利用邊界元法計(jì)算陰極保護(hù)電位分布

黃魯星 勝利油田油氣集輸總廠

利用邊界元法計(jì)算陰極保護(hù)電位分布

黃魯星 勝利油田油氣集輸總廠

隨著計(jì)算機(jī)以及數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，利用數(shù)值模擬來(lái)獲得陰極保護(hù)電位的分布逐步受到人們的重視。埋地管道陰極保護(hù)電位的邊界元計(jì)算過(guò)程為：物理模型建立→數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)→邊界條件的確定→邊界元算法離散→編程求解。對(duì)于埋地管道陰極保護(hù)電位分布的求解，通過(guò)建立物理模型，利用相應(yīng)邊界條件及邊界元算法推導(dǎo)出了數(shù)學(xué)模型；采用管單元對(duì)邊界進(jìn)行離散，從而實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)編程求解。當(dāng)遇到管道沿線土壤介質(zhì)不均勻以及管道出現(xiàn)拐點(diǎn)的地方，可利用本文提出的方法作相應(yīng)的處理。

陰極保護(hù)；電位分布；邊界元；模型

在陰極保護(hù)工程中，電位是監(jiān)視和控制陰極保護(hù)效果的一項(xiàng)重要指標(biāo)，掌握被保護(hù)體表面的陰極保護(hù)電位分布對(duì)于防腐控制很有意義。在傳統(tǒng)陰極保護(hù)工程中，陰極保護(hù)電位大都是采用實(shí)際測(cè)量或經(jīng)驗(yàn)估算的方法來(lái)獲得。但對(duì)于海底管道、海洋平臺(tái)、大罐罐底等保護(hù)結(jié)構(gòu)，實(shí)地測(cè)量的難度很大，而經(jīng)驗(yàn)估算的方法所得結(jié)果的誤差很大，因此傳統(tǒng)的方法已經(jīng)難以滿足現(xiàn)代陰極保護(hù)安全性的要求。隨著計(jì)算機(jī)以及數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，利用數(shù)值模擬來(lái)獲得陰極保護(hù)電位的分布逐步受到人們的重視。

埋地管道陰極保護(hù)電位的邊界元計(jì)算過(guò)程為：物理模型建立→數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)→邊界條件的確定→邊界元算法離散→編程求解。

1 物理模型的建立

外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)的物理模型如圖1所示。由于時(shí)間、試驗(yàn)條件等因素的限制，對(duì)所研究的問(wèn)題作了一些簡(jiǎn)化[1]：①管道沿線土壤介質(zhì)為均一介質(zhì)；②被保護(hù)金屬表面極化行為不瞬時(shí)改變；③電位場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)場(chǎng)；④電流通過(guò)土壤時(shí)，遵循歐姆定律；⑤輔助陽(yáng)極可以看成是集中點(diǎn)源，輸出電流恒定。

以上的簡(jiǎn)化假設(shè)條件，對(duì)于無(wú)限大土壤區(qū)域以及長(zhǎng)時(shí)間的陰極保護(hù)情況，②、③、④、⑤的假設(shè)是基本滿足的。對(duì)于①的假設(shè)，當(dāng)埋地管道是在區(qū)域站場(chǎng)內(nèi)的時(shí)候，可以認(rèn)為土壤介質(zhì)均一；但是對(duì)于長(zhǎng)輸管道沿線經(jīng)過(guò)的地理環(huán)境差異很大的情況，土壤介質(zhì)則不能看作是均一的介質(zhì)，此時(shí)應(yīng)采用分塊處理，即將管道沿線經(jīng)過(guò)的土壤區(qū)域分割成若干塊，認(rèn)為每一塊的土壤介質(zhì)是均一的，并且在相鄰兩塊土壤介質(zhì)的交界面上增加相應(yīng)的連續(xù)性條件。

圖1 陰極保護(hù)電位分布的物理模型

認(rèn)為在交界面處通過(guò)的法向電流密度相等，即

2 數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)及邊界條件的確定

經(jīng)分析推導(dǎo)，得出含點(diǎn)源的土壤中的電位滿足Poission方程[2]為

對(duì)于式（2）所對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題的設(shè)置如圖2所示，其中Γb為管道表面，Γd為土壤與大氣的交界面，?！逓樘摴谇蜻吔?。

圖2所示的邊界條件可以做如下設(shè)置：

在邊界?！奚?，由于所示區(qū)域?yàn)榘霟o(wú)限大區(qū)域，故邊界?！奚系碾娢粸榱悖ㄏ嚯娏髅芏纫矠榱?。

圖2 邊值問(wèn)題示意

在邊界Γd上，由于空氣的電阻率趨于無(wú)限大，外加陽(yáng)極電流不能通過(guò)土壤介質(zhì)流入空氣介質(zhì)，只能沿著地表流動(dòng)，故可以把這個(gè)面當(dāng)做絕緣面來(lái)處理，通過(guò)該表面的法相電流密度為零[3]。

