分數(shù)階系統(tǒng)的二自由度PID預期動態(tài)整定法

李明大,王 京,李東海

(1.北京科技大學冶金工程研究院,北京,100083；2.清華大學熱能工程系,北京,100084)

分數(shù)階微積分將微分、積分的階次擴展到實數(shù)范圍，拓展了人們所熟知的整數(shù)階微積分的描述能力。計算機仿真軟件的快速發(fā)展使得越來越多的學者將分數(shù)階微積分算法用于控制器的設(shè)計。分數(shù)階控制最早應用于CRONE控制器[1]。隨后，Podlubny等將分數(shù)階PID控制器(FO-PID)引入分數(shù)階系統(tǒng)的控制中，取得了良好的效果[2-4]。針對分數(shù)階模型，文獻[5]提出了一種基于幅相裕度的分數(shù)階PID整定方法。此外遺傳算法、根軌跡法等也被用于分數(shù)階PID的參數(shù)選取[6-7]。文獻[8-9]詳細討論了分數(shù)階PID控制器積分與微分的階次變化對控制系統(tǒng)的影響。對于兩類分數(shù)階模型，文獻[10]與文獻[11]分別設(shè)計了形如(Kp+Ki/s)λ的分數(shù)階[PI]控制器(FO-[PI])和形如Kp(1+Kds)μ的分數(shù)階[PD]控制器(FO-[PD])，仿真結(jié)果表明分數(shù)階[PI]、[PD]控制器要優(yōu)于分數(shù)階PI、PD控制器。

分數(shù)階微積分能更加準確地描述自然物理現(xiàn)象，但在控制器中分數(shù)階特性的實現(xiàn)卻不容易。例如，單一的分數(shù)階算子要用高階傳遞函數(shù)或有限時間截斷來近似，在離散系統(tǒng)中也要用高階的離散傳遞函數(shù)來近似[10-13]。然而在很多生產(chǎn)過程中，如高速中厚板軋制，對控制器和控制算法的快速性要求非常高[14-16]，因此，針對更真實的分數(shù)階模型，設(shè)計出簡單易整定的控制器是很必要的。文獻[17]研究了一種非線性魯棒控制器，將控制器參數(shù)與系統(tǒng)預期動態(tài)相結(jié)合，使得控制器參數(shù)具有實際物理意義，而文獻[18]將此方法與PID控制器相結(jié)合，針對常見的工業(yè)對象提出了基于預期動態(tài)的PID整定方法。文獻[19]研究了分數(shù)階系統(tǒng)的自抗擾控制，將分數(shù)階動態(tài)當作系統(tǒng)擾動進行實時估計并予以抵消。在上述研究基礎(chǔ)上，本文采用二自由度PID控制器，針對分數(shù)階模型提出基于預期動態(tài)方程的簡單整定方法——DDE法，通過仿真對DDE法的有效性進行驗證，并與其他分數(shù)階控制方法的控制效果進行比較。

1 分數(shù)階系統(tǒng)簡介

描述分數(shù)階控制系統(tǒng)最常見的數(shù)學定義是Grünwald-Letnikov分數(shù)階微分定義式：

(1)

在零初始狀態(tài)下，分數(shù)階微分的拉普拉斯變換為

L [Dαf(t)]=sαF(s)

(2)

考慮單入單出時不變分數(shù)階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)有如下形式：

(3)

式中：q>0，n>0，m≥0，均為整數(shù)，且n>m；H為系統(tǒng)高頻增益，H≠0；ai(i=0,1,…,n-1)、bi(i=0,1,…,m-1)為未知系數(shù)。令r=n-m/q，r為系統(tǒng)的相對階。

(4)

得到系統(tǒng)的標準型：

(5)

式中：ci(i=0,1,…,n-m)、di(i=0,1,…,m-1)為未知系數(shù)；u為控制輸入。

2 預期動態(tài)法

(6)

在滿足假設(shè)②的條件下，如果f可測，則系統(tǒng)(5)的控制律可化為

(7)

其保證了閉環(huán)系統(tǒng)(5)和式(7)的特征值分別與多項式h0+h1s+…+hn-m-1sn-m-1+sn-m以及B(s)相一致。

由于所有狀態(tài)不可測并且系數(shù)ci、di與H都未知，控制律(7)是不可實現(xiàn)的。在此引入積分器來抵消f的影響，故控制律可重新寫為

(8)

式中：

(9)

(10)

且hii=0,…,n-m-1為適當?shù)恼?shù)。

當n-m=2時，閉環(huán)系統(tǒng)的預期動態(tài)方程為

(11)

其所對應的控制律為

(12)

