“線段公理”在求線段和差最值問題中的應用

在幾何問題中，有一類求動態(tài)中的線段和或差的最值問題，它一般不只是單純的線段數(shù)量的運算，往往要通過構造“兩點間的線段”的基本圖形，利用“兩點之間，線段最短”這一公理來獲得最值問題的解決。形象地體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要數(shù)學思想，充分展現(xiàn)了以形助數(shù)的思想方法，培養(yǎng)了學生數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力，所以受到關注與青睞，在各省的中考中也漸漸有所體現(xiàn)。而如何構造“兩點間的線段”是解決問題的關鍵。本文就此舉例歸納，望對廣大學生有所啟示與幫助。

知識回放：人教版實驗教科書八上，第十二章軸對稱中的探究問題（P42）：要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所有的輸氣管線最短？

圖1分析：如圖1，作點B關于管道的對稱點B′，連接AB′，交管道于點C，即是泵站所在點。而AC′+C′B=AC′+C′B′>AB′（兩點之間，線段最短）；

通過“對稱”及構建“兩點間的線段”基本圖形，將動態(tài)變化中的線段AC或BC轉(zhuǎn)換，達到變化過程中的極限狀態(tài)，得到最小值即“兩點間的距離”。

兩個關鍵點：（1）找準對稱軸。動點所在的管線即為對稱軸。（2）同側(cè)化異側(cè)。同側(cè)的兩個點，通過作對稱點，轉(zhuǎn)化為對稱軸異側(cè)的兩個點，連線即與對稱軸相交，交點即是所求。

1兩點在同側(cè)

1。1一條對稱軸

圖2例1如圖2，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，E為AB中點，連接AC，在AC上找一點P，使得PE+PB為最短，并求出這最短值。

解析（1）點P是AC上的動點，則AC所在直線是對稱軸。

（2）點B、E在AC同側(cè)，因此要轉(zhuǎn)化成異側(cè)。很顯然，根據(jù)圖形的性質(zhì)，找點B比較方便，點B、D關于AC對稱。

連接DE，交AC于點P，易證△ABD為等邊三角形，可得DE=3，則PE+PB的最小值為3。

點評在軸對稱圖形中，本身含有對稱的性質(zhì)，其中的一個點的對稱點已經(jīng)存在，從而構成兩點在異側(cè)的情境，連接后就與對稱軸有交點。

1。2兩條對稱軸

人教版八上習題P47：將軍馬飲問題。如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

圖3解析如圖3，動點有兩處：草地與河邊，因此關鍵之一就是確定有兩條對稱軸。關鍵二：A、B兩點化異側(cè)。作點A關于草地邊的對稱點A′，B關于河邊對稱點B′，這樣，A′、B′兩點在對稱軸的兩側(cè)，連接A′B′，得兩交點E、F，即是所求位置。取任意兩點C、D，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，

AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′；AC+CD+DB=A′C+CD+DB′>A′B′。

點評有兩個動點時，那么動點所在的兩條直線就為兩條對稱軸，再將兩定點作關于兩對稱軸的對稱點，分置于對稱軸兩側(cè)，再連接，構建“兩點間的線段”這一基本圖形，通過對稱轉(zhuǎn)換，將三條動態(tài)線段重新拼接在一起，利用“兩點之間線段最短”實現(xiàn)“化折為直”，即得最短路線。

圖4例2（2011深圳中考）如圖4，拋物線y=ax2+bx+c（c≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）。

（1）求此拋物線的解析式。

（2）過A點的直線與拋物線交于E點，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線對稱軸，點G為直線PQ上的動點，則x軸上是否存在點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小，若存在，求出這個最小值。

解析（1）易求得解析式y(tǒng)=-（x-1）2+4.

（2）有G、H兩個動點，因此就確定有直線PQ和x軸兩條對稱軸，由題意知點D、E關于直線PQ對稱；那么只需作點F關于x軸的對稱點F′，將兩動點放置對稱軸兩側(cè)，連接EF′，交PQ于G，交x軸于H，則DG+GH+HF=EF′，此時D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小。

解由y=-（x-1）2+4可得E（2，3），A（-1，0），D（0，3）.

求得直線AE解析式為y=x+1，知F（0，1）.

則F′（0，-1），EF′=22+（3+1）2=25，所以D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小=25+2。

2兩點在異側(cè)

2。1直接連接

例3如圖5，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，已知AB=5，BD=8，DE=1，設CD=x。

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；

（2）點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小？

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結論，請構圖求出代數(shù)式x2+4+（12-x）2+9的最小值。

解析（1）AC+CE=25+（8-x）2+1+x2。

（2）連接AE，交BD于點C。

構建圖6，得AE=62+82=10，

由△EDC∽△AFE得ED1AF=CD1EF116=x18x=413。

因此，點C距離D點413處時，AC+CE的值最小，最小值為10。

（3）構建如圖7：

x2+4+（12-x）2+9的最小值是AE，可求得AE=52+122=13.

