廣義度量空間中反交換映射的公共不動點定理

沈云娟，陸 競，鄭慧慧

（杭州師范大學理學院，杭州310036）

1 引言和預備知識

1982年，Sessa［1］給出了弱交換映射對的概念，得到了弱交換映射的一些公共不動點定理.1986年，Jungck［2］提出了相容映射的概念，用以研究壓縮型映射的公共不動點問題.此后，人們使用上述概念獲得了許多有意義的公共不動點結(jié)果［3-6］.1998年，Jungck和Rhoades［7］推廣了相容映射的概念，給出了弱相容映射對的概念，借助弱相容映射的概念，人們獲得了許多有價值的公共不動點定理［7-9］.

定義1 （i）度量空間中（X，d）中的自映射對｛f，g｝稱為是弱交換的［1］，如果?x∈X，有d（ASx，SAx）≤d（Ax，Sx）.

（ii）度量空間（X，d）上的自映射對｛f，g｝稱為是相容的［2］，如果?｛xn｝?X，當limn→∞fxn＝limn→∞gxn＝t，t∈X時，有l(wèi)imn→∞d（fgxn，gfxn）＝0.

（iii）設(shè)｛f，g｝是集合X上的自映射對，如果fx＝gx，x∈X，有fgx＝gfx，則稱映射對｛f，g｝是弱相容的［7］.

顯然，可交換映射是弱交換的，弱交換映射是相容的，但反之不成立.

2002年，呂中學在度量空間中引入了反交換映射的概念，并舉例說明這個概念與上面提到的形式是不同的，因此討論反交換映射的公共不動點問題是有意義的［10］.2007年，胡新啟和劉啟寬討論了度量空間中映射在反交換條件下的公共不動點問題，給出了幾個新的公共不動點的存在性與唯一性結(jié)果［11］.

最近，李胃勝，孫建紅和王東明［12］以及史曉棠和谷峰［13］等人將上述度量空間中反交換映射的相應結(jié)果推廣至錐度量空間中.

2006年，Mustafa和Sims［14］引入了廣義度量空間的概念，此后，許多學者深入研究了廣義度量空間中的不動點問題，例如，可見文獻［15-20］.

定義2［14］設(shè)X是一非空集，G：X×X×X→R＋為一函數(shù)，且滿足以下條件：

（G1）G（x，y，z）＝0?x＝y(tǒng)＝z；

（G2）0＜G（x，x，y），?x，y∈X且x≠y；

（G3）G（x，x，y）≤G（x，y，z），?x，y，z∈X且z≠y；

（G4）G（x，y，z）＝G（x，z，y）＝G（y，z，x）＝…（三個變量的對稱性）和

（G5）G（x，y，z）≤G（x，a，a）＋G（a，y，z），?x，y，z，a∈X（矩形不等式）.

則稱函數(shù)G是X上的一個廣義度量，或稱G是X上的一個G-度量，并稱（X，G）為一個廣義度量空間或簡稱為G-度量空間.

此文在廣義度量空間的框架下，證明了反交換映射的兩個新的公共不動點定理，并給出了結(jié)果的一個有效性實例.值得指出的是，在此文的結(jié)果中，不需要空間的完備性，也不需要涉及到的映射是連續(xù)的.因而，此文的結(jié)果本質(zhì)的改進和發(fā)展了許多已知的相關(guān)結(jié)果.

定義3［10］設(shè)X是非空集合，f和g是X上的兩個自映射

（i）映射對｛f，g｝稱為是反交換的，如果fgx＝gfx?fx＝gx，x∈X.

（ii）稱t∈X是映射f和g的交換點，如果fgt＝gft.

注1 反交換映射不同于弱相容映射.弱相容映射在重合點可交換，而反交換映射是在交換點重合.

例1 設(shè)X＝｛1，2，3，4｝，映射f，g：X→X定義如下：

f1＝1，f2＝4，f3＝2，f4＝3，g1＝1，g2＝4，g3＝3，g4＝2，

顯然，映射對｛f，g｝是反交換的，但不是弱相容的.因為f和g在交換點x＝1重合，但是在重合點x＝2不是交換的.

例2 設(shè)X＝｛1，2，3，4，5｝，映射f，g：X→X定義如下：

f1＝1，f2＝5，f3＝4，f4＝3，f5＝5，g1＝1，g2＝3，g3＝3，g4＝2，g5＝4

顯然，映射對｛f，g｝是弱相容的，但不是反交換的.因為f和g在交換點x＝2不重合，但是在重合點x＝1可交換.

上述例子說明，反交換映射與弱相容映射是相互獨立的兩個概念.

