蜿蜒河流的量規(guī)維數(shù)與河床演變

汪富泉

(廣東石油化工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院,廣東 茂名 525000)

蜿蜒河流既具有蜿蜒蠕動(dòng)的動(dòng)態(tài)特征,又具有迂回曲折的平面形態(tài),所以又稱為彎曲河流(本文在研究其平面形態(tài)時(shí)稱彎曲河流,而在研究其演變特征時(shí)稱蜿蜒河流)。自然界中,蜿蜒河流分布廣泛,如中國(guó)的下荊江、渭河、南運(yùn)河、漢江、沅江及遼河等。一方面,適度彎曲的河床能順導(dǎo)水流,穩(wěn)定水勢(shì),有利于防洪和航運(yùn);另一方面,過(guò)分彎曲的河床會(huì)使水流阻力增大,河床比降減小,阻止洪水宣泄。隨著河灣的生長(zhǎng),凹岸不斷崩塌,將威脅沿岸城鎮(zhèn)人民生命財(cái)產(chǎn)安全,嚴(yán)重影響防洪和航運(yùn)。因此,無(wú)論是從興利還是除害的角度,都有必要研究蜿蜒河流平面形態(tài)的結(jié)構(gòu)特征、形成機(jī)制及演變規(guī)律。

Nikora等[1-2]認(rèn)為,河流的平面形態(tài)由地貌齊性河段(MHRS)決定且受到很多獨(dú)立因素的控制。描述MHRS的傳統(tǒng)參數(shù)是各個(gè)河灣(宏觀形態(tài))參數(shù)的平均值。當(dāng)MHRS由不同尺度的河灣組成且河灣的幾何形態(tài)隨位置高度而變化時(shí),平均值描述方法的意義是不明確的。Nikora等[3]研究了MHRS平面形態(tài)的分形結(jié)構(gòu),從現(xiàn)存地形圖上測(cè)量計(jì)算了位于Moldavia 46個(gè)河段的分形維數(shù)(盒維數(shù))D,D可以用來(lái)描述MHRS的平面形態(tài)。河流平面形態(tài)在小尺度下呈自相似性，而在大尺度下呈自仿射性[4],辮狀河流平面形態(tài)具有較好的自仿射性,可用自仿射物體的分形標(biāo)度指數(shù)表征[5]。對(duì)于蜿蜒河流,筆者[6-7]研究了下荊江河道的分形特征并探討了河灣形態(tài)演變的自組織性及其穩(wěn)定性。近年的研究發(fā)現(xiàn),山區(qū)河流崎嶇地帶的地貌也可用D描述[8],說(shuō)明D可能是更好地反映河流平面形態(tài)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的新參數(shù)。

已有的研究成果在幫助人們直觀形象地認(rèn)識(shí)河流平面形態(tài)復(fù)雜性方面較有意義,但是,河流是一個(gè)開(kāi)放的復(fù)雜非線性耗散系統(tǒng)[6],其平面形態(tài)是系統(tǒng)演化的產(chǎn)物。河型的塑造是一個(gè)長(zhǎng)距離、長(zhǎng)時(shí)間的過(guò)程,人們揭示的分形結(jié)構(gòu)只是演化過(guò)程中的一種暫態(tài)結(jié)構(gòu)[6]。因此,河流平面形態(tài)的分形研究應(yīng)考慮河流平面形態(tài)的分形維數(shù)或標(biāo)度指數(shù)是否隨時(shí)間變化、隨時(shí)間變化的規(guī)律等與河床穩(wěn)定性密切相關(guān)的問(wèn)題。這些問(wèn)題比分形維數(shù)或標(biāo)度指數(shù)的計(jì)算遠(yuǎn)為困難卻被研究者們長(zhǎng)期忽略。本文對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行了初步探討。

1 彎曲河流的量規(guī)維數(shù)及計(jì)算方法

彎曲河流的平面形態(tài)指河流軸線(或中心線)的平面形態(tài)。彎曲河流的平面形態(tài)可看成一條Jordan線,即曲線沒(méi)有自交點(diǎn),視為閉區(qū)間[a,b]的拓?fù)湎骩9]。 設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

C:r(s)={x(s),y(s)}

式中：s為自然參數(shù)。用一個(gè)圓規(guī)沿著這條曲線測(cè)量,設(shè)圓規(guī)兩腳間的距離為δ,測(cè)點(diǎn)為x0,x1, …,xm,則

xk-xk-1=δ(k=0, 1, …,m)

(1)

