一個新構(gòu)造混沌糾纏系統(tǒng)的動力學(xué)分析

楊 敏, 俞建寧, 張建剛, 安新磊, 杜文舉, 李耀偉

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

近年來,人們不僅力求深入分析非線性對系統(tǒng)動力學(xué)的影響,而且開始探索利用分岔、混沌等非線性現(xiàn)象造福人類,對創(chuàng)建新的混沌系統(tǒng)的需求明顯增加.目前,設(shè)計和建造新的人工混沌系統(tǒng)已經(jīng)成為一個活躍的話題[1-5].文獻(xiàn)[6]提出一個新的名詞混沌糾纏,它是一種新的產(chǎn)生混沌的方法，基本原理是通過糾纏函數(shù)糾纏兩個或多個穩(wěn)定的線性子系統(tǒng)來產(chǎn)生一個人造的混沌系統(tǒng).混沌糾纏提供了一個更簡單的方法來設(shè)計和構(gòu)建新的混沌吸引子.在實際中混沌糾纏可以被用來作為一個指導(dǎo)原則,以有效地構(gòu)造人工混沌系統(tǒng).

本文利用混沌糾纏的方法構(gòu)造出一個新的超混沌系統(tǒng),通過一系列動力學(xué)分析[7-9],驗證了這個系統(tǒng)是混沌的.

1 新混沌系統(tǒng)的構(gòu)造

通過一些非線性函數(shù)進(jìn)行糾纏時,如果兩個或多個線性子系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌行為,這種現(xiàn)象就叫混沌糾纏.其中非線性函數(shù)叫做糾纏函數(shù).

考慮兩個線性子系統(tǒng).一個是二維的,另一個是一維的,分別如下所示

(1)

(2)

其中(x,y,z)是狀態(tài)變量.當(dāng)a<0,c<0,兩個子系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

通過正弦函數(shù)糾纏(1)和(2)三個子系統(tǒng),我們就得到下面的系統(tǒng)

(3)

其中(a,b,c,d,e)是糾纏系數(shù),(sinx,siny,sinz)是糾纏函數(shù).

當(dāng)a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18時,系統(tǒng)(3)有一個混沌吸引子,如圖1所示.

圖1 當(dāng)a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18時系統(tǒng)(4)的相圖

2 新系統(tǒng)的混沌驗證

2.1 對稱性和不變性

2.2 耗散性與吸引子的存在

由于系統(tǒng)(3)的向量場散度

(4)

所以,當(dāng)a+b+d<0時系統(tǒng)(3)是耗散的,并且以指數(shù)形式收斂

即體積元V0在時刻t時收縮為體積元V0e(a+c-d)t,且當(dāng)t→∞時包含系統(tǒng)軌線的每個小體積元以指數(shù)率(a+c-d)收縮到零, 所有系統(tǒng)的軌線最終會被限制在一個體積為零的極限子集上，且漸近運動將被固定到一個吸引子上.

2.3 有界性分析

通常,如果一個系統(tǒng)是有界的,且有一個正Lyapunov指數(shù),那么這個系統(tǒng)是混沌的.

定理1 當(dāng)a<0,c<0時,系統(tǒng)(3)是有界的.

證明為了計算方便,我們將系統(tǒng)(3)寫成如下形式

其中,

定義V=XTX,于是有

XT(AT+A)X+2FTBTX≤

于是

Ω0={X|‖X‖=M},Ω1={X|‖X‖≤M}

當(dāng)‖X‖>M時，有

這表明系統(tǒng)(3)有界于Ω0.

2.4 平衡點的穩(wěn)定性

要分析新系統(tǒng)的動力學(xué)特性,首先是要找出它的平衡點,通常平衡點與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān).由于系統(tǒng)(3)是一個超越方程組,有很多個平衡點,通常,不容易找到其精確的解,所以這里只考慮一個平衡點E0=(0,0,0).

