概率中“等量代換”方法的運(yùn)用

李志紅　徐彩剛

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)概率的時(shí)候常對(duì)“研究的個(gè)體有無區(qū)別”，以及“取出個(gè)體時(shí)講不講順序”感到困惑. 本文給出了一種較好的處理思路.

概率是高中數(shù)學(xué)中比較難的部分，對(duì)學(xué)生的分析能力，尤其是分類、分步安排事情的能力要求很高. 可以說概率學(xué)好了，那么學(xué)生的分析能力就能上一個(gè)新臺(tái)階.

高中階段的常見的概率問題之一是古典概型——即等可能性事件發(fā)生的概率. 這類題型的求解過程中有兩個(gè)重要部分：求一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果數(shù)目n，以及求某個(gè)事件A包含的結(jié)果數(shù)目m，很多都要涉及排列、組合知識(shí).

因?yàn)榕帕信c組合的定義里都強(qiáng)調(diào)“不同元素”，所以在求m，n的過程中常常會(huì)遇到這樣一個(gè)問題：我們要研究的個(gè)體是有區(qū)別的還是無區(qū)別的？如果有區(qū)別，那么在求m，n時(shí)我們才可以把它當(dāng)作排列與組合的問題來處理，否則就不能夠這樣做.

因此，個(gè)體間有無區(qū)別是我們解題之前必須判斷的一個(gè)重要問題.

例1 一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同. 現(xiàn)從袋中任意摸出5個(gè)球，用X表示摸出紅球的個(gè)數(shù). 求P（X=3）.

題目中明確指出“這些球除顏色外完全相同”，但是以上解答過程中用了組合，可以看出答案是把這些球當(dāng)作有區(qū)別來計(jì)算的.

為什么這樣？有什么道理在里面么？

現(xiàn)在如果要算出P（B）的話該怎么算呢？雖然同色乒乓球之間已經(jīng)不再能區(qū)別開，但我們可以把他們當(dāng)成有區(qū)別來計(jì)算，也就是只要求出P（A），問題就解決了.

這里的分析過程中我們就運(yùn)用了等量代換的方法.

那么一般地，如果遇到一個(gè)題目，不知道個(gè)體間有沒有區(qū)別，那么我們就這樣處理：

第一步，假設(shè)題目中的個(gè)體都是有區(qū)別的，判斷一下題目結(jié)果會(huì)不會(huì)改變.

第二步，如果結(jié)果不變，那么就把他們當(dāng)成有區(qū)別來計(jì)算就可以了.

另外，概率計(jì)算時(shí)有些題目中個(gè)體抽取講不講順序也會(huì)給人帶來困擾. 特別是有些題目沒說清楚時(shí)，有些人會(huì)覺得題目表達(dá)有歧義沒法做，或者費(fèi)盡心思琢磨每一個(gè)文字以從中找到講順序或不講順序的確切證據(jù). 卻不知，有部分題目講不講順序并不影響結(jié)果，沒必要區(qū)分. 兩者是等價(jià)的！

例2 有五個(gè)紙團(tuán)里面分別寫了2，3，4，5，6，任抽取兩張，求其和為奇數(shù)的概率.

“任抽取兩張”，講順序嗎？題目沒說，但經(jīng)過分析我們可以看出講不講順序都行.

這樣設(shè)想：讓A，B兩學(xué)生一起來做實(shí)驗(yàn)，A學(xué)生按順序取出兩個(gè)紙團(tuán)并求出數(shù)字之和，然后將兩個(gè)紙團(tuán)打亂順序交給B學(xué)生，再次求出數(shù)字之和.

這類可有可無的順序問題，在實(shí)際求m，n時(shí)要么都講順序，要么都不講順序，不求“明察秋毫”，但求“標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一”.