設(shè)M(δ,C)表示圓規(guī)兩腳間距離為δ時(shí)沿C得到的測(cè)量步數(shù),則M(δ,C)δ可看成用長(zhǎng)為δ的碼尺測(cè)量C時(shí)得到的長(zhǎng)度。若C是一條直線,則M(δ,C)δ不隨δ的改變而改變,因此M(δ,C)∝δ-1。當(dāng)δ→0時(shí),令ds=dδ表示弧微分,則C的長(zhǎng)度L(C)是一個(gè)有限常數(shù):

(2)

(3)

為從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到Ddiv,將式(3)改寫(xiě)為

lnM(δ,C)=A-Ddivlnδ

(4)

其中A=DdivlnL0

若沿C測(cè)量時(shí)改變碼尺δ的長(zhǎng)度,在一系列碼尺長(zhǎng)度{δj:j=1, 2, …，m}下測(cè)得對(duì)應(yīng)步數(shù){Mj=M(δj,C):j=1, 2, …，m}。由式(4)進(jìn)行線性回歸,如果從{(lnδj, lnMj):j=1, 2, …，m}計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)r能通過(guò)置信水平α=1%的臨界值檢驗(yàn)(因相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)較松,所以本文對(duì)信度要求較高),則式(3)和式(4)在統(tǒng)計(jì)意義下成立,C具有統(tǒng)計(jì)自相似性,Ddiv就是C的量規(guī)維數(shù)。

考慮到一條蜿蜒河流的不同河段可能具有不同的演變特征,可把一條蜿蜒河流分成n個(gè)河段,計(jì)算各個(gè)河段的量規(guī)維數(shù){Ddiv,i:i=1, 2, …,n}。其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為

(5)

(6)

維數(shù)計(jì)算可使用長(zhǎng)度M(δ,C)δ,也可使用測(cè)量步數(shù)M(δ,C)。下面證明Ddiv是一種Housdorff維數(shù)。對(duì)式(7)進(jìn)行量綱分析

L=L0ε1-Dh

(7)

式中：Dh為Housdorff維數(shù)。令[L]=[L0]=1,知[ε]=0,即若L、L0為歐氏長(zhǎng)度,則ε為標(biāo)度(無(wú)量綱量)。因δ是碼尺,所以δ=εL0([δ]=[ε]+[L0]=1)。則分形曲線長(zhǎng)度公式為

(8)

Ddiv=lnM(δ,C)/ln(L0/δ)=ln(L/δ)/ln(L0/δ)=Dh

(9)

可見(jiàn),Ddiv與Housdorff維數(shù)Dh相同。因量規(guī)維數(shù)不需要計(jì)算曲線長(zhǎng)度,因此計(jì)算更簡(jiǎn)便。

2 下荊江河道的量規(guī)維數(shù)與河床演變

下荊江起于藕池口,止于城陵磯,現(xiàn)河道(2012年)長(zhǎng)約170 km[11]。其平面形態(tài)蜿蜒曲折,素有“九曲回腸”之稱。每年汛期,該河段的防洪都要付出極大代價(jià)。在1998年長(zhǎng)江全流域特大洪水期間,石首以下江段,北門(mén)口、調(diào)關(guān)磯頭等處險(xiǎn)情不斷,是抗洪任務(wù)最艱巨的河段。謝鑒衡等[12]給出了下荊江近500年間的5次平面變化,見(jiàn)圖1。由圖1可見(jiàn),整個(gè)河段和單個(gè)河灣的變化都十分顯著?，F(xiàn)河道與1975年河道相比,在1∶615 000的地形圖上變化較小。

1.新廠;2.袁家埠;3.天星洲;4.藕池口;5.街河;6.石首;7.大公湖;8.孫家峽;9.調(diào)弦口;10.八十丈;11.南河口;12.章華港;13.塔市驛;14.青泥彎;15.監(jiān)利;16.新市街;17.鋪?zhàn)訛?18.下車(chē)彎;19.磚橋;20.東港湖;21.洪水港;22.李家墩;23.尺八口;24.老荊河;25.長(zhǎng)江故道;26.熊家洲;27.孫梁洲;28.黃泥套;29.老河;30.城陵磯圖1 下荊江平面形態(tài)變化

筆者用本文方法計(jì)算下荊江河道平面形態(tài)的特征值,資料采用1∶615 000的實(shí)測(cè)河道地形圖進(jìn)行計(jì)算,研究區(qū)域?yàn)榕撼乜谥脸橇甏?量規(guī)的初始間距為3.08 km,最大間距86.24 km。將后一間距取成前一間距的倍數(shù)或采用其他非等間距計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行誤差分析,相對(duì)誤差均小于5%,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1(表中CB=L/L0為曲折系數(shù))。經(jīng)檢驗(yàn),在α=1%下lnM(δ,C)和lnδ線性關(guān)系十分顯著。

