全反射例題賞析

錢宏春

當光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時，若入射角達到臨界角，將會發(fā)生全反射現(xiàn)象.全反射現(xiàn)象是幾何光學(xué)部分重頭戲，有關(guān)全反射的考題層出不窮，且屢“試”不爽.

1.光線經(jīng)過全反射棱鏡發(fā)生全反射

圖1例1 空氣中兩條光線a和b從方框左側(cè)入射，分別從方框下方和上方射出，其框外光線如圖1所示.方框內(nèi)有兩個折射率n=1.5的玻璃全反射棱鏡.能產(chǎn)生圖1效果的放置方式是

解析 如圖2所示，畫出光路圖.當光線與其一直角邊垂直入射時，光線在棱鏡的斜邊發(fā)生全反射，其傳播方向改變90度.故答案應(yīng)為B.

圖2例2 如圖3所示為折射率較大的三棱鏡的主截面，它是等腰直角三角形.光線a垂直于斜面射入棱鏡時，其出射光線為b.如果以直角棱為軸使棱鏡逆時針轉(zhuǎn)過一小角到圖中虛線位置，則原入射光線射入棱鏡后新的出射光線b′ 和a

A.將會相交

B.b′ 的反向延長線與a相交圖3

C.b′ 與a平行

D.一定不平行，只是不能判斷如何相交

圖4解析 如圖4所示，光線a由斜邊以微小的入射角進入全反射棱鏡，分別在兩條直角邊發(fā)生全反射后由斜邊再次射出.定性畫出光路圖.

∵∠1+∠2=90°

∠1=∠3 ∠2=∠4

∴（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°

即得光線C平行于光線d

即光線a平行于b′

故C選項正確.

點評 解決這類問題需掌握全反射棱鏡對光路的控制：

①讓光線經(jīng)過橫截面是等腰直角三角形的棱鏡，當光線與其一直角邊垂直入射時，光線在棱鏡的斜邊發(fā)生全反射，其傳播方向改變了90度.

②當光線垂直于斜邊入射時，光線在棱鏡的兩個直角邊先后發(fā)生全反射，其傳播方向改變了180度.

③若光線以微小的入射角斜射入全反射棱鏡的斜邊，其出射光線傳播方向也改變180度.

2.光線經(jīng)過半圓柱形棱鏡發(fā)生全反射

例3 半徑為R的半圓形玻璃磚，橫截面如圖5所示，O為圓心，已知玻璃的折射率為2，當光由玻璃射向空氣時，發(fā)生全反射的臨界角為45°一束與MN平面成45°的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從MN平面上射出，求能從MN射出的光束的寬度為多少？

圖5 圖6解析 光線照在半球面上時，是由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)，不會發(fā)生全反射.由于光線是平行的，所以射入球面時的入射角互不相同，由折射定律可知，折射光線的傳播方向也不相同.如圖6所示，為簡化問題，取幾條特殊光線.光線①沿半徑入射，不發(fā)生偏折直接射向圓心O，在平面MN上入射角恰好等于臨界角，發(fā)生全反射，不能從MN射出.

光線①左側(cè)光線（如光線②）經(jīng)球面折射后射在平面MN上的入射角一定大于臨界角，在界面MN上發(fā)生全反射，不能射出.

光線①右側(cè)的光線經(jīng)球面折射后，射在MN面上的入射角均小于臨界角，能從MN上折射出來，最右邊的光線③與球面相切，入射角i=90°，由折射定律知，

sinr=12sini=22

可得折射角 r=45°

此光線將垂直MN射出，所以在MN面射出的光束寬度應(yīng)是

OE=Rsinr=22R

例4 一個半圓柱形玻璃體的截面如圖7所示，其中O為圓心，aOb為平面，acb為半圓柱面，玻璃的折射率n=2 .一束平行光與aOb面成45°角照到平面上，將有部分光線經(jīng)過兩次折射后從半圓柱面acb射出，試畫出能有光線射出的那部分區(qū)域，并證明這個區(qū)域是整個acb弧的一半.