從以上的分析可以看出，有些概率問題中個(gè)體有無區(qū)別并不影響結(jié)果，抽取講不講順序也不影響結(jié)果，在兩者等價(jià)的前提下可以“等量代換”.endprint

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)概率的時(shí)候常對(duì)“研究的個(gè)體有無區(qū)別”，以及“取出個(gè)體時(shí)講不講順序”感到困惑. 本文給出了一種較好的處理思路.

概率是高中數(shù)學(xué)中比較難的部分，對(duì)學(xué)生的分析能力，尤其是分類、分步安排事情的能力要求很高. 可以說概率學(xué)好了，那么學(xué)生的分析能力就能上一個(gè)新臺(tái)階.

高中階段的常見的概率問題之一是古典概型——即等可能性事件發(fā)生的概率. 這類題型的求解過程中有兩個(gè)重要部分：求一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果數(shù)目n，以及求某個(gè)事件A包含的結(jié)果數(shù)目m，很多都要涉及排列、組合知識(shí).

因?yàn)榕帕信c組合的定義里都強(qiáng)調(diào)“不同元素”，所以在求m，n的過程中常常會(huì)遇到這樣一個(gè)問題：我們要研究的個(gè)體是有區(qū)別的還是無區(qū)別的？如果有區(qū)別，那么在求m，n時(shí)我們才可以把它當(dāng)作排列與組合的問題來處理，否則就不能夠這樣做.

因此，個(gè)體間有無區(qū)別是我們解題之前必須判斷的一個(gè)重要問題.

例1 一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同. 現(xiàn)從袋中任意摸出5個(gè)球，用X表示摸出紅球的個(gè)數(shù). 求P（X=3）.

題目中明確指出“這些球除顏色外完全相同”，但是以上解答過程中用了組合，可以看出答案是把這些球當(dāng)作有區(qū)別來計(jì)算的.

為什么這樣？有什么道理在里面么？

現(xiàn)在如果要算出P（B）的話該怎么算呢？雖然同色乒乓球之間已經(jīng)不再能區(qū)別開，但我們可以把他們當(dāng)成有區(qū)別來計(jì)算，也就是只要求出P（A），問題就解決了.

這里的分析過程中我們就運(yùn)用了等量代換的方法.

那么一般地，如果遇到一個(gè)題目，不知道個(gè)體間有沒有區(qū)別，那么我們就這樣處理：

第一步，假設(shè)題目中的個(gè)體都是有區(qū)別的，判斷一下題目結(jié)果會(huì)不會(huì)改變.

第二步，如果結(jié)果不變，那么就把他們當(dāng)成有區(qū)別來計(jì)算就可以了.

另外，概率計(jì)算時(shí)有些題目中個(gè)體抽取講不講順序也會(huì)給人帶來困擾. 特別是有些題目沒說清楚時(shí)，有些人會(huì)覺得題目表達(dá)有歧義沒法做，或者費(fèi)盡心思琢磨每一個(gè)文字以從中找到講順序或不講順序的確切證據(jù). 卻不知，有部分題目講不講順序并不影響結(jié)果，沒必要區(qū)分. 兩者是等價(jià)的！

例2 有五個(gè)紙團(tuán)里面分別寫了2，3，4，5，6，任抽取兩張，求其和為奇數(shù)的概率.

“任抽取兩張”，講順序嗎？題目沒說，但經(jīng)過分析我們可以看出講不講順序都行.

這樣設(shè)想：讓A，B兩學(xué)生一起來做實(shí)驗(yàn)，A學(xué)生按順序取出兩個(gè)紙團(tuán)并求出數(shù)字之和，然后將兩個(gè)紙團(tuán)打亂順序交給B學(xué)生，再次求出數(shù)字之和.

這類可有可無的順序問題，在實(shí)際求m，n時(shí)要么都講順序，要么都不講順序，不求“明察秋毫”，但求“標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一”.