表1 下荊江平面形態(tài)特征及相關(guān)參數(shù)

需要指出的是,目前多數(shù)學(xué)者用數(shù)盒子法[13]計(jì)算河流的分形維數(shù),其數(shù)值結(jié)果和采用量規(guī)維數(shù)所得結(jié)果可能有一些差異。如,羅鄖等[14]用數(shù)盒子法計(jì)算了下荊江1869年、1912年、1934年、1952年、1973年等5個(gè)年份河道南岸和北岸岸線的分形維數(shù),南岸在1.08～1.22之間,北岸在1.15～1.23之間,北岸1869年為1.19,1952年為1.23,裁彎以后,1973年北岸由1.23減小到1.19,南岸由1.22減小到1.08。而本文結(jié)果1959年為1.30,裁彎后1975年減小到1.18(見(jiàn)表1)。對(duì)比可見(jiàn),本文的結(jié)果是比較合理的。

從表1可見(jiàn),在不同時(shí)期,下荊江平面形態(tài)都具有很好的統(tǒng)計(jì)自相似性,分形結(jié)構(gòu)存在的內(nèi)外尺度分別為δc=0.6 km和Δc=86 km,與Nikora提出的a1B和c1B0基本一致[1]。從計(jì)算結(jié)果可見(jiàn),各時(shí)期河道中心線的曲折系數(shù)、分形維數(shù)均隨時(shí)間變化而波動(dòng),說(shuō)明河流在未受到控制時(shí),由于內(nèi)外部因素的作用,其發(fā)展演化遵循“形成→發(fā)展→裁直……”這種循環(huán)往復(fù)的模式。分形維數(shù)增大的過(guò)程,即凹岸不斷沖刷,凸岸不斷淤積,河流向彎曲方向發(fā)展的過(guò)程,同時(shí)也是河床耗散水流能量和增加分形維數(shù)的過(guò)程。當(dāng)河灣彎曲到一定程度時(shí),河床平面形態(tài)與水流、泥沙輸移不適應(yīng),就可能發(fā)生自然裁直,相當(dāng)于水流從河床回收能量,使分形維數(shù)減小?？梢?jiàn),分形維數(shù)的增減反映了水流的能量耗散,或河床與水流交換能量的一種準(zhǔn)周期過(guò)程。因此,河床平面形態(tài)的分形結(jié)構(gòu)及其演化,揭示了河床演變的一種自組織原則。

由圖1可見(jiàn),下荊江不同河段演變特征不同,藕池口—調(diào)弦口和調(diào)弦口—磚橋段河灣振幅變化差異較大,磚橋—城陵磯段河灣蠕動(dòng)較大。為定量探討下荊江河道的變化特征,將其劃分成3段:藕池口—調(diào)弦口、調(diào)弦口—磚橋以及磚橋—城陵磯,其量規(guī)維數(shù)及曲折系數(shù)見(jiàn)表2,統(tǒng)計(jì)特征見(jiàn)表3。

從表2和表3可以歸納出如下結(jié)論:

表2 下荊江局部河段量規(guī)維數(shù)、相關(guān)系數(shù)與曲折系數(shù)

表3 局部河段各時(shí)期曲折系數(shù)與量規(guī)維數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征

a. 同一河灣量規(guī)維數(shù)和曲折系數(shù)的增減趨勢(shì)可以不一致。 如調(diào)弦口—磚橋河段,在1910—1959年間,量規(guī)維數(shù)增加而曲折系數(shù)減小。究其原因,1876—1910年河段平均振幅10.84 km,1959年減小到9.84 km,河灣個(gè)數(shù)也有所減小,但是河灣形態(tài)折疊成“Z”字形。 在1835—1876年、1876—1910年和1959年,藕池口—調(diào)弦口河段平面形態(tài)相似,河灣個(gè)數(shù)基本相同,其量規(guī)維數(shù)差異很小。但是,1876—1910年的曲折系數(shù)遠(yuǎn)小于其余兩個(gè)時(shí)期。其原因可能在于1876—1910年各河灣振幅明顯減小。量規(guī)方法是把多個(gè)尺度(曲折系數(shù)涉及的是兩個(gè)極端尺度)下測(cè)量的結(jié)果映射為一個(gè)不變量——量規(guī)維數(shù),量規(guī)維數(shù)和曲折系數(shù)可以互補(bǔ),但量規(guī)維數(shù)能更好地描述蜿蜒河段的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