圖7 圖8解析 畫出光路圖，取兩條典型光線①和②，假設(shè)光線①和②折射進入玻璃柱后恰能在圓弧面發(fā)生全反射，則能射出的那部分光線區(qū)域如圖8所示.

即∠dOe所對應(yīng)的圓弧.

在界面ab上，根據(jù)折射定律有

sinr=sinin=sin45°2=12

可見，折射角r=30°

全反射臨界角 sinC=1n=12，C=45°

由圖知，對典型光線①有

∠bOe=180°-[C+（90°+r）]

=180°-[45°+（90°+30°）]=15°

對典型光線②有

∠aOd=180°-[C+（90°-r）]

=180°-[45°+（90°-30°）]=75°

可見射出區(qū)域為∠dOe所對應(yīng)的圓弧.

∠dOe=180°-∠aOd-∠bOe=180°-75°-15°=90°

所以這個區(qū)域是整個acb弧的一半.

點評 解決這類問題的關(guān)鍵一般是：

①準確熟練的畫出光路圖；

②抓住特殊光線進行分析； ③找準邊界光線，正確運用幾何關(guān)系.

3.光線經(jīng)過矩形玻璃磚發(fā)生全反射

例5 如圖9為一段光導(dǎo)纖維置于空氣中，為了使光導(dǎo)纖維一端射入的光不從側(cè)壁射出，而全部從另一端射出，此光導(dǎo)纖維折射率為多少？

圖9 圖10 解析 要保證不會有光線從側(cè)面跑出來，其含義是不管入射角多大都能在側(cè)壁發(fā)生全反射.令入射角等于90°，再由折射定律和全反射臨界角公式、幾何關(guān)系就可以求出材料的折射率.

設(shè)激光束在光導(dǎo)纖維端面的入射角為i，折射角為α，折射光線射向側(cè)面時的入射角為β，如圖10所示.

由折射定律有n=sinisinα，

由幾何關(guān)系有α+β=90° sinα=cosβ

由全反射臨界角公式有 sinβ=1ncosβ=1-1n2

要保證從端面射入的任何光線都能發(fā)生全反射，應(yīng)有I=90°，sini=1

故n=sinisinα=sinicosβ=11-1n2=nn2-1，解得n=2，

所以光導(dǎo)纖維的折射率n≥2.

點評 解決本題需要掌握的知識：

①根據(jù)折射定律，折射角隨入射角增大而增大，當入射角i=90°時，折射角α最大.②由幾何關(guān)系可看出β隨α增大而減小，當α最大時，β最小.③由全反射的條件可知，若β最小時能發(fā)生全反射，則光線一定不會從側(cè)壁射出.endprint

當光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時，若入射角達到臨界角，將會發(fā)生全反射現(xiàn)象.全反射現(xiàn)象是幾何光學(xué)部分重頭戲，有關(guān)全反射的考題層出不窮，且屢“試”不爽.

1.光線經(jīng)過全反射棱鏡發(fā)生全反射

圖1例1 空氣中兩條光線a和b從方框左側(cè)入射，分別從方框下方和上方射出，其框外光線如圖1所示.方框內(nèi)有兩個折射率n=1.5的玻璃全反射棱鏡.能產(chǎn)生圖1效果的放置方式是

解析 如圖2所示，畫出光路圖.當光線與其一直角邊垂直入射時，光線在棱鏡的斜邊發(fā)生全反射，其傳播方向改變90度.故答案應(yīng)為B.

圖2例2 如圖3所示為折射率較大的三棱鏡的主截面，它是等腰直角三角形.光線a垂直于斜面射入棱鏡時，其出射光線為b.如果以直角棱為軸使棱鏡逆時針轉(zhuǎn)過一小角到圖中虛線位置，則原入射光線射入棱鏡后新的出射光線b′ 和a

A.將會相交

B.b′ 的反向延長線與a相交圖3

C.b′ 與a平行

D.一定不平行，只是不能判斷如何相交

圖4解析 如圖4所示，光線a由斜邊以微小的入射角進入全反射棱鏡，分別在兩條直角邊發(fā)生全反射后由斜邊再次射出.定性畫出光路圖.

