大氣湍流PPM調(diào)制信道下歐氏幾何LDPC碼的軟迭代譯碼算法

邵軍虎, 李靜, 趙奇, 柯熙政

(西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

自由空間光通信(FSO)近年來(lái)已成為空間衛(wèi)星通信、軍用安全通信、高速寬帶無(wú)線接入、FSO/RF(Radio Frequency，射頻)混合通信網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域的一項(xiàng)熱門研究技術(shù)[1-2]。由于激光信號(hào)在大氣傳播中受到大氣粒子、大氣湍流等因素的影響，引起信號(hào)光的吸收和散射效應(yīng)，極大降低了FSO通信系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸可靠性[3-4]。

LDPC碼作為當(dāng)前一類可逼近信道容量限的好碼[5-6]，得到了廣泛的關(guān)注和研究。其中結(jié)構(gòu)化LDPC碼具有循環(huán)(Cyclic)或準(zhǔn)循環(huán)(Quasi-Cyclic, QC)的校驗(yàn)矩陣形式，因此更利于降低編譯碼器的硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。歐氏幾何LDPC碼作為一類重要的結(jié)構(gòu)化LDPC碼，通常具有較大的行列重量，較快的譯碼收斂速度以及較低的錯(cuò)誤平層特性[7-8]。

將LDPC碼應(yīng)用于FSO通信系統(tǒng)，針對(duì)大氣湍流信道的特點(diǎn)設(shè)計(jì)可逼近該類信道容量的LDPC碼方案，仍是當(dāng)前無(wú)線光通信領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)研究問(wèn)題[9]。針對(duì)目前FSO系統(tǒng)中普遍采用的隨機(jī)構(gòu)造和π-旋轉(zhuǎn)構(gòu)造LDPC碼方案，已有對(duì)數(shù)正態(tài)分布弱湍流以及gamma-gamma分布中強(qiáng)湍流時(shí)的性能仿真結(jié)果[10-12]。相比于隨機(jī)構(gòu)造和π-旋轉(zhuǎn)構(gòu)造LDPC碼，歐氏幾何LDPC碼較大的行列重量使其具有更低的錯(cuò)誤平層和更快的譯碼收斂速度，從而降低其硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度[13]。

本文針對(duì)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的大氣弱湍流信道模型，采用歐氏幾何LDPC碼和PPM調(diào)制方案，給出其在大氣激光通信鏈路下的軟解調(diào)迭代譯碼算法流程，并對(duì)不同碼長(zhǎng)和碼率的EG-LDPC碼分別采用2PPM，4PPM，16PPM調(diào)制時(shí)的軟解調(diào)迭代譯碼性能進(jìn)行了Monte Carlo仿真。不同湍流強(qiáng)度下的仿真結(jié)果表明，采用2PPM調(diào)制的低碼率歐氏幾何LDPC碼方案，在較低迭代次數(shù)的條件下可有效提高FSO通信鏈路的譯碼糾錯(cuò)性能。

1 歐氏幾何LDPC碼的校驗(yàn)矩陣構(gòu)造

歐氏幾何LDPC碼是基于歐氏幾何(Euclidean Geometry，EG)空間中點(diǎn)線面的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，構(gòu)造出的一類具有準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)的LDPC碼，簡(jiǎn)稱EG-LDPC碼[14]。將歐氏幾何空間EG(m,2s)中的原點(diǎn)和所有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的線移除之后，便得到其子幾何EG*(m,2s)，基于EG*(m,2s)空間的點(diǎn)和線組合得到一個(gè)HEG,c校驗(yàn)矩陣，這里c表示矩陣具有循環(huán)結(jié)構(gòu)。對(duì)于基于有限域GF(q)(這里q=2s)的m維歐氏幾何空間EG*(m,q)而言，其共有n0=qm-1個(gè)點(diǎn)以及J0=(qm-1-1)(qm-1)/(q-1)條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的線，分別對(duì)應(yīng)HEG,c矩陣中的列和行。

本文選擇基于m=2的二維歐氏幾何空間來(lái)構(gòu)造EG-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣HEG,c，首先確定矩陣的第一行，對(duì)于EG*(2,q)中任意一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的線L，定義其入射向量vL=(v0,…,vi,…,vq2-2)為GF(2)上的(q2-1)重向量，其中(q2-1)個(gè)分量分別對(duì)應(yīng)EG*(2,q)中除原點(diǎn)外的其余(q2-1)個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)αi在線L上時(shí)vi=1，否則vi=0。有上述第一行向量，對(duì)于所有0≤t<22s-1，線αi+1L的入射向量vαi+1L可由線αiL的入射向量vαiL循環(huán)右移一位得到。將上述基于有限域GF(2s)上歐氏幾何空間線的入射向量及其循環(huán)移位向量依次作為矩陣的行，則可得到一個(gè)(22s-1)×(22s-1)的EG-LDPC碼校驗(yàn)矩陣HEG,c。