圖5圖6圖7點評構建直角三角形，利用勾股定理，將純數(shù)的運算，轉(zhuǎn)化為圖形中邊長的長度運算，化“折”為“直”，避免了復雜繁瑣而不得法的計算，巧妙而完美地展現(xiàn)了數(shù)形結合這種“以形助數(shù)”的思想方法的魅力。

2。2平移后連接

造橋選址問題：如圖8，河兩側(cè)有兩村莊A、B，要建一座橋EF，應選在河的什么位置，使得從A村到B村的路線最短。endprint

圖8解析由于河寬（橋長）固定，因此，只要求出AE+FB最短即可。如圖將點A沿平行于EF的方向平移EF長度至點A′，連接A′B，得交點F，由平行四邊形AEFA′知AE+FB=A′B。

點評：當兩點間有一段固定的距離時，利用平移可將這距離“壓縮為零”，再連接構建“兩點間的線段”這一圖形。再如：圖9和圖10.

圖9圖10圖113兩點在同側(cè)，且有固定距離

如圖11，線段MN在直線a上移動，且MN=3，點A、B在直線同側(cè)，點M、N運動到何位置時，四邊形ABNM的周長最?。?/p>

解析AB與MN的長度確定，只需求出AM+BN的最小長度即可，①作點A關于直線a的對稱點A′，使得A′、B點在異側(cè)。②沿平行于NM方向，將點B平移NM個長度至B′，連接A′B′，交點即為M，則AM+BN=A′B′，此時四邊形ABNM的周長最小。

例4（2010年天津中考）如圖12，在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點。

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標。

圖12圖13解析作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，連接DE。DE+CE=CD′，此時△CDE的周長最小。

因為OE∥BC，

所以Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有OE1BC=D′O1D′B，

所以OE=3×216=1，所以點E的坐標為（1，0）。

（2）如圖13，若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。

解析CD與EF長度已確定，只需求出DE+CF的最短長度。先作點D關于x軸的對稱點D′，將點D′與點C置于x軸異側(cè)，再將點C沿CB方向平移EF個長度至C′，將固定距離EF壓縮為0，連接D′C′構建“兩點間的線段”，交x軸于E點，則DE+CF=D′C′，此時的四邊形CDEF的周長最小。

4問題的拓展延伸

線段差值問題：“兩點之間線段最短”適用于求線段和最短的問題，而有些問題涉及到線段之差時，需換角度思考，但“以形助數(shù)”的思想不變。

例5如圖14，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則|PA-AB|的最大值等于。

解析三角形的三邊具有“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的性質(zhì)。因此有，PA-PB

圖14圖15解如圖15，作BE⊥AC于E，得BE=DC=4，AE=8-5=3，則AB=42+52=5，所以|PA-AB|的最大值等于5。

數(shù)學是研究數(shù)與形的學科，數(shù)形結合，將兩者完美結合才是達到數(shù)學的最高境界。本文依托“線段公理”，通過“對稱”性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段，把數(shù)的問題通過構建“兩點間的線段”的基本圖形，使之形象化、直觀化，把看似沒有頭緒的問題轉(zhuǎn)化為通俗易懂的公理，變動為靜，化折為直。

以上例題，在各種圖形的各種動態(tài)變化過程中，考查了學生的三角形、特殊平行四邊形、圓、拋物線等許多重要知識，加強了學生的數(shù)學綜合能力，同時也發(fā)展培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維能力。掌握這種數(shù)學思想方法，遇到類似動態(tài)問題就會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，易如反掌地解決線段和差問題。

作者簡介白新慧，女，1973年生，曾獲優(yōu)秀班主任、優(yōu)秀教師、優(yōu)秀共產(chǎn)黨黨員光榮稱號。從事數(shù)學教學多年，積累了一些經(jīng)驗，發(fā)表論文多篇。

圖8解析由于河寬（橋長）固定，因此，只要求出AE+FB最短即可。如圖將點A沿平行于EF的方向平移EF長度至點A′，連接A′B，得交點F，由平行四邊形AEFA′知AE+FB=A′B。

點評：當兩點間有一段固定的距離時，利用平移可將這距離“壓縮為零”，再連接構建“兩點間的線段”這一圖形。再如：圖9和圖10.

圖9圖10圖113兩點在同側(cè)，且有固定距離

如圖11，線段MN在直線a上移動，且MN=3，點A、B在直線同側(cè)，點M、N運動到何位置時，四邊形ABNM的周長最??？

解析AB與MN的長度確定，只需求出AM+BN的最小長度即可，①作點A關于直線a的對稱點A′，使得A′、B點在異側(cè)。②沿平行于NM方向，將點B平移NM個長度至B′，連接A′B′，交點即為M，則AM+BN=A′B′，此時四邊形ABNM的周長最小。

例4（2010年天津中考）如圖12，在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點。

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標。

圖12圖13解析作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，連接DE。DE+CE=CD′，此時△CDE的周長最小。

因為OE∥BC，

所以Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有OE1BC=D′O1D′B，

所以OE=3×216=1，所以點E的坐標為（1，0）。

（2）如圖13，若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。

解析CD與EF長度已確定，只需求出DE+CF的最短長度。先作點D關于x軸的對稱點D′，將點D′與點C置于x軸異側(cè)，再將點C沿CB方向平移EF個長度至C′，將固定距離EF壓縮為0，連接D′C′構建“兩點間的線段”，交x軸于E點，則DE+CF=D′C′，此時的四邊形CDEF的周長最小。

