參數(shù)已知下比例函數(shù)系數(shù)線性模型的局部多項式估計

?？肆?， 陳貴景

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009）

0 引 言

函數(shù)系數(shù)模型是由Tibshirani和Hastie［1］在1993年提出的，由于函數(shù)系數(shù)模型里面存在的維數(shù)問題產(chǎn)生了很多不便，由此出發(fā)，統(tǒng)計專家們對其進行了研究，提出來很多不同的解決辦法，文獻［2-5］都有體現(xiàn)。文獻［6］提出了如下模型：稱為比例函數(shù)系數(shù)線性模型。其中Y是因變量，X＝（X1，X2，…，Xp）T和Z＝（Z1，Z2，…，Zp）T是自變量，X與Z的獨立性不確定；但是ε獨立于X和Z，且E（ε）＝0，Var（ε）＝1；假定σ（·，·）是從R2p到R的確定可測函數(shù)；g（·）是從R到R的一個未知可測函數(shù)；Cα（γ），（α＝1，2，…，p）是參數(shù)γ的已知函數(shù)，γ＝（γ1，γ2，…，γp）T的可知性不清楚，現(xiàn)在來考慮在假設(shè)γ已知的條件下，討論系數(shù)函數(shù)局部多項式估計及其漸近正態(tài)性，記

1 估計和漸近正態(tài)性

由局部多項式思想來求解：

即關(guān)于｛aα，α＝1，2，…，p｝和｛bα，α＝1，2，…，p｝的極小值，設(shè)~gα（x）是使式（2）達到極小化的解的前p個值，由局部多項式思想：

可見，x＝（x1，x2，…，xp）T，eα，2p是單位向量，它的維數(shù)為2p，而且第α個分量為1，U是一個矩陣，維數(shù)是n×2p，U的第i行是

易知W＝diag（W11，W22，…，Wpp），Wii＝Khα（Xiα－xα）是W的第i個對角線元素，Xiα，Ziα分別是Xα和Zα的第i個觀察值，Khα（·）＝K（·／hα），K（·）是一個概率密度函數(shù)，而且有緊支撐，并關(guān)于0對稱，有界非負的Lipschitz連續(xù)的，hα＝hnα＞0是窗寬。

條件：

A1：X的聯(lián)合密度p（x）以及Xα的邊際密度pα（xα）是有緊支撐的，有界的，而且是Lipschitz連續(xù)的；

2 證 明

引理1 令

在假設(shè)A1和A2都成立的條件下有：

從而

引理2 令Mn，r（x0）＝（Mn，r，λ（x0））pλ＝0，在假設(shè)A1和A2都成立的條件下有：

從而

引理3 令Qn，r（x0）＝（Qn，r，λ（x0））pλ＝0，在假設(shè)A1和A2都成立的條件下有：

從而

而

由引理1、引理2和引理3得：

3 結(jié) 語

把局部多項式方法用到了比例函數(shù)系數(shù)線性模型的估計中，得到系數(shù)函數(shù)的局部多項式估計，并且討論了估計的漸近正態(tài)性。

［1］ Hastie T，Tibshirani R.Varying-coefficient models［J］.Statist.Soc.B，1993，55（4）：757-796.

［2］ Cai Z，F(xiàn)an J.Avreage regression surface for dependent［J］.Multivaraiate Anal，2000，75：112-142.

［3］ Cai Z，F(xiàn)an J，Yao Q.Function-coefficient models for nonlinear time series［J］.American Statist，As-soc，2000，95：451.

［4］ Fan J，Zhang J.Two-step estimation of functional lineat models with applications to longitudinal data［J］.R.Statist，2000，62B：303-322.

［5］ Zhang R Q，Li G Y.Avreage estimation of function-coefficient regression models with different smoothing variables［J］.Statistics ＆Probability，2007，77：455-461.

［6］ 張日權(quán)，盧一強.變系數(shù)模型［M］.北京：科學出版社，2004.

［7］ ?？肆?，陳貴景.參數(shù)已知下比例函數(shù)線性模型的平均估計［J］.佳木斯大學學報：自然科學版，2012（6）：917-919.

［8］ 施三支，趙鳴霖.一階雙重線性時間序列模型的參數(shù)估計［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2004（1）：64-68.