b. 從空間變化看,1910—1959年各河段的量規(guī)維數(shù)均增大(注:藕池口—調(diào)弦口1910年量規(guī)維數(shù)為1.256,1959年增大到1.258,保留兩位小數(shù)時(shí)均為1.26)。究其原因,這一時(shí)期,河道的彎曲程度和河灣擺幅均有所增加,而1959—1975年和2012年(現(xiàn)河道),各個(gè)河灣的量規(guī)維數(shù)均減小,原因在于1967年與1969年分別對(duì)中洲子和上車(chē)灣實(shí)施了人工裁灣,1972年沙灘子河灣又發(fā)生了自然裁直,使下荊江長(zhǎng)度減小約80 km,其余時(shí)期,各河段的空間變化不均勻,量規(guī)維數(shù)的增減趨勢(shì)不一致,特別是1876—1910年各河段平均形態(tài)的量規(guī)維數(shù)差異最大,標(biāo)準(zhǔn)差為0.1,相對(duì)漲落(標(biāo)準(zhǔn)差與均值之比)為0.085,曲折系數(shù)相對(duì)漲落的最大值為0.366,磚橋—城陵磯河段則發(fā)生了自然裁直,使河段由彎曲型轉(zhuǎn)變?yōu)槲澬?其量規(guī)維數(shù)僅為1.07?？梢?jiàn),各河段平面形態(tài)的變化均可由量規(guī)維數(shù)定量地反映出來(lái)。

c. 從時(shí)間變化看,磚橋—城陵磯河段量規(guī)維數(shù)變化最大,標(biāo)準(zhǔn)差為0.08,其原因與該河段尺八口河灣的蠕動(dòng)密切相關(guān),該河灣的位置與平面形態(tài)在幾十年內(nèi)就可以發(fā)生顯著的變化[7,11]。 藕池口—調(diào)弦口河段的位置及平面形態(tài)變化較復(fù)雜,裁彎和彎道發(fā)展的過(guò)程交替演進(jìn)。調(diào)弦口—磚橋河段也出現(xiàn)多次裁彎,但其變化程度比前兩者小,維數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差也最小?？梢?jiàn),由不同時(shí)期的量規(guī)維數(shù)組成的集{Ddiv,ti：i=1,2,…,n}(維數(shù)譜)可以定量地反映蜿蜒河流平面形態(tài)的演變特征。

3 結(jié) 論

a. 首次引入量規(guī)維數(shù)表征蜿蜒河流平面形態(tài)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),對(duì)下荊江河道500多年的平面變化進(jìn)行分析計(jì)算,結(jié)果表明,量規(guī)維數(shù)隨時(shí)間變化而波動(dòng),說(shuō)明河床形態(tài)不穩(wěn)定,在發(fā)生裁彎時(shí),量規(guī)維數(shù)將由大突然減小,臨界維數(shù)在1.3左右,差值在0.1左右。如1959年的量規(guī)維數(shù)為1.3,1967年、1969年和1972年發(fā)生人工和自然裁直,1975年減小到1.18?？梢?jiàn),量規(guī)維數(shù)的譜可以定量描述河段蜿蜒形態(tài)“形成→發(fā)展→裁直→……”的周期振蕩規(guī)律。因此量規(guī)維數(shù)是描述河床形態(tài)結(jié)構(gòu)及其演變有效的宏觀參數(shù)。

b. 對(duì)河床的曲折系數(shù)、量規(guī)維數(shù)及其隨時(shí)間的變化進(jìn)行了比較分析,結(jié)果表明,曲折系數(shù)及其變化不能完全反映河道的蜿蜒特征及其演變情況,量規(guī)維數(shù)可以和它互補(bǔ)，且能更深刻地描述河道平面形態(tài)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其演變特征。

c. 在河流動(dòng)力學(xué)中,從單個(gè)水團(tuán)、單顆泥沙的運(yùn)動(dòng)到一條河流的演變跨越了多個(gè)尺度。宏觀尺度上的若干系統(tǒng)，如河灣、河段、河床、河流等，都是開(kāi)放系統(tǒng),處于非平衡狀態(tài)和永恒的發(fā)展之中,水沙變化過(guò)程對(duì)蜿蜒河道演變存在顯著影響[15],目前對(duì)水沙變化的分形特征已有一些初步探討[16-17]。

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