基于模型分析方法的振動(dòng)加速度計(jì)比對(duì)數(shù)據(jù)的處理*

胡紅波　于　梅　白　杰

(中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029)

0　引言

為了順應(yīng)經(jīng)濟(jì)全球化發(fā)展與消除貿(mào)易技術(shù)壁壘，國(guó)際計(jì)量局(BIPM)聯(lián)合有關(guān)國(guó)家計(jì)量院以及國(guó)際組織簽署了“互認(rèn)協(xié)議”(MRA)[1],而MRA實(shí)施所包含的關(guān)鍵步驟就是國(guó)際比對(duì)，同時(shí)國(guó)際比對(duì)也是考核實(shí)驗(yàn)室能力的有效手段[2-3]。在振動(dòng)沖擊專業(yè)計(jì)量領(lǐng)域，中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院所建立的基標(biāo)準(zhǔn)裝置積極參加并主導(dǎo)國(guó)際以及亞太區(qū)域的關(guān)鍵比對(duì)，有效地支撐了我國(guó)校準(zhǔn)及測(cè)量能力(CMCs)的認(rèn)可，相關(guān)的檢測(cè)與校準(zhǔn)能力已經(jīng)在BIPM網(wǎng)站上關(guān)鍵比對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)(KCDB)中公布[4]。

對(duì)于振動(dòng)與沖擊計(jì)量專業(yè)的國(guó)際關(guān)鍵比對(duì)，通常都選擇性能較好的壓電加速度計(jì)作為傳遞標(biāo)準(zhǔn)，在規(guī)定的頻率范圍與幅度下以加速度計(jì)的靈敏度作為比對(duì)量。BIPM推薦的評(píng)估指南(The Evaluation Guidelines)[5]確定了完整的分析與處理比對(duì)數(shù)據(jù)的方法。該方法規(guī)定了如何由比對(duì)的測(cè)量數(shù)據(jù)確定比對(duì)參考值以及評(píng)價(jià)參比實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)能力一致性的方法。關(guān)于如何確定比對(duì)參考值，一直是本領(lǐng)域國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一[6-9]，本文介紹了一種基于模型分析確定加速度計(jì)比對(duì)參考值的方法。該方法不同于BIPM推薦的評(píng)估指南所推薦的將各個(gè)頻率點(diǎn)的靈敏度由參比數(shù)據(jù)單獨(dú)計(jì)算，而是基于加速度計(jì)的物理結(jié)構(gòu)建立了頻率與靈敏度的數(shù)學(xué)模型，利用參比實(shí)驗(yàn)室提供的測(cè)量結(jié)果與對(duì)應(yīng)的不確定度，采用加權(quán)最小二乘算法計(jì)算得到模型的參數(shù)，從而可以得到在給定頻率范圍內(nèi)任意頻率點(diǎn)的靈敏度。本文利用上述兩種方法對(duì)亞太計(jì)量規(guī)劃組織(APMP)加速度計(jì)振動(dòng)校準(zhǔn)比對(duì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，一致的參考值證明了該方法的有效性，同時(shí)由于利用了加速度計(jì)的物理模型等信息，通過(guò)模型計(jì)算得到參考值對(duì)應(yīng)的不確定度比采用指南推薦方法得到的不確定度更小，更小的不確定度增大了發(fā)現(xiàn)不一致參比數(shù)據(jù)的可能性，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了基于模型分析的方法在一定條件下的優(yōu)越性。

1　加速度計(jì)校準(zhǔn)區(qū)域關(guān)鍵比對(duì)數(shù)據(jù)

對(duì)于振動(dòng)沖擊專業(yè)的區(qū)域或者國(guó)際比對(duì)，加速度計(jì)(包括或者不包括配套放大器)通常作為傳遞標(biāo)準(zhǔn)器具，由各個(gè)參比實(shí)驗(yàn)室在規(guī)定的頻率范圍內(nèi)，比如10Hz～10kHz，用各自的振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)裝置確定其對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)的靈敏度值與測(cè)量不確定度。本文研究的數(shù)據(jù)來(lái)源為亞太計(jì)量規(guī)劃組織的振動(dòng)關(guān)鍵比對(duì)[10]，本次比對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)器為丹麥B&K公司生產(chǎn)的型號(hào)為8305的標(biāo)準(zhǔn)加速度計(jì)與型號(hào)為2626的放大器。亞太地區(qū)共有5個(gè)實(shí)驗(yàn)室參與，外加歐洲的德國(guó)聯(lián)邦物理技術(shù)研究院(PTB),總共有6個(gè)實(shí)驗(yàn)室參加了比對(duì)，比對(duì)的頻率范圍為100Hz～10kHz。其提交的加速度計(jì)靈敏度數(shù)據(jù)與對(duì)應(yīng)的不確定度如圖1與 圖2所示。比對(duì)詳細(xì)的情況可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[10]。