4問題的拓展延伸

線段差值問題：“兩點之間線段最短”適用于求線段和最短的問題，而有些問題涉及到線段之差時，需換角度思考，但“以形助數(shù)”的思想不變。

例5如圖14，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則|PA-AB|的最大值等于。

解析三角形的三邊具有“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的性質(zhì)。因此有，PA-PB

圖14圖15解如圖15，作BE⊥AC于E，得BE=DC=4，AE=8-5=3，則AB=42+52=5，所以|PA-AB|的最大值等于5。

數(shù)學是研究數(shù)與形的學科，數(shù)形結合，將兩者完美結合才是達到數(shù)學的最高境界。本文依托“線段公理”，通過“對稱”性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段，把數(shù)的問題通過構建“兩點間的線段”的基本圖形，使之形象化、直觀化，把看似沒有頭緒的問題轉(zhuǎn)化為通俗易懂的公理，變動為靜，化折為直。

以上例題，在各種圖形的各種動態(tài)變化過程中，考查了學生的三角形、特殊平行四邊形、圓、拋物線等許多重要知識，加強了學生的數(shù)學綜合能力，同時也發(fā)展培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維能力。掌握這種數(shù)學思想方法，遇到類似動態(tài)問題就會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，易如反掌地解決線段和差問題。

作者簡介白新慧，女，1973年生，曾獲優(yōu)秀班主任、優(yōu)秀教師、優(yōu)秀共產(chǎn)黨黨員光榮稱號。從事數(shù)學教學多年，積累了一些經(jīng)驗，發(fā)表論文多篇。

圖8解析由于河寬（橋長）固定，因此，只要求出AE+FB最短即可。如圖將點A沿平行于EF的方向平移EF長度至點A′，連接A′B，得交點F，由平行四邊形AEFA′知AE+FB=A′B。

點評：當兩點間有一段固定的距離時，利用平移可將這距離“壓縮為零”，再連接構建“兩點間的線段”這一圖形。再如：圖9和圖10.

圖9圖10圖113兩點在同側(cè)，且有固定距離

如圖11，線段MN在直線a上移動，且MN=3，點A、B在直線同側(cè)，點M、N運動到何位置時，四邊形ABNM的周長最小？

解析AB與MN的長度確定，只需求出AM+BN的最小長度即可，①作點A關于直線a的對稱點A′，使得A′、B點在異側(cè)。②沿平行于NM方向，將點B平移NM個長度至B′，連接A′B′，交點即為M，則AM+BN=A′B′，此時四邊形ABNM的周長最小。

例4（2010年天津中考）如圖12，在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點。

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標。

圖12圖13解析作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，連接DE。DE+CE=CD′，此時△CDE的周長最小。

因為OE∥BC，

所以Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有OE1BC=D′O1D′B，

所以OE=3×216=1，所以點E的坐標為（1，0）。

（2）如圖13，若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。

解析CD與EF長度已確定，只需求出DE+CF的最短長度。先作點D關于x軸的對稱點D′，將點D′與點C置于x軸異側(cè)，再將點C沿CB方向平移EF個長度至C′，將固定距離EF壓縮為0，連接D′C′構建“兩點間的線段”，交x軸于E點，則DE+CF=D′C′，此時的四邊形CDEF的周長最小。

4問題的拓展延伸

線段差值問題：“兩點之間線段最短”適用于求線段和最短的問題，而有些問題涉及到線段之差時，需換角度思考，但“以形助數(shù)”的思想不變。

例5如圖14，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則|PA-AB|的最大值等于。

解析三角形的三邊具有“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的性質(zhì)。因此有，PA-PB

圖14圖15解如圖15，作BE⊥AC于E，得BE=DC=4，AE=8-5=3，則AB=42+52=5，所以|PA-AB|的最大值等于5。

數(shù)學是研究數(shù)與形的學科，數(shù)形結合，將兩者完美結合才是達到數(shù)學的最高境界。本文依托“線段公理”，通過“對稱”性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段，把數(shù)的問題通過構建“兩點間的線段”的基本圖形，使之形象化、直觀化，把看似沒有頭緒的問題轉(zhuǎn)化為通俗易懂的公理，變動為靜，化折為直。

以上例題，在各種圖形的各種動態(tài)變化過程中，考查了學生的三角形、特殊平行四邊形、圓、拋物線等許多重要知識，加強了學生的數(shù)學綜合能力，同時也發(fā)展培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維能力。掌握這種數(shù)學思想方法，遇到類似動態(tài)問題就會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，易如反掌地解決線段和差問題。

作者簡介白新慧，女，1973年生，曾獲優(yōu)秀班主任、優(yōu)秀教師、優(yōu)秀共產(chǎn)黨黨員光榮稱號。從事數(shù)學教學多年，積累了一些經(jīng)驗，發(fā)表論文多篇。