由于矩陣HEG,c一般為非行滿秩矩陣，其列數(shù)(22s-1)等于所構(gòu)造EG-LDPC碼的碼長(zhǎng)n；矩陣的秩rank(HEG,c)等于所構(gòu)造EG-LDPC碼的校驗(yàn)位數(shù)目(n-k)，故碼率R=k/n=1-rank(HEG,c)/n。更多關(guān)于歐氏幾何空間相關(guān)概念以及EG-LDPC碼的具體構(gòu)造方法，可參見文獻(xiàn)[7-8,13] 。

2 大氣湍流PPM信道下歐氏幾何LDPC碼的軟迭代譯碼算法

2.1 大氣湍流PPM調(diào)制信道的輸出軟信息計(jì)算

大氣激光通信系統(tǒng)中的大氣湍流信道是一類具有時(shí)變強(qiáng)度增益和加性高斯白噪聲的離散無(wú)記憶信道[15]。假定信道平穩(wěn)遍歷，則其信道模型可描述為:

yk=Ikxk+nkIk>0

(1)

式中，xk為發(fā)端發(fā)送的已調(diào)數(shù)字信號(hào)，yk為接收端的接收信號(hào)，Ik是接收器接收到的光強(qiáng)，nk是均值近似為0、方差為N0/2的加性高斯白噪聲，且假定nk與Ik相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。通常在弱湍流的情況下，接收端的光強(qiáng)Ik服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為[16]:

(2)

式中，σ2為湍流強(qiáng)度的對(duì)數(shù)方差，它取決于大氣傳輸時(shí)的信道狀態(tài)。

對(duì)于采用脈沖位置(PPM)調(diào)制的強(qiáng)度直接檢測(cè)(IM/DD)大氣激光通信系統(tǒng)，M-PPM調(diào)制是將K位二進(jìn)制比特X=(x0,x1,…,xK)∈{0,1}K調(diào)制到一個(gè)具有M=2K個(gè)時(shí)隙的PPM 脈沖上。假設(shè)在PPM幀的每個(gè)時(shí)隙間隔內(nèi)信道狀態(tài)信息為固定值，則在該時(shí)隙內(nèi)大氣弱湍流傳輸信道等效為一個(gè)輸出光強(qiáng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)衰落且受到加性高斯白噪聲影響的離散無(wú)記憶信道模型。

假設(shè)每個(gè)時(shí)隙中的信息比特取值為0和1的先驗(yàn)概率相等，第j個(gè)PPM幀相應(yīng)的脈沖位置是d，則可得第j個(gè)PPM幀中的第i個(gè)時(shí)隙(時(shí)隙寬度為T)所對(duì)應(yīng)信息比特xl=c的后驗(yàn)概率p(xl=c;T)[10]：

(3)

對(duì)上述公式兩邊同取對(duì)數(shù)，可得其對(duì)數(shù)似然比表達(dá)式為：

(4)

為了研究PPM調(diào)制的時(shí)隙數(shù)對(duì)EG-LDPC碼軟迭代譯碼性能的影響，下面基于公式(3)，給出M-PPM調(diào)制在M=2、4、16時(shí)信道輸出的軟信息計(jì)算過(guò)程。

1)當(dāng)M=2時(shí)，第j個(gè)PPM幀對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制比特序列中只有一個(gè)信息比特，即為比特0或者1。比特0經(jīng)過(guò)2PPM調(diào)制后的映射序列為(1,0)，其相應(yīng)的脈沖位置是1。比特1經(jīng)過(guò)2PPM調(diào)制后的映射序列(0,1)，其相應(yīng)的脈沖位置是2，所以公式(3)的形式可寫為:

(5)

2)當(dāng)M=4時(shí)，第j個(gè)PPM幀對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制比特序列表示中有兩個(gè)信息比特，將該序列記為X=(x1,x2)。如果x1=0，那么有可能的比特序列為X1=(0,0)，X2=(0,1)，如果x1=1，那么有可能的比特序列為X3=(1,0)，X4=(1,1)。所以當(dāng)x1=0時(shí)，第j個(gè)PPM幀的后驗(yàn)概率為：

(6)

當(dāng)x2=0時(shí)，第j個(gè)PPM幀的后驗(yàn)概率為：

(7)

3)當(dāng)M=16時(shí)，第j個(gè)PPM幀對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制比特序列表示中有四個(gè)信息序列，記為X=(x1,x2,x3,x4)。如果x1=0，那么有可能的比特序列為:X1=(0,0,0,0)，X2=(0,1,0,0)，X3=(0,0,1,0)，X4=(0,0,0,1)，X5=(0,1,1,0)，X6=(0,1,0,1)，X7=(0,0,1,1)，X8=(0,1,1,1)。所以x1=0時(shí)，第j個(gè)PPM幀的后驗(yàn)概率為：