圖1　用于分析的關(guān)鍵比對(duì)數(shù)據(jù)

圖2　比對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

通過(guò)比較上述數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于頻率范圍較高的部分，特別是頻率點(diǎn)7，8，9，10kHz時(shí)，比對(duì)實(shí)驗(yàn)室2與實(shí)驗(yàn)室5的數(shù)據(jù)明顯偏小，初步分析可能是因?yàn)樵搶?shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)裝置的系統(tǒng)偏差所致，按照參考文獻(xiàn)[10]的建議，在下面的兩種方法分析參考值與對(duì)應(yīng)不確定度時(shí)，這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室在以上4個(gè)頻率點(diǎn)的數(shù)據(jù)未參與對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)參考值的計(jì)算。另外還需要說(shuō)明的是在不同的頻率點(diǎn)不同實(shí)驗(yàn)室測(cè)量結(jié)果是相互獨(dú)立的。

2　指南推薦分析方法

依據(jù)BIPM指南推薦的方法，對(duì)于每一個(gè)頻率點(diǎn)的靈敏度參考值采用分別計(jì)算的方式。設(shè)s1,s2,…,sn為各個(gè)參比實(shí)驗(yàn)室在某一頻率點(diǎn)的靈敏度測(cè)量結(jié)果，u(s1),u(s2),…,u(sn)為其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，且sref,u(sref)為該頻率點(diǎn)靈敏度參考值以及對(duì)應(yīng)的不確定度。按下式采用加權(quán)平均方式即可計(jì)算得到參考值與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

(1)

(2)

按照上述計(jì)算方式對(duì)比對(duì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，在比對(duì)的頻率范圍內(nèi)分別得到的各頻率點(diǎn)的靈敏度參考值與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度如圖3、圖4所示。

圖3　指南推薦方式計(jì)算所得到比對(duì)參考值

圖4　參考值對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度

根據(jù)指南推薦的評(píng)價(jià)比對(duì)實(shí)驗(yàn)室測(cè)量結(jié)果的方法，采用各實(shí)驗(yàn)室測(cè)量的結(jié)果與參考值的偏差以及該偏差的不確定度(95%的置信概率)來(lái)定量的描述。測(cè)量結(jié)果的一致性評(píng)價(jià)用En值來(lái)表示，按式(3)計(jì)算。

(3)

即En值為比對(duì)值與參考值之間的偏差除以該偏差的擴(kuò)展不確定度。上式中，k為擴(kuò)展因子，u(si-sref)為偏差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。需要特別說(shuō)明的是，在計(jì)算u(si-sref)時(shí)，必須考慮比對(duì)值si與參考值sref之間的相關(guān)性。En的絕對(duì)值越大，則表明比對(duì)值與參考值越不一致。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于單一測(cè)量點(diǎn)比較的En計(jì)算，通常偏差量為正態(tài)分布，置信概率約為95%時(shí)取k=2，此時(shí)若：

|En|≤1

(4)

則表明兩者之間是一致的。但有時(shí)利用此規(guī)則判斷一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)是否一致時(shí)也會(huì)有些問(wèn)題，比如兩個(gè)En值，一個(gè)為0.99而另一個(gè)為1.01，則會(huì)得出相反的結(jié)論，而實(shí)際有可能兩個(gè)測(cè)量值的差別非常小?？紤]到本次比對(duì)每個(gè)參加實(shí)驗(yàn)室的測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)為N=21，為了避免出現(xiàn)個(gè)別測(cè)量點(diǎn)的En值超過(guò)單位1，覆蓋因子k應(yīng)增大以確保所有21個(gè)測(cè)量點(diǎn)的En值小于或者等于單位1的概率均為95%。由于各個(gè)頻率點(diǎn)測(cè)量值與對(duì)應(yīng)的En值均不相關(guān)，故可按式(5)來(lái)計(jì)算k值。

(5)

上式中，Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，查正態(tài)分布表可得k=3.03≈3。

為了按式(3)計(jì)算En值，依據(jù)GUM不確定度評(píng)估準(zhǔn)則可得：

u2(si-sref)=u2(si)-2u(si,uref)+u2(sref)

=u2(si)-2u2(sref)+u2(sref)

=u2(si)-u2(sref)

(6)

從而可計(jì)算偏差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。綜上可計(jì)算得到參比實(shí)驗(yàn)室的En值如圖5所示。

