數(shù)字化公差控制效果預(yù)測方法及其公差數(shù)學(xué)模型的建立

黃強(qiáng)，高嬋君

(重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400054)

機(jī)械產(chǎn)品的公差設(shè)計(jì)質(zhì)量，是影響其功能、質(zhì)量和成本的決定性因素［1］。目前，計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)(CAT)已逐漸成為了保障公差設(shè)計(jì)質(zhì)量的最有力手段。制定和完善公差的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)模型，使計(jì)算機(jī)能夠?qū)缀涡误w的公差信息做出正確的解釋，是應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行公差分析、綜合或者優(yōu)化的基礎(chǔ)。以美國在1994年頒布國際上第一個公差數(shù)學(xué)定義標(biāo)準(zhǔn)ASME Y14.5.1M-1994［2］為標(biāo)志，大量相關(guān)研究工作在國際范圍內(nèi)展開并取得了一系列進(jìn)展。國內(nèi)以吳昭同教授為首的課題組以零件在CAD 造型中攜帶公差信息為切入點(diǎn)，對公差的數(shù)學(xué)語義、數(shù)學(xué)模型、公差網(wǎng)絡(luò)自動生成以及公差分析等基礎(chǔ)問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究［3－10］，并將研究成果逐步應(yīng)用于自行開發(fā)的三維CAD 原型軟件，代表了我國CAT 基礎(chǔ)研究的水平。公差設(shè)計(jì)是面向功能的設(shè)計(jì)［11］，設(shè)計(jì)對象的多樣性決定了功能的多樣性，至今仍沒有一種公差模型和分析方法能夠適用于所有的設(shè)計(jì)對象。此外，公差設(shè)計(jì)包含大量的智力工作，如封閉環(huán)及修配環(huán)選擇、公差項(xiàng)目選擇等，而智力恰恰是當(dāng)前計(jì)算機(jī)的短板。在這種情況下，根據(jù)實(shí)際分析需求，研究基于人機(jī)交互的公差分析模式及其公差數(shù)學(xué)模型是必要的。本文作者從機(jī)床總體精度分析及公差設(shè)計(jì)需求出發(fā)，提出了一種計(jì)算機(jī)輔助公差分析及設(shè)計(jì)方法，并建立了幾種基本幾何表面的公差數(shù)學(xué)模型。

1 基于控制效果預(yù)測的公差分析與設(shè)計(jì)方法

零件由各種類型的表面圍成，這些表面的不同功用決定它們加工要求的不同。在裝配層公差設(shè)計(jì)中，將每一個部件視為一個誤差單元，即公差控制對象。其公差數(shù)字化分析及設(shè)計(jì)的簡要方案如圖1所示。

圖1 機(jī)床系統(tǒng)精度分析及公差設(shè)計(jì)方案簡圖

1.1 建立機(jī)床在系統(tǒng)層面上的數(shù)字化誤差模型

機(jī)床誤差建?；诙囿w系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)和齊次坐標(biāo)變換原理［12］，在該層面上，模型能準(zhǔn)確反映機(jī)床各個部件之間的幾何位置、姿勢、運(yùn)動關(guān)系以及誤差傳遞規(guī)律。該模型是計(jì)算機(jī)輔助系統(tǒng)精度分析及公差設(shè)計(jì)的核心，將用于機(jī)床誤差單元的敏感性分析、公差控制效果的數(shù)字化檢驗(yàn)以及單項(xiàng)公差對系統(tǒng)輸出精度的作用規(guī)律分析。

1.2 機(jī)床誤差單元的敏感性分析

應(yīng)用前述模型，通過對誤差單元的六自由度誤差進(jìn)行單位誤差設(shè)定，可以預(yù)測分析各個誤差單元對機(jī)床輸出誤差的影響權(quán)重，尤其是在加工誤差敏感方向上的影響權(quán)重，從而為機(jī)床系統(tǒng)的公差分配及裝配調(diào)整提供重要依據(jù)，詳細(xì)的分析方法和對具體樣機(jī)的分析結(jié)論可參閱文獻(xiàn)［13］。

1.3 公差制定

在該層面上，只對各個部件中的部分功能表面進(jìn)行公差限定，即針對影響機(jī)床整機(jī)輸出精度的裝配結(jié)合面。限于目前計(jì)算機(jī)智能及推理能力的發(fā)展水平，公差類型主要采用人工制定，如床身－立柱安裝面與工作臺－導(dǎo)軌安裝面之間的平行度、主軸軸線與主軸箱主軸輸出端面的垂直度等。確定這些公差大小的依據(jù)來源于3 個方面:

(1)誤差敏感性分析結(jié)果，越敏感的誤差制定越嚴(yán)格的公差;

(2)企業(yè)現(xiàn)有工藝和加工設(shè)備的精度保障能力;