注2 顯然，fx＝gx＝x?fgx＝gfx.因此如果f和g沒有交換點，則f和g沒有公共不動點.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)（X，G）是G-度量空間，映射｛f，g｝是X上的一對存在交換點的反交換映射，且對?x，y，z∈X，有以下不等式成立：

其中函數(shù)φ：R＋→R＋滿足0＜φ（t）＜t，?t＞0.則映射f和g有唯一公共不動點.

證明 設(shè)u是f和g的交換點，即fgu＝gfu，那么由反交換映射的定義可知，有fu＝gu，從而可推出ffu＝fgu＝gfu＝ggu.下面證明gu是g的不動點.事實上，假設(shè)ggu≠gu.由于

max｛G（fu，fgu，fgu），G（fu，ggu，ggu），G（fgu，ggu，ggu）｝＝G（gu，ggu，ggu）＞0.

在（1）中令x＝u，y＝z＝gu，并利用（G2）和φ的性質(zhì)，得

此為矛盾，故gu＝ggu，即gu是g的一個不動點.又因為fgu＝ggu＝gu，所以gu也是f的不動點，所以gu是f和g的公共不動點.

下面證明公共不動點的唯一性.設(shè)u，v是f和g的兩個公共不動點，并且u≠v，則有G（u，v，v）＞0，于是使用式（1）得

這是一個矛盾，所以u＝v.

例3 設(shè)X＝［0，1］，定義X上的G-度量如下：

G（x，y，z）＝｜x-y｜＋｜y-z｜＋｜z-x｜

則（X，G）是一個G-度量空間.定義函數(shù)X上 的映射f，g定義為

顯然函數(shù)φ滿足定理1 中φ的要求.易知映射f和g的交換點的全體是閉區(qū)間即對于?x∈都有fgx＝gfx，同時fx＝gx＝1，故映射f和g是反交換的.

下面分8種情況證明定理1中的條件（1）被滿足.

綜上，映射f和g滿足定理1的壓縮條件（1）.于是定理1的所有條件都滿足，顯然1是f和g的唯一公共不動點.

定理2 設(shè)（X，G）是一個G-度量空間，f1，f2，g1，g2，h1，h2：X→X是X上的6個自映射，并且映射對（f1，f2），（g1，g2）和（h1，h2）都是反交換映射，且都存在交換點.若對?x，y，z∈X，有

其中函數(shù)φ：R＋→R＋滿足0＜φ（t）＜t，?t＞0.則映射f1，f2，g1，g2，h1和h2有唯一公共不動點.

證明 設(shè)u，v，w分別是映射對（f1，f2），（g1，g2）和（h1，h2）的交換點，即

由于映射對（f1，f2），（g1，g2）和（h1，h2）都是反交換映射，因此

進而由式（3）（4）可得

下面證明f2u＝g2v＝h2w.事實上，利用式（4）可得

如果f2u≠g2v≠h2w，則在式（2）中取x＝u，y＝v，z＝w，并利用式（6）和函數(shù)φ的性質(zhì)，可得

這是一個矛盾，故必有f2u＝g2v＝h2w.

現(xiàn)在證明f2u是f2的不動點.假設(shè)f2f2u≠f2u，使用f2u＝g2v＝h2w和式（5），可得

在式（2）中令x＝f2u，y＝u，z＝w，并使用f2u＝g2v＝h2w得

G（f2f2u，f2u，f2u）＝G（f2f2u，g2v，h2w）≤φ（G（f2f2u，f2u，f2u））＜G（f2f2u，f2u，f2u）.

此為矛盾，故f2f2u＝f2u，即f2u是f2的不動點.類似的，可得g2g2v＝g2v，h2h2w＝h2w，即g2v是g2的不動點，h2w是h2的不動點.再由式（5）可得f1f2v＝f2f2v＝f2v，即f2v也是f1的不動點.類似的，g2u也是g1的不動點，h2w也是h1的不動點.綜上，可知t＝f2u＝g2v＝h2w是f1，f2，g1，g2，h1和h2的公共不動點.

現(xiàn)在，證明公共不動點的唯一性.設(shè)a，b是f1，f2，g1，g2，h1和h2的兩個公共不動點，且a≠b，則G（a，b，b）＞0.使用條件（2）和函數(shù)φ的性質(zhì)可得

這是一個矛盾，于是映射f1，f2，g1，g2，h1和h2的公共不動點唯一.

注3 在定理2中，如果?。海?）f1＝g1＝h1；（2）f2＝g2＝h2；（3）f1＝g1＝h1且f2＝g2＝h2；（4）f1＝g1＝h1＝I（I是恒等映射）.則可得到新的結(jié)果，限于篇幅在此略去.

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