圖5　標(biāo)準(zhǔn)方法計(jì)算得到En值

從En圖可以看出，只有實(shí)驗(yàn)室5的第15個(gè)測(cè)量點(diǎn)En大于1，即該實(shí)驗(yàn)室在頻率為4kHz時(shí)的測(cè)量結(jié)果與其他實(shí)驗(yàn)室是不一致的。

3　基于模型的分析方法

加速度計(jì)是利用慣性力來(lái)測(cè)量物體運(yùn)動(dòng)的，其結(jié)構(gòu)通常由外殼、質(zhì)量塊、壓電晶體以及限制質(zhì)量塊與外殼之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的彈簧構(gòu)成。通常，我們認(rèn)為加速度計(jì)是一個(gè)線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在其線性動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)可將其等效為一個(gè)單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，并用一個(gè)二階的LTI系統(tǒng)來(lái)對(duì)其進(jìn)行描述[11-12]，典型的幅頻響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6　加速度計(jì)典型幅頻曲線

當(dāng)fmax

(7)

式中：S0為加速度計(jì)零頻時(shí)的靈敏度；f0為諧振頻率；Gf為配套放大器的頻率響應(yīng)。

(8)

式中：sf,i表示第個(gè)實(shí)驗(yàn)室在頻率為下測(cè)量的結(jié)果；u(sf,i)表示其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

(9)

圖7　基于模型計(jì)算得到的參考值曲線

圖8　對(duì)應(yīng)參考值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

=X(XTV-1X)-1XTV-1cov(Y,Y)

=X(XTV-1X)-1XTV-1V

=X(XTV-1X)-1XT

圖9為采用模型計(jì)算得到的參考值與對(duì)應(yīng)的不確定度，按式(3)計(jì)算得到的En值圖。

圖9　由模型計(jì)算得到的En值

從En圖可以看出，實(shí)驗(yàn)室5的第15個(gè)測(cè)量點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)室1的第17個(gè)測(cè)量點(diǎn)En值絕對(duì)值大于1，即實(shí)驗(yàn)室5在頻率為4kHz時(shí)的測(cè)量點(diǎn)與實(shí)驗(yàn)室1的6kHz測(cè)量結(jié)果與其他實(shí)驗(yàn)室不一致。

4　兩種方法的比較與分析

圖10與圖11為兩種方式計(jì)算比對(duì)參考值與對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的比較圖。從該圖可以看出，兩種方式計(jì)算得到的參考值基本一致，這證明了利用模型計(jì)算參考值的有效性，同時(shí)利用模型計(jì)算得到參考值對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度卻小很多，也說(shuō)明了基于模型的計(jì)算方式在一定條件下是可靠的。

圖10　兩種方法計(jì)算得到參考值的比較

圖11　兩種方法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度比較

對(duì)兩種不同分析方式的比較可以看出，基于模型的分析方法得到的參考值比較好，主要的原因在于該方法利用了基于頻率與靈敏度的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式等信息。兩種方法得到En值的結(jié)果基本一致，利用指南推薦分析方法得到的一個(gè)大于1的En值，在基于模型的分析方法中也得到了同樣的結(jié)果，并且在指南推薦的分析方法中一個(gè)很接近于1的En值在基于模型分析的結(jié)果中則大于1。另外，如果將兩種方式得到的En值畫成X-Y圖形，則會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者是相關(guān)的，這說(shuō)明在一定條件下，兩種方法的結(jié)論是一致的。

5　小結(jié)

本文主要論述了一種基于模型處理比對(duì)數(shù)據(jù)的分析方法，該模型基于加速度計(jì)的物理結(jié)構(gòu)，在一定的頻率范圍內(nèi)能完整地描述頻率與靈敏度之間的關(guān)系。通過(guò)采用加權(quán)最小二乘算法計(jì)算出了模型的參數(shù)，從而得到了比對(duì)參考值與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。通過(guò)與BIPM評(píng)估指南推薦方法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果的一致性證明了該方法可靠有效，并且其更小的不確定度表明在一定條件下基于模型分析方法的優(yōu)越性。目前國(guó)際上本專業(yè)領(lǐng)域?qū)?yīng)的技術(shù)委員會(huì)正在起草有關(guān)采用激光絕對(duì)法進(jìn)行加速度計(jì)參數(shù)辨識(shí)的ISO標(biāo)準(zhǔn)[13]，相信該標(biāo)準(zhǔn)文件的出臺(tái)對(duì)于加速度計(jì)特性校準(zhǔn)比對(duì)能起到一定的積極作用。

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