從以上的分析可以看出，有些概率問題中個(gè)體有無區(qū)別并不影響結(jié)果，抽取講不講順序也不影響結(jié)果，在兩者等價(jià)的前提下可以“等量代換”.endprint

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)概率的時(shí)候常對(duì)“研究的個(gè)體有無區(qū)別”，以及“取出個(gè)體時(shí)講不講順序”感到困惑. 本文給出了一種較好的處理思路.

概率是高中數(shù)學(xué)中比較難的部分，對(duì)學(xué)生的分析能力，尤其是分類、分步安排事情的能力要求很高. 可以說概率學(xué)好了，那么學(xué)生的分析能力就能上一個(gè)新臺(tái)階.

高中階段的常見的概率問題之一是古典概型——即等可能性事件發(fā)生的概率. 這類題型的求解過程中有兩個(gè)重要部分：求一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果數(shù)目n，以及求某個(gè)事件A包含的結(jié)果數(shù)目m，很多都要涉及排列、組合知識(shí).

因?yàn)榕帕信c組合的定義里都強(qiáng)調(diào)“不同元素”，所以在求m，n的過程中常常會(huì)遇到這樣一個(gè)問題：我們要研究的個(gè)體是有區(qū)別的還是無區(qū)別的？如果有區(qū)別，那么在求m，n時(shí)我們才可以把它當(dāng)作排列與組合的問題來處理，否則就不能夠這樣做.

因此，個(gè)體間有無區(qū)別是我們解題之前必須判斷的一個(gè)重要問題.

例1 一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同. 現(xiàn)從袋中任意摸出5個(gè)球，用X表示摸出紅球的個(gè)數(shù). 求P（X=3）.

題目中明確指出“這些球除顏色外完全相同”，但是以上解答過程中用了組合，可以看出答案是把這些球當(dāng)作有區(qū)別來計(jì)算的.

為什么這樣？有什么道理在里面么？

現(xiàn)在如果要算出P（B）的話該怎么算呢？雖然同色乒乓球之間已經(jīng)不再能區(qū)別開，但我們可以把他們當(dāng)成有區(qū)別來計(jì)算，也就是只要求出P（A），問題就解決了.

這里的分析過程中我們就運(yùn)用了等量代換的方法.

那么一般地，如果遇到一個(gè)題目，不知道個(gè)體間有沒有區(qū)別，那么我們就這樣處理：

第一步，假設(shè)題目中的個(gè)體都是有區(qū)別的，判斷一下題目結(jié)果會(huì)不會(huì)改變.

第二步，如果結(jié)果不變，那么就把他們當(dāng)成有區(qū)別來計(jì)算就可以了.

另外，概率計(jì)算時(shí)有些題目中個(gè)體抽取講不講順序也會(huì)給人帶來困擾. 特別是有些題目沒說清楚時(shí)，有些人會(huì)覺得題目表達(dá)有歧義沒法做，或者費(fèi)盡心思琢磨每一個(gè)文字以從中找到講順序或不講順序的確切證據(jù). 卻不知，有部分題目講不講順序并不影響結(jié)果，沒必要區(qū)分. 兩者是等價(jià)的！

例2 有五個(gè)紙團(tuán)里面分別寫了2，3，4，5，6，任抽取兩張，求其和為奇數(shù)的概率.

“任抽取兩張”，講順序嗎？題目沒說，但經(jīng)過分析我們可以看出講不講順序都行.

這樣設(shè)想：讓A，B兩學(xué)生一起來做實(shí)驗(yàn)，A學(xué)生按順序取出兩個(gè)紙團(tuán)并求出數(shù)字之和，然后將兩個(gè)紙團(tuán)打亂順序交給B學(xué)生，再次求出數(shù)字之和.

這類可有可無的順序問題，在實(shí)際求m，n時(shí)要么都講順序，要么都不講順序，不求“明察秋毫”，但求“標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一”.

從以上的分析可以看出，有些概率問題中個(gè)體有無區(qū)別并不影響結(jié)果，抽取講不講順序也不影響結(jié)果，在兩者等價(jià)的前提下可以“等量代換”.endprint