(8)

同理，可得出x2,x3,x4分別為0時(shí)，第j個(gè)PPM幀的后驗(yàn)概率表達(dá)式,且xl取值為1的后驗(yàn)概率為:

p(xl=1;T)=1-p(xl=0;T)l=1,2,3,4

(9)

將上述公式(5)到公式(9)中關(guān)于M-PPM調(diào)制在時(shí)隙數(shù)M分別為2、4、16時(shí)對(duì)應(yīng)比特取值為0和1的概率，代入公式(4)可得到信道輸出的軟解調(diào)對(duì)數(shù)似然比信息，該信息作為初始信息送給EG-LDPC碼的譯碼器進(jìn)行后續(xù)迭代譯碼操作。

2.2 歐氏幾何LDPC碼的迭代譯碼算法

對(duì)于二進(jìn)制的EG-LDPC碼來(lái)說(shuō)，傳遞消息的度量采用對(duì)數(shù)似然比的形式，使得校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)信息更新中的乘法運(yùn)算變成加法運(yùn)算，從而降低譯碼復(fù)雜度。這類算法稱為對(duì)數(shù)域置信傳播(BP)譯碼算法，其譯碼步驟簡(jiǎn)述如下。

1)初始化

計(jì)算信道傳遞給變量節(jié)點(diǎn)的初始概率似然比消息L(pi)，i=1,2,…,n，并設(shè)定譯碼算法的最大迭代次數(shù)Imax。對(duì)每一個(gè)變量節(jié)點(diǎn)i，由上節(jié)中關(guān)于公式(4)的計(jì)算過(guò)程，可得到變量節(jié)點(diǎn)傳向校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的信道初始消息為:

(10)

2)迭代過(guò)程

校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)消息處理：

對(duì)所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)j和與其相鄰的變量節(jié)點(diǎn)i∈R(j)，第l次迭代時(shí)，計(jì)算第j個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)向第i個(gè)變量節(jié)點(diǎn)傳遞的消息。

(11)

變量節(jié)點(diǎn)消息處理：

對(duì)所有變量節(jié)點(diǎn)i和與其相鄰的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)j∈M(i)，第l次迭代時(shí)，計(jì)算第i個(gè)變量節(jié)點(diǎn)向第j個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞的消息。

(12)

3)譯碼判決

對(duì)所有變量節(jié)點(diǎn)計(jì)算硬判決消息。

(13)

3 性能仿真與分析

根據(jù)第二節(jié)中關(guān)于EG-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣構(gòu)造過(guò)程，分別選擇基于有限域GF(q)在q=24、25、26時(shí)m=2的二維歐氏幾何空間，構(gòu)造出碼長(zhǎng)分別為255、1 023、4 095，行列重分別為16、32、64的三組EG-LDPC碼，詳細(xì)參數(shù)見表1中所示。

對(duì)于碼長(zhǎng)為255，碼率為0.686，行列重均為16的EG-LDPC碼，采用第三節(jié)中的軟迭代譯碼算法，設(shè)置最大迭代次數(shù)Imax為20次時(shí)，在AWGN信道以及湍流強(qiáng)度σ2分別取0.01、0.04、0.09、0.16的大氣弱湍流2PPM調(diào)制信道下的誤碼率性能仿真結(jié)果，見圖1中所示。

表1 三組不同碼長(zhǎng)碼率的EG-LDPC碼

圖1 不同湍流強(qiáng)度下EG-LDPC[255,175]碼的誤碼率性能

由圖1中的性能曲線可以看出，相比于EG-LDPC[255,175]碼在AWGN信道下的譯碼性能，在大氣湍流信道下隨著湍流強(qiáng)度σ2的增加其譯碼性能逐漸變差。該結(jié)果與實(shí)際物理含義相一致，因?yàn)橥牧髟肼暤囊雱?shì)必會(huì)惡化譯碼器的糾錯(cuò)性能，且湍流噪聲的強(qiáng)度越大出錯(cuò)的可能性也越大，從而誤碼率也更高。對(duì)比圖1中σ2=0.04的弱湍流信道下未加編碼(uncoded)時(shí)的性能曲線可以看出，采用[255,175]的EG-LDPC碼在BER為10-4時(shí)，可獲得大約14 dB的編碼增益。