∵∠1+∠2=90°

∠1=∠3 ∠2=∠4

∴（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°

即得光線C平行于光線d

即光線a平行于b′

故C選項正確.

點評 解決這類問題需掌握全反射棱鏡對光路的控制：

①讓光線經(jīng)過橫截面是等腰直角三角形的棱鏡，當光線與其一直角邊垂直入射時，光線在棱鏡的斜邊發(fā)生全反射，其傳播方向改變了90度.

②當光線垂直于斜邊入射時，光線在棱鏡的兩個直角邊先后發(fā)生全反射，其傳播方向改變了180度.

③若光線以微小的入射角斜射入全反射棱鏡的斜邊，其出射光線傳播方向也改變180度.

2.光線經(jīng)過半圓柱形棱鏡發(fā)生全反射

例3 半徑為R的半圓形玻璃磚，橫截面如圖5所示，O為圓心，已知玻璃的折射率為2，當光由玻璃射向空氣時，發(fā)生全反射的臨界角為45°一束與MN平面成45°的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從MN平面上射出，求能從MN射出的光束的寬度為多少？

圖5 圖6解析 光線照在半球面上時，是由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)，不會發(fā)生全反射.由于光線是平行的，所以射入球面時的入射角互不相同，由折射定律可知，折射光線的傳播方向也不相同.如圖6所示，為簡化問題，取幾條特殊光線.光線①沿半徑入射，不發(fā)生偏折直接射向圓心O，在平面MN上入射角恰好等于臨界角，發(fā)生全反射，不能從MN射出.

光線①左側(cè)光線（如光線②）經(jīng)球面折射后射在平面MN上的入射角一定大于臨界角，在界面MN上發(fā)生全反射，不能射出.

光線①右側(cè)的光線經(jīng)球面折射后，射在MN面上的入射角均小于臨界角，能從MN上折射出來，最右邊的光線③與球面相切，入射角i=90°，由折射定律知，

sinr=12sini=22

可得折射角 r=45°

此光線將垂直MN射出，所以在MN面射出的光束寬度應(yīng)是

OE=Rsinr=22R

例4 一個半圓柱形玻璃體的截面如圖7所示，其中O為圓心，aOb為平面，acb為半圓柱面，玻璃的折射率n=2 .一束平行光與aOb面成45°角照到平面上，將有部分光線經(jīng)過兩次折射后從半圓柱面acb射出，試畫出能有光線射出的那部分區(qū)域，并證明這個區(qū)域是整個acb弧的一半.

圖7 圖8解析 畫出光路圖，取兩條典型光線①和②，假設(shè)光線①和②折射進入玻璃柱后恰能在圓弧面發(fā)生全反射，則能射出的那部分光線區(qū)域如圖8所示.

即∠dOe所對應(yīng)的圓弧.

在界面ab上，根據(jù)折射定律有

sinr=sinin=sin45°2=12

可見，折射角r=30°

全反射臨界角 sinC=1n=12，C=45°

由圖知，對典型光線①有

∠bOe=180°-[C+（90°+r）]

=180°-[45°+（90°+30°）]=15°

對典型光線②有

∠aOd=180°-[C+（90°-r）]

=180°-[45°+（90°-30°）]=75°

可見射出區(qū)域為∠dOe所對應(yīng)的圓弧.

∠dOe=180°-∠aOd-∠bOe=180°-75°-15°=90°

所以這個區(qū)域是整個acb弧的一半.

點評 解決這類問題的關(guān)鍵一般是：

①準確熟練的畫出光路圖；

②抓住特殊光線進行分析； ③找準邊界光線，正確運用幾何關(guān)系.

