動比曲線下降，從動輪速度開始增大，直到B點曲線到達(dá)最低點，此時從動輪速度達(dá)到最大值。然后曲線上升，從動輪速度開始減小，直到C點曲線到達(dá)最高點，此時從動輪速度達(dá)到最小值。因此稱AB段為加速段，BC段為減速段。由于在計算非圓齒輪加工數(shù)據(jù)過程中要用到節(jié)曲線的二階導(dǎo)數(shù)[9]，所以采用三次曲線分段構(gòu)造加速段和減速段非圓齒輪節(jié)曲線，從而構(gòu)造整個心形非圓齒輪的節(jié)曲線[10]。

設(shè)主動輪節(jié)曲線方程r1(φ1)為：

(3)

如圖1所示，心形非圓齒輪主動輪節(jié)曲線等速段(θ1對應(yīng)圓弧)嚙合半徑恒等于中心距的一半，加速段為AB段，減速段為BC段，加速段節(jié)曲線AB經(jīng)過點A(θ1，E/2),點B(θ2，r1max)，由于節(jié)曲線必須光滑連接，故節(jié)曲線連續(xù)且一階可導(dǎo)。等速段導(dǎo)數(shù)為零，即節(jié)曲線在A點的左導(dǎo)數(shù)為零，A點可導(dǎo)，左右導(dǎo)數(shù)必須相等，因此節(jié)曲線在A點的右導(dǎo)數(shù)等于零。節(jié)曲線在B點取得極大值，故節(jié)曲線在B點的導(dǎo)數(shù)也等于零。聯(lián)立線性方程組：

(4)

可解得AB段節(jié)曲線方程。

減速段節(jié)曲線BC，經(jīng)過點B(θ2，r1max)和點C(π，r1min)，且分別在B點和C點取得最大值和最小值，故節(jié)曲線在B點和C點的導(dǎo)數(shù)為零。聯(lián)立線性方程組：

(5)

可解得BC段節(jié)曲線方程。

在非圓齒輪設(shè)計中，一般會給定傳動比的范圍(imin，imax)和中心距E，節(jié)曲線嚙合半徑的最大值r1max和最小值r1min可以通過公式(6)、(7)計算得到。

(6)

(7)

這樣就可以得到心形非圓齒輪副主動輪的節(jié)曲線方程r1(φ1)。

從動輪節(jié)曲線方程:

(8)

調(diào)整θ1、θ2的值,也就是調(diào)整起始加速點和起始減速點的位置，可以改變節(jié)曲線形狀以滿足封閉非圓齒輪傳動節(jié)曲線輪齒等分條件。

2 心形非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計實例

現(xiàn)以裝盒機開盒機構(gòu)非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計為例，具體說明心形非圓齒輪節(jié)曲線的設(shè)計方法，驗證其方法的正確性和實用性。并給出從動輪轉(zhuǎn)角函數(shù)曲線、速度曲線、加速度曲線。

裝盒機開盒機構(gòu)吸盤在回轉(zhuǎn)一周過程中完成取盒放盒動作，取盒放盒動作要求在運動過程中相對速度為零，中間過程可以盡量快，以提高效率。在整個運動過程中吸盤速度變化規(guī)律為：零—加速—減速—零—加速—減速—零的循環(huán)過程，因此筆者選用心形非圓齒輪以實現(xiàn)此非勻速比傳動要求。開盒機構(gòu)工作原理如圖3所示。

圖3 非圓齒輪開盒機構(gòu)工作原理

經(jīng)計算,該機構(gòu)中非圓齒輪副需滿足的傳動比范圍為(0.85，1.52)，需滿足的中心距為90 mm。加速起始角θ1選π/2，減速起始角θ2選3π/4。代入公式(3)～(7)計算得到主動輪節(jié)曲線方程為：

代入公式(8)可得從動輪節(jié)曲線方程，運用CAD作圖得到所要非圓齒輪傳動節(jié)曲線如圖4所示。

圖4 開盒機構(gòu)非圓齒輪節(jié)曲線

將主動輪節(jié)曲線方程代入公式(2),可以得到傳動比函數(shù):

用Matlab繪圖，可以得到設(shè)計所得心形非圓齒輪副的傳動比曲線，如圖5所示。

圖5 傳動比曲線

圖6 轉(zhuǎn)角函數(shù)曲線

圖7 從動輪角速度變化曲線

圖8 從動輪角加速度變化曲線

從角速度變化曲線看，運動過程滿足設(shè)計要求；角加速度變化曲線基本光滑，說明運動比較平穩(wěn)，沒有大的沖擊。

3 結(jié) 語

非圓齒輪是實現(xiàn)非勻速傳動的一種有效機構(gòu)，它可以按照設(shè)計者的要求實現(xiàn)需要的運動規(guī)律。本文介紹了一種新型非圓齒輪副——心形非圓齒輪，從傳動特性出發(fā)分析了該非圓齒輪運動規(guī)律。重點闡述了用三次曲線分段構(gòu)造心形非圓齒輪節(jié)曲線,對非圓齒輪設(shè)計具有一定的應(yīng)用價值。最后舉例驗證節(jié)曲線設(shè)計方法，并通過Matlab計算作圖給出了心形非圓齒輪傳動轉(zhuǎn)角函數(shù)曲線，從動輪角速度變化曲線和角加速度變化曲線，供設(shè)計人員選用心形非圓齒輪時參考。

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