將式(6)與式(9)代入式(10)中，遵循簡單控制原則可得到：

(13)

為快速跟蹤f并達到適當?shù)姆€(wěn)定裕度，取k=10。因此式(12)可化為

u=-h0(y-r)-h1sy-

(14)

化簡可得到二自由度PID控制律：

(15)

式中：

(16)

二自由度PID結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中虛框所指由DDE法整定。

圖1 二自由度PID結(jié)構(gòu)形式Fig.1 2-DOF PID structure

式(16)中各參數(shù)的選取規(guī)則如下：

(1)根據(jù)控制要求確定預期動力學方程(11)的系數(shù)。設(shè)定調(diào)節(jié)時間TS，超調(diào)量要盡量小。根據(jù)經(jīng)典控制理論對二階系統(tǒng)的分析，并考慮到實際動態(tài)性能與預期動態(tài)存在偏差，需要保證足夠的性能裕度，故?。?/p>

(17)

式中：T=TS/6。

(2)調(diào)整單一參數(shù)l。令l值從接近0的一個很小的值(如0.0001)開始單調(diào)增加。當系統(tǒng)超調(diào)量在0～1%之間變化時，固定此l值為控制器參數(shù)。

(3)按式(16)計算二自由度PID控制器其他參數(shù)。通過仿真實驗檢驗系統(tǒng)性能，滿足要求則整定結(jié)束，否則可能是因為TS設(shè)定得太小，需返回(1)重新設(shè)計。

3 分數(shù)階模型控制仿真

3.1 分數(shù)階模型及其控制參數(shù)

為了驗證DDE法的有效性，筆者從文獻中選取8個主要的分數(shù)階模型(1個加熱爐模型和7個虛擬的分數(shù)階模型)進行對比仿真分析，如表1所示，其中模型1為加熱爐模型。文獻[5]～文獻[11]分別采用分數(shù)階PID、[PI]和[PD]控制器對8個模型進行控制，控制器參數(shù)如表2所示。本文采用DDE方法設(shè)計了整數(shù)階二自由度PID控制器(DDE-PID)對8個分數(shù)階模型進行控制，控制器參數(shù)如表3所示。

表1 分數(shù)階模型

表2 分數(shù)階控制器參數(shù)

表3 DDE法整定的二自由度PID控制器參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果與分析

文獻[4]在建立加熱爐的分數(shù)階模型(簡稱FOM，即模型1)的同時也建立了其整數(shù)階模型(簡稱IOM)，如式(18)所示：

(18)

由圖2可見，在控制更為精確的分數(shù)階模型時，無論是分數(shù)階PID控制器還是整數(shù)階PID控制器均可達到較好的控制效果，并且本文設(shè)計的DDE-PID控制效果更好。

8個分數(shù)階模型的控制仿真結(jié)果如表4所示，控制性能指標如表5所示。由表4和表5可見，分數(shù)階PID和DDE-PID都能很好地控制分數(shù)階模型，但DDE-PID控制的超調(diào)量更小，調(diào)節(jié)時間更短。同時，兩種方法的控制信號處在同一數(shù)量級，甚至DDE-PID的控制代價更小一些。值得注意的是，DDE-PID控制可使系統(tǒng)的動態(tài)響應滿足預期，其調(diào)節(jié)時間小于預期調(diào)節(jié)時間。另外，雖然FO-[PI]、FO-[PD]控制器比FO-PID控制器的效果更好，但DDE-PID也可達到與FO-[PI]和FO-[PD]相同的控制效果。

圖2 FO-PID和DDE-PID對加熱爐模型的控制效果比較

Fig.2StepresponsecomparisonofFOMandIOMcontrolledbyFO-PIDorDDE-PID

表4 分數(shù)階模型的控制仿真結(jié)果

續(xù)表4

45678

表5 控制性能指標比較

4 結(jié)語

本文采用實際模型簡單控制的策略，針對一類分數(shù)階模型提出一種基于預期動態(tài)方程的二自由度PID整定方法(DDE)。1個加熱爐模型及7個虛擬分數(shù)階模型的仿真實例驗證了該方法的有效性。DDE-PID控制可使分數(shù)階系統(tǒng)滿足預期動態(tài)，并且在控制代價較小或相近的條件下可獲得與分數(shù)階PID相當或較其更好的控制效果。

與分數(shù)階控制器不同，基于預期動態(tài)方程的二自由度PID整定方法不需要對現(xiàn)有的經(jīng)典PID類型控制器進行大的改動，并且具有結(jié)構(gòu)簡單、整定方便等特點，因此DDE-PID的工業(yè)應用前景更為廣闊。

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