3.光線經(jīng)過矩形玻璃磚發(fā)生全反射

例5 如圖9為一段光導(dǎo)纖維置于空氣中，為了使光導(dǎo)纖維一端射入的光不從側(cè)壁射出，而全部從另一端射出，此光導(dǎo)纖維折射率為多少？

圖9 圖10 解析 要保證不會有光線從側(cè)面跑出來，其含義是不管入射角多大都能在側(cè)壁發(fā)生全反射.令入射角等于90°，再由折射定律和全反射臨界角公式、幾何關(guān)系就可以求出材料的折射率.

設(shè)激光束在光導(dǎo)纖維端面的入射角為i，折射角為α，折射光線射向側(cè)面時的入射角為β，如圖10所示.

由折射定律有n=sinisinα，

由幾何關(guān)系有α+β=90° sinα=cosβ

由全反射臨界角公式有 sinβ=1ncosβ=1-1n2

要保證從端面射入的任何光線都能發(fā)生全反射，應(yīng)有I=90°，sini=1

故n=sinisinα=sinicosβ=11-1n2=nn2-1，解得n=2，

所以光導(dǎo)纖維的折射率n≥2.

點評 解決本題需要掌握的知識：

①根據(jù)折射定律，折射角隨入射角增大而增大，當入射角i=90°時，折射角α最大.②由幾何關(guān)系可看出β隨α增大而減小，當α最大時，β最小.③由全反射的條件可知，若β最小時能發(fā)生全反射，則光線一定不會從側(cè)壁射出.endprint

當光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時，若入射角達到臨界角，將會發(fā)生全反射現(xiàn)象.全反射現(xiàn)象是幾何光學(xué)部分重頭戲，有關(guān)全反射的考題層出不窮，且屢“試”不爽.

1.光線經(jīng)過全反射棱鏡發(fā)生全反射

圖1例1 空氣中兩條光線a和b從方框左側(cè)入射，分別從方框下方和上方射出，其框外光線如圖1所示.方框內(nèi)有兩個折射率n=1.5的玻璃全反射棱鏡.能產(chǎn)生圖1效果的放置方式是

解析 如圖2所示，畫出光路圖.當光線與其一直角邊垂直入射時，光線在棱鏡的斜邊發(fā)生全反射，其傳播方向改變90度.故答案應(yīng)為B.

圖2例2 如圖3所示為折射率較大的三棱鏡的主截面，它是等腰直角三角形.光線a垂直于斜面射入棱鏡時，其出射光線為b.如果以直角棱為軸使棱鏡逆時針轉(zhuǎn)過一小角到圖中虛線位置，則原入射光線射入棱鏡后新的出射光線b′ 和a

A.將會相交

B.b′ 的反向延長線與a相交圖3

C.b′ 與a平行

D.一定不平行，只是不能判斷如何相交

圖4解析 如圖4所示，光線a由斜邊以微小的入射角進入全反射棱鏡，分別在兩條直角邊發(fā)生全反射后由斜邊再次射出.定性畫出光路圖.

∵∠1+∠2=90°

∠1=∠3 ∠2=∠4

∴（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°

即得光線C平行于光線d

即光線a平行于b′

故C選項正確.

點評 解決這類問題需掌握全反射棱鏡對光路的控制：

①讓光線經(jīng)過橫截面是等腰直角三角形的棱鏡，當光線與其一直角邊垂直入射時，光線在棱鏡的斜邊發(fā)生全反射，其傳播方向改變了90度.

②當光線垂直于斜邊入射時，光線在棱鏡的兩個直角邊先后發(fā)生全反射，其傳播方向改變了180度.

③若光線以微小的入射角斜射入全反射棱鏡的斜邊，其出射光線傳播方向也改變180度.

2.光線經(jīng)過半圓柱形棱鏡發(fā)生全反射

例3 半徑為R的半圓形玻璃磚，橫截面如圖5所示，O為圓心，已知玻璃的折射率為2，當光由玻璃射向空氣時，發(fā)生全反射的臨界角為45°一束與MN平面成45°的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從MN平面上射出，求能從MN射出的光束的寬度為多少？

圖5 圖6解析 光線照在半球面上時，是由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)，不會發(fā)生全反射.由于光線是平行的，所以射入球面時的入射角互不相同，由折射定律可知，折射光線的傳播方向也不相同.如圖6所示，為簡化問題，取幾條特殊光線.光線①沿半徑入射，不發(fā)生偏折直接射向圓心O，在平面MN上入射角恰好等于臨界角，發(fā)生全反射，不能從MN射出.

