小波水文分析在年降水量分析中的應(yīng)用

徐敏

（遼寧省水文水資源勘測局本溪分局，遼寧 本溪 117000）

小波水文分析在年降水量分析中的應(yīng)用

徐敏

（遼寧省水文水資源勘測局本溪分局，遼寧 本溪 117000）

水文工作一項(xiàng)重要任務(wù)就是對相關(guān)要素進(jìn)行中、長期水文預(yù)報，目前采用的方法一般為參數(shù)估計(jì)法、多元回歸法、線性相關(guān)法等。應(yīng)用小波水文分析理論，探討降水量時間序列的多時間尺度變化特征，尋找出降水量時間序列不同時間尺度下的演變規(guī)律和發(fā)展趨勢，從而為降水量的中、長期預(yù)測提供分析依據(jù)。

小波水文分析；時間尺度；降水量

0引言

由于水文要素（降水、流量等）具有大量的不確定性和復(fù)雜性，常規(guī)的分析方法很難對它們的發(fā)展規(guī)律和變化特征有清晰的了解和準(zhǔn)確的預(yù)測。此文介紹一種新的方法—小波水文分析法，小波 分 析（waveletanalysis）是 一 種 由 粗 及 細(xì) 的 分 析方法，它可以觀測到細(xì)微的變化，也可以展示大的變化趨勢，同時能獲得不同頻帶的簡單序列。將小波分析引入到水文學(xué)應(yīng)用研究中，可以從多方面揭示水文系統(tǒng)的變化規(guī)律，從而為防汛抗旱、水資源合理開發(fā)利用及配置提供技術(shù)支撐。

1 方法原理

小波分析是一種窗口大小固定但形狀可變（時寬和頻寬可變）的時頻局部化分析方法，具有自適應(yīng)的時頻窗口。高頻段時，頻域窗口增大，時間窗口減小；低頻段時，時間窗口增大，頻域窗口減小，其關(guān)鍵是在于引入了滿足一定條件的基本小波函數(shù)以代替 Fourier 變換中的基函數(shù)。常用的小波函數(shù)有 Morlet小波和 Marr 小波。

對于給定的小波函數(shù) ψ（t），水文時間序列 f（t）∈L2（R）的連續(xù)小波變換為：

式中：a 為尺度因子，反映小波的周期長度；b 為時間 因 子，反映 小波 時間 上 的 平移 ；wf（a，b）為小 波變換系數(shù)；t為時間。

由于時間序列常常是離散的，則其離散形式為：

式中：k 為水文序列數(shù)；△t為水文序列數(shù)時間間隔；n為水文序列總數(shù)。

小波變換系數(shù) wf（a，b）隨參數(shù) a，b 變化，可以作出橫坐標(biāo)為 b，縱坐標(biāo)為 a 的關(guān)于 wf（a，b）的二維等值線圖，即小波變換系數(shù)圖，通過此圖可得到關(guān)于時間序列變化的小波變化特征。運(yùn)用小流變換系數(shù)的分析，可識別水文要素的多時間尺度深變特征。

通過小波方差計(jì)算，可以確定一個水文序列中存在的主要時間尺度，即主周期。公式為：

式中：Var（a）為小流方差。

當(dāng)使用 Morlet 小波 ψ （t）=eicte-t2/2時 ，Morlet小波 ψ（t）伸縮尺度 a 與周期 T 有如下關(guān)系：

式中：c 為常數(shù) c=6.2；T 為周期。

2 應(yīng)用實(shí)例

以本溪市 1965—2012 年共 48 年的年降水量資料為例，將小波分析應(yīng)用于降水量時間序列多時間尺度分析，以了解其不同時間尺度的詳細(xì)結(jié)構(gòu)和變化趨勢，進(jìn)而來分析豐枯水周期。為方便處理，將降水量按距平處理，見圖 1。

圖1 本溪市年降水量距平過程圖

以上述資料來進(jìn)行多時間尺度分析，小波函數(shù)用 Morlet小波。Morlet小波為復(fù)數(shù)小波，其小波變換的模和實(shí)部是2個重要的變量。模的大小表示特征時間尺度信號的強(qiáng)弱，實(shí)部表示不同特征時間尺度信號在不同時間上的分布和位相兩方面的 信 息 。 將 年 降 水 量 距 平 過 程 f（k △t）（k= 1，2，3，4，…，48；△t=1）和 Morlet小波函數(shù)代入上述離散形公式，取不同的 a，b，計(jì)算小波變換的模平方和實(shí)部，繪制二維等值線圖，見圖 2。

圖2 本溪市年降水量距平小波變換的模平方時頻分布圖

圖 2 表示了年降水量距平序列 Morlet 小波變換模平方的時頻變化，從圖中可以看出不同時段各時間尺度的強(qiáng)弱分布，其中 8～13 年時間尺度變化較強(qiáng)，主要發(fā)生在 1970—1983 年，振蕩中心在1978 年，25～30 年時間尺度也比較強(qiáng)，振蕩中心在1978 年。另外 1～5 年時間尺度分別在 1973—1983年和 2002 以后表現(xiàn)明顯，其余較弱。同時可知，降水量時間序列的時間尺度在時間域上分布不均勻，具有顯著的局部化特征。

取 a=8，計(jì)算小波變換系數(shù)，繪制隨著 a 的變化過程，見圖 3。

圖3 本溪市年降水量距平序列時間尺度8年Morlet小波變換實(shí)部變化過程圖

圖3 給出了8年時間尺度小波變換系數(shù)的變化過程，可以看出，1981—1982，1985—1992，1995—1999 年位于正相位，降水偏多。而 1976—1980，1983—1984，1993—1994，2000—2009 年位于負(fù)相位，降水偏少。同時表明，不同尺度下的干濕交替變化不同，干濕變化與時間尺度大小的緊密聯(lián)系。

3 結(jié)語

通過對本溪市 1965—2012 年共 48 年的年降水量 Morlet 小波變換分析可知：本溪市年降水量具有 8～13 年的周期?？梢娦〔ǚ治鲎鳛閿?shù)學(xué)工具不僅實(shí)用而且具有時頻局部化特性，可以利用這種時頻窗口變化特性來展現(xiàn)水文要素時間序列的精細(xì)結(jié)構(gòu)，成為分析其多時間尺度變化及分布的一種途徑，在中長期水文預(yù)報中具有很大的應(yīng)用潛力。

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