定理2[10]多項式L(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3(pi為實數(shù))的所有的根都有負(fù)實部的充分且必要條件為p1,p2,p3都為正數(shù),且滿足不等式p1p2>p3.

定理3 當(dāng)a<0,b<0,c<0,d>0,b+e>0,b2d+e3<0時，平衡點E0是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(3)在平衡點E0=(0，0，0)處的Jacobian矩陣為

可得系統(tǒng)(3)在E0=(0,0,0)處的Jacobian矩陣的特征多項式為

p(λ)=λ3+(d-a-c)λ2+

(ac-b2-ad-cd-be)λ+

acd-b2d-be2-bde-e3

(5)

根據(jù)引理2知,要使式(5)有負(fù)實部的特征根,即平衡點E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是不等式

(6)

成立.所以當(dāng)滿足條件(6)時,平衡點E0=(0,0,0)漸進(jìn)穩(wěn)定.

3 數(shù)值模擬

取參數(shù)a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18,計算得λ1=1.754358,λ2=0.001866,λ3=-6.756883.系統(tǒng)(3)有兩個大于零的Lyapunov指數(shù),所以系統(tǒng)(3)此時處于超混沌狀態(tài).圖2、3給出了系統(tǒng)(3)隨分岔參數(shù)e變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜.從圖2、3可以看出系統(tǒng)(3)隨分岔參數(shù)e變化運動的復(fù)雜性,隨著參數(shù)e的逐漸增大,系統(tǒng)(3)經(jīng)歷由一周期倍化為二周期,四周期,…,的倍周期分岔的運動形式,從穩(wěn)定的周期1軌道通過倍周期分岔的形式走向混沌.在混沌域內(nèi)夾雜著許多長度不同的周期窗口,在這些窗口中,有的發(fā)生了倍周期分岔,有的鑲嵌較寬的3周期窗口(圖4(a)),說明系統(tǒng)(3)的運動比較穩(wěn)定,有的窗口出現(xiàn)混沌危機(jī)(圖4(b)).

4 結(jié)束語

本文構(gòu)造了一個新的混沌系統(tǒng),通過一系列動力學(xué)分析,驗證了該系統(tǒng)是混沌的.數(shù)值計算顯示這個系統(tǒng)有兩個正的Lyapunov指數(shù),這表明是超混沌的.最后畫出了全局分岔圖,可以看到該系統(tǒng)通過倍周期分岔通向混沌.

圖2 系統(tǒng)(3)超混沌狀態(tài)下e關(guān)于x的分岔圖

圖3 Lyapunov指數(shù)譜

圖4 系統(tǒng)(3)混沌狀態(tài)下e關(guān)于x的分岔圖

[1] Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow [J]. J. Atmos. Sc, 1963, (20):130-141.

[2] Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems [J]. Physical Review Letters, 1990, (64): 821- 824.

[3] Chu Y D, LI X F, Zhang J G,etal. Nonlinear dynamics analysis of a new autonomous chaotic system [J].Zhejiang Univ Sci A, 2007, (8):1408-1413.

[4] 李險峰,張建剛,褚衍東.一個新自治系統(tǒng)的動力學(xué)分析[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué),2008,5(1):1672-3813.

[5] 唐良瑞,李靜,樊冰，等.新三維混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J].物理學(xué)報,2009,58(2):0785-0793.

[6] Zhang H T, Liu X Z. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5): 1330014 (17 pages).

[7] 李群宏,徐德貴.一個類Lorenz系統(tǒng)的動力學(xué)分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報, 2011(2): 112-116.

[8] 褚衍東,李險峰,張建剛. Host-Parasitoid系統(tǒng)的分岔與混沌控制[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2006, 4(4):332-337.

[9] 楊紹普,中永軍.滯后非線性系統(tǒng)的分岔與奇異性[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[10] Dias F S, Mello L F, Zhang J G. Nonlinear analysis in a Lorenz-like system [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11 (5): 3491-3500.