在陰極邊界Γb上，一般選用實(shí)際測(cè)量的陰極極化曲線。

綜上可得埋地管道陰極保護(hù)電位分布數(shù)學(xué)模型為

3 邊界元算法離散

邊界單元的選取有三角形、四邊形以及柱面單元等。若選擇三角形或四邊形單元，那么形成的節(jié)點(diǎn)會(huì)很多，離散成方程的時(shí)候，方程的個(gè)數(shù)會(huì)很多，給求解帶來(lái)很大的不便。而柱面單元的選取則會(huì)大大降低節(jié)點(diǎn)和方程的個(gè)數(shù)，因此下面選擇柱面單元加以介紹。

采用管單元法的前提條件是[4]：①被保護(hù)體的幾何形狀適宜進(jìn)行柱面單元剖分；②同一柱面單元截口線上的電位可視為基本相同。

用上述的管單元離散邊界，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的BEM公式，通過(guò)積分變化得到各單元的系數(shù)矩陣如下

以上兩式中，i≠j。K(k)是第一類完全橢圓積分，E(k)是第二類完全橢圓積分，在Matlab中直接調(diào)用即可；J、B是坐標(biāo)變換的結(jié)果；t為局部坐標(biāo)；Zrn為管的最后節(jié)點(diǎn)的第三坐標(biāo)。

最后對(duì)式（7）、（8）進(jìn)行數(shù)值積分，對(duì)上述問(wèn)題所得的標(biāo)準(zhǔn)BEM系統(tǒng)結(jié)果是

4 拐點(diǎn)的處理

對(duì)于常單元，由于單元內(nèi)u和q為常數(shù)，沒(méi)有角點(diǎn)的問(wèn)題，但是對(duì)于線性單元、二次單元和高次單元來(lái)說(shuō)，角點(diǎn)問(wèn)題必須處理，否則在拐點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，下面討論幾種具體的處理方法。

（1）雙角節(jié)點(diǎn)法。當(dāng)角點(diǎn)為兩個(gè)邊界單元節(jié)點(diǎn)時(shí)，可以在該角點(diǎn)的兩側(cè)，離角點(diǎn)非常近的位置取兩點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)。由于這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)分別屬于不同的單元，因此節(jié)點(diǎn)上的邊界可以認(rèn)為是光滑的，這種方法簡(jiǎn)單實(shí)用，經(jīng)常被采用。

（2）非協(xié)調(diào)單元法。非協(xié)調(diào)單元法即單元邊界的兩個(gè)端點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)不一致，這種方法實(shí)際是在單元上進(jìn)行線性插值，取邊界單元的1/4處和3/4處為節(jié)點(diǎn)，這樣節(jié)點(diǎn)必定在光滑邊界上，在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象。

（3）二重節(jié)點(diǎn)法。二重節(jié)點(diǎn)法即是在角點(diǎn)上配置兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有相同的坐標(biāo)，但它們分別屬于兩個(gè)不同的單元，函數(shù)值相同但是導(dǎo)數(shù)值不同。在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上建立邊界積分方程時(shí)，要附加兩節(jié)點(diǎn)函數(shù)值相同的邊界條件。

5 結(jié)論

對(duì)于埋地管道陰極保護(hù)電位分布的求解，通過(guò)建立物理模型，利用相應(yīng)邊界條件及邊界元算法推導(dǎo)出了數(shù)學(xué)模型；采用管單元對(duì)邊界進(jìn)行離散，從而實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)編程求解。當(dāng)遇到管道沿線土壤介質(zhì)不均勻以及管道出現(xiàn)拐點(diǎn)的地方，可利用本文提出的方法作相應(yīng)的處理。

[1]梁成浩，袁傳軍，黃乃寶．邊界元法計(jì)算凍土層管道陰極保護(hù)時(shí)的電位分布[J]．大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，11（4）：109-112.

[2]吳洪潭．邊界元法在傳熱學(xué)中的應(yīng)用[M]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008.

[3]郝紅娜，李自力，王太源，等．陰極保護(hù)數(shù)值模擬計(jì)算邊界條件的確定[J]．油氣儲(chǔ)運(yùn)，2011，30（7）：504-507.

[4]孟憲級(jí)，吳中元，梁旭巍，等．區(qū)域性陰極保護(hù)數(shù)學(xué)模型算法的改進(jìn)[J]．中國(guó)腐蝕與防護(hù)學(xué)報(bào)，1998（9）：221-226.

（欄目主持楊軍）

10.3969/j.issn.1006-6896.2014.5.015