光線①左側(cè)光線（如光線②）經(jīng)球面折射后射在平面MN上的入射角一定大于臨界角，在界面MN上發(fā)生全反射，不能射出.

光線①右側(cè)的光線經(jīng)球面折射后，射在MN面上的入射角均小于臨界角，能從MN上折射出來，最右邊的光線③與球面相切，入射角i=90°，由折射定律知，

sinr=12sini=22

可得折射角 r=45°

此光線將垂直MN射出，所以在MN面射出的光束寬度應(yīng)是

OE=Rsinr=22R

例4 一個半圓柱形玻璃體的截面如圖7所示，其中O為圓心，aOb為平面，acb為半圓柱面，玻璃的折射率n=2 .一束平行光與aOb面成45°角照到平面上，將有部分光線經(jīng)過兩次折射后從半圓柱面acb射出，試畫出能有光線射出的那部分區(qū)域，并證明這個區(qū)域是整個acb弧的一半.

圖7 圖8解析 畫出光路圖，取兩條典型光線①和②，假設(shè)光線①和②折射進入玻璃柱后恰能在圓弧面發(fā)生全反射，則能射出的那部分光線區(qū)域如圖8所示.

即∠dOe所對應(yīng)的圓弧.

在界面ab上，根據(jù)折射定律有

sinr=sinin=sin45°2=12

可見，折射角r=30°

全反射臨界角 sinC=1n=12，C=45°

由圖知，對典型光線①有

∠bOe=180°-[C+（90°+r）]

=180°-[45°+（90°+30°）]=15°

對典型光線②有

∠aOd=180°-[C+（90°-r）]

=180°-[45°+（90°-30°）]=75°

可見射出區(qū)域為∠dOe所對應(yīng)的圓弧.

∠dOe=180°-∠aOd-∠bOe=180°-75°-15°=90°

所以這個區(qū)域是整個acb弧的一半.

點評 解決這類問題的關(guān)鍵一般是：

①準確熟練的畫出光路圖；

②抓住特殊光線進行分析； ③找準邊界光線，正確運用幾何關(guān)系.

3.光線經(jīng)過矩形玻璃磚發(fā)生全反射

例5 如圖9為一段光導(dǎo)纖維置于空氣中，為了使光導(dǎo)纖維一端射入的光不從側(cè)壁射出，而全部從另一端射出，此光導(dǎo)纖維折射率為多少？

圖9 圖10 解析 要保證不會有光線從側(cè)面跑出來，其含義是不管入射角多大都能在側(cè)壁發(fā)生全反射.令入射角等于90°，再由折射定律和全反射臨界角公式、幾何關(guān)系就可以求出材料的折射率.

設(shè)激光束在光導(dǎo)纖維端面的入射角為i，折射角為α，折射光線射向側(cè)面時的入射角為β，如圖10所示.

由折射定律有n=sinisinα，

由幾何關(guān)系有α+β=90° sinα=cosβ

由全反射臨界角公式有 sinβ=1ncosβ=1-1n2

要保證從端面射入的任何光線都能發(fā)生全反射，應(yīng)有I=90°，sini=1

故n=sinisinα=sinicosβ=11-1n2=nn2-1，解得n=2，

所以光導(dǎo)纖維的折射率n≥2.

點評 解決本題需要掌握的知識：

①根據(jù)折射定律，折射角隨入射角增大而增大，當入射角i=90°時，折射角α最大.②由幾何關(guān)系可看出β隨α增大而減小，當α最大時，β最小.③由全反射的條件可知，若β最小時能發(fā)生全反射，則光線一定不會從側(cè)壁射出.endprint