為了驗(yàn)證不同參數(shù)的EG-LDPC碼在大氣湍流信道下的軟迭代譯碼性能，選擇對(duì)表1中碼長(zhǎng)為1 023、4 095的兩組EG-LDPC碼，在湍流強(qiáng)度分別為0.04、0.09、0.16的大氣弱湍流2PPM調(diào)制信道下的誤碼率性能進(jìn)行了仿真，結(jié)果見圖2中所示。這里采用的譯碼算法為第三節(jié)中的軟迭代算法，設(shè)置最大迭代次數(shù)Imax為20次。

由圖2中關(guān)于碼率為0.763行列重均為32的[1023,781] EG-LDPC碼，以及碼率為0.822行列重均為64的[4095,3367] EG-LDPC碼，在不同湍流強(qiáng)度下的BER性能曲線可以看出，兩者的BER性能均隨著σ2的增大而逐漸降低。由于前者的碼率為0.763比后者0.822的碼率低，因此同等參數(shù)下具有更好的性能，但信息傳輸效率較低。同時(shí)對(duì)比兩者在高信噪比下的瀑布區(qū)性能，可以看出后者的錯(cuò)誤平層更低，這是由于后者具有更高的行列重量使得其碼最小距離也會(huì)更大。

圖2 不同參數(shù)EG-LDPC碼在不同大氣湍流強(qiáng)度下的誤碼率性能

由于EG-LDPC碼普遍具有較高的行列重量，使得該類碼在實(shí)際應(yīng)用中僅需較少的迭代次數(shù)達(dá)到較好的譯碼性能，從而降低譯碼器的運(yùn)算處理時(shí)延。為了驗(yàn)證大氣湍流信道下的EG-LDPC碼在不同迭代次數(shù)時(shí)譯碼性能，這里選擇對(duì)表1中[4 095,3 367] EG-LDPC碼在設(shè)置不同最大迭代次數(shù)時(shí)的譯碼性能進(jìn)行Monte Carlo仿真，其結(jié)果見圖3中所示，這里信道的湍流強(qiáng)度σ2=0.04。

由圖3中最大迭代次數(shù)Imax分別為1, 5, 20, 100次時(shí)的BER性能曲線可以看出，隨著迭代次數(shù)的降低其譯碼性能逐漸變差；最大迭代次數(shù)為5次時(shí)相比最大迭代次數(shù)100次時(shí)在BER為10-5時(shí)僅損失大約0.8 dB的性能增益，卻能夠帶來(lái)更低的譯碼復(fù)雜度和譯碼處理時(shí)延。

為了比較EG-LDPC碼在不同時(shí)隙M-PPM調(diào)制時(shí)的性能，對(duì)表1中[255,175]EG-LDPC碼在M分別為2、4、16時(shí)的軟迭代譯碼性能進(jìn)行仿真，其結(jié)果見圖4中所示，這里信道的湍流強(qiáng)度σ2取值分別為0.01和0.04。由圖4中的性能曲線可以看出，隨著PPM調(diào)制時(shí)隙數(shù)M的增加，其軟解調(diào)迭代譯碼性能有所降低，在BER為10-5時(shí)，4PPM相比2PPM大約有1.6 dB的增益損失，16PPM相比4PPM大約有1.7 dB的增益損失。因此，在大氣弱湍流信道下采用2PPM調(diào)制的EG-LDPC編碼調(diào)制方案可以獲得更好的軟迭代譯碼糾錯(cuò)性能。

圖3 大氣湍流信道下[4095, 3367]EG-LDPC碼在不同最大迭代次數(shù)時(shí)的性能

圖4 [255,175]EG-LDPC碼在不同M-PPM調(diào)制下的性能

4 結(jié) 論

本文針對(duì)FSO通信鏈路中大氣湍流噪聲對(duì)數(shù)據(jù)傳輸可靠性的影響，提出在對(duì)數(shù)正態(tài)分布的大氣弱湍流信道下采用高行列重量的EG-LDPC碼和PPM調(diào)制方案，給出了該類方案適用的軟信息計(jì)算方法及迭代譯碼算法流程，并對(duì)其在不同的湍流強(qiáng)度下的譯碼糾錯(cuò)性能進(jìn)行了仿真分析。結(jié)果表明，不同碼長(zhǎng)和碼率的EG-LDPC碼在采用文中給出的軟迭代譯碼算法時(shí)均可獲得很好的譯碼糾錯(cuò)性能。另外，對(duì)于采用2PPM，4PPM，16PPM調(diào)制的EG-LDPC編碼調(diào)制方案性能的仿真結(jié)果表明，采用低碼率的EG-LDPC碼和2PPM調(diào)制方案，在不同強(qiáng)度的大氣湍流信道下可獲得大約1.6dB的編碼增益提升，且算法僅需很少的最大迭代次數(shù)，從而可有效降低譯碼器的運(yùn)算復(fù)雜度和處理時(shí)延。

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