(3)企業(yè)的公差設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)沉淀。

1.4 公差控制效果檢驗(yàn)及公差調(diào)整

在完成公差的初步制定后，其控制效果是否滿足設(shè)計(jì)要求是未知的，必須對各項(xiàng)相關(guān)公差的積累控制效果進(jìn)行數(shù)字化預(yù)測檢驗(yàn)。如果預(yù)測檢驗(yàn)的結(jié)果不合格或者不理想，就需要結(jié)合敏感性分析的結(jié)果選擇公差調(diào)整對象并進(jìn)行針對性調(diào)整，而確定調(diào)整量大小，則需要先分析該項(xiàng)公差對系統(tǒng)輸出精度的量化作用規(guī)律。這是一項(xiàng)人機(jī)交互式的循環(huán)工作，直到設(shè)計(jì)結(jié)果滿意為止。要完成這兩項(xiàng)工作，都需要相關(guān)功能表面的公差具有面向系統(tǒng)的語義及與之對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

2 面向系統(tǒng)的公差語義與表示形式

對于單個零件，其公差語義為公差的原始定義，主要用于零件的加工工藝編制及檢驗(yàn)等工作，此處不再贅述。但在系統(tǒng)公差設(shè)計(jì)的實(shí)施中，則需要零件功能表面的公差具有面向系統(tǒng)的公差語義。例如，圖2為某車床的結(jié)構(gòu)示意圖，設(shè)床身0 上與主軸箱7 結(jié)合的表面為P，其公差為T，平面P 在公差范圍內(nèi)的變動，必然造成部件7 位置和姿勢(以后簡稱位姿)的變化，并通過部件8、9 傳遞到工件10，導(dǎo)致工件10 偏離理論位姿，從而最終影響零件的加工精度。公差T 的直接作用效應(yīng)，是使部件7 在六自由度上偏離其理想位姿，即沿X 向、Y 向和Z 向的平移;繞X軸、Y 軸和Z 軸的轉(zhuǎn)動，文中用ΔX、ΔY、ΔZ、Δα、Δβ 和Δγ 表示。這一組輸出變量表征了公差T 在系統(tǒng)中對其廣義配合件的作用輸出，即公差T 面向系統(tǒng)的公差語義。

圖2 機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖

在公差控制效果預(yù)測中，最被關(guān)注的是該項(xiàng)公差對“刀具－工件”相對位姿的最終約束效果，所以，公差的對外作用語義應(yīng)表示為與誤差傳遞［13］相同的形式以適應(yīng)公差約束結(jié)果的傳遞，即:

不同的公差具有不同的公差帶，這些公差帶均可用式(1)表示，其區(qū)別只是約束不同。因此，不同幾何要素的公差，需要建立不同的約束模型。

3 基本表面的公差數(shù)學(xué)模型的建立

對一個指定的表面，根據(jù)需求可以有不同的公差約束形式，如尺寸公差、相對其他要素(平面和直線)的平行度、垂直度、傾斜度、對稱度以及本身的形狀。公差域由4 個要素決定，公差域的形狀可統(tǒng)一用式(1)表示，所以不同的表面公差約束體現(xiàn)為位置、大小和方向的不同。機(jī)床裝配中最常見的結(jié)合表面為平面和圓柱面，下面示例介紹公差數(shù)學(xué)模型的建立方法。

3.1 平面

如圖3所示，平面公差的自由度變量為線位移自由度變量ΔY、轉(zhuǎn)動自由度變量Δα 和Δγ。在平面P的中心建立局部坐標(biāo)系Oi－Xi－Yi－Zi，Xi和Zi軸分別平行于矩形的兩條邊，Yi軸垂直平面P。設(shè)矩形邊長分別為2a 和2b，平面P 上點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)，其中－b≤x≤b，－a≤z≤a。實(shí)際平面P'偏離理想平面P，即平面P 上點(diǎn)(x，0，z)偏離到(x'，y'，z')。平面P'上的所有點(diǎn)應(yīng)約束在距離為T 的上下兩平行平面之內(nèi)。在該局部坐標(biāo)系內(nèi)，局部坐標(biāo)系在公差T 范圍內(nèi)的自由度變量的取值范圍和相互關(guān)系可表示為:

圖3 平面公差的幾何模型示意圖

3.2 軸線

如圖4所示，軸線自由度變量為線位移自由度變量ΔX、ΔY 和轉(zhuǎn)動自由度變量Δα、Δβ。在軸線LL 的中心建立局部坐標(biāo)系Oi－Xi－Yi－Zi，Zi軸平行于軸線，Yi為鉛垂方向。設(shè)圓柱直徑、長度分別為T 和2L，軸線上點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0，z)，其中－ L≤z≤L。實(shí)際軸線LL'偏離理想軸線L，即軸線LL 上的點(diǎn)(0，0，z)偏離到(x'，y'，z')，軸線LL'上的所有點(diǎn)應(yīng)約束在直徑為T 的圓柱面區(qū)域內(nèi)。在該局部坐標(biāo)系內(nèi)，局部坐標(biāo)系在公差T 范圍內(nèi)的自由度變量的取值范圍和相互可表示為:

圖4 軸線公差的幾何模型示意圖

3.3 圓柱面

如圖5所示，圓柱面(孔)自由度變量為線位移自由度變量ΔX、ΔY 和轉(zhuǎn)動自由度變量Δα、Δβ。在軸線的中心建立局部坐標(biāo)系Oi－Xi－Yi－Zi，Zi軸平行于軸線，Yi為鉛垂方向。設(shè)圓柱半徑差、長度分別為T 和2L，圓柱面上點(diǎn)坐標(biāo)為(rcosθ，rsinθ，z)，其中－L≤z≤L，r 為理想圓柱的半徑，0≤θ≤2π。實(shí)際圓柱面偏離理想圓柱面，即圓柱面上點(diǎn)坐標(biāo)為(rcosθ，rsinθ，z))變?yōu)?x'，y'，z')，實(shí)際圓柱面上的所有點(diǎn)應(yīng)約束在半徑差T 的兩同心圓柱面區(qū)域內(nèi)。在該局部坐標(biāo)系內(nèi)，局部坐標(biāo)系在公差T 范圍內(nèi)的自由度變量的取值范圍和相互關(guān)系可表示為:

圖5 圓柱面公差的幾何模型示意圖

3.4 棱柱面(模擬導(dǎo)軌)

如圖6所示，棱柱面自由度變量為線位移自由度變量ΔX、ΔY 和三個轉(zhuǎn)動自由度變量Δα、Δβ、Δγ。在實(shí)際接觸兩棱柱面的導(dǎo)軌外側(cè)棱線形成的矩形平面P 中心建立局部坐標(biāo)系Oi－Xi－Yi－Zi，Zi軸平行于棱線，Yi軸垂直平面。設(shè)棱線在水平平面和在垂直平面的平行度及長和寬分別為T、2a 和2b，棱線上點(diǎn)坐標(biāo)為(±b，0，z)，其中－a≤z≤a。實(shí)際棱線因?yàn)樽杂啥绕x上理想棱線，即棱線上點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0，z)變?yōu)?x'，y'，z')。矩形平面上點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)，其中－b≤x≤b，－a≤z≤a。實(shí)際棱柱平面P'因?yàn)樽杂啥绕x上理想平面P，即平面P 上點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)變?yōu)?x'，y'，z')，實(shí)際棱線上的所有點(diǎn)應(yīng)約束在邊長為T 的四棱柱區(qū)域內(nèi)，兩棱線形成的矩形平面約束在距離為T 兩平行平面區(qū)域內(nèi)，在該局部坐標(biāo)系內(nèi)，局部坐標(biāo)系在公差T 范圍內(nèi)的取值范圍和相互關(guān)系如下:

圖6 棱柱面公差的幾何模型示意圖

4 公差控制效果預(yù)測方法示例

基本幾何表面公差數(shù)學(xué)模型的建立，為實(shí)施圖1所示的系統(tǒng)數(shù)字化精度分析及公差設(shè)計(jì)方案提供了所需的支持。針對機(jī)床系統(tǒng)的公差設(shè)計(jì)效果預(yù)測是一項(xiàng)系統(tǒng)工作，包含一系列的設(shè)定與分析步驟，所以僅選取單一公差控制效果預(yù)測和多公差綜合控制效果預(yù)測作為應(yīng)用方法示例。

分析對象為圖2所示機(jī)床，其基本數(shù)據(jù)見表1。

表1 目標(biāo)機(jī)床的部件公差和尺寸 mm

4.1 單一公差控制效果預(yù)測

(1)分析目標(biāo)

設(shè)床身0 上與主軸箱7 結(jié)合表面的公差為T0－7，其他公差項(xiàng)目的取值為零?，F(xiàn)預(yù)測分析T0－7控制下刀具相對工件位姿誤差的變動范圍及規(guī)律。

(2)分析原理及方法

機(jī)床在加工的某一時刻，設(shè)刀具坐標(biāo)系中刀具與工件的接觸點(diǎn)為Qt=(xt，yt，zt)，該點(diǎn)經(jīng)過一系列中間部件坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換，會在工件坐標(biāo)系中得到一個對應(yīng)點(diǎn)。如果刀具和工件坐標(biāo)系本身以及中間部件坐標(biāo)系均不存在位姿誤差，則對應(yīng)點(diǎn)處于理論位置Qw=(xw，yw，zw)。反之，其對應(yīng)點(diǎn)將偏離理想位置而處于其實(shí)際位置Q'w=(x'w，y'w，z'w)，兩者的偏差值則體現(xiàn)了所有誤差的綜合作用結(jié)果。現(xiàn)在，只有床身0 與主軸箱7 的結(jié)合表面存在誤差并被限制在公差T0－7內(nèi)，則可預(yù)測分析公差T0－7控制下Q 點(diǎn)的變化范圍及分布情況。

設(shè)刀尖點(diǎn)為被分析點(diǎn)，該點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為Q(－2，0，0)，根據(jù)機(jī)床系統(tǒng)的誤差建模結(jié)果，Q 點(diǎn)在無誤差狀況下向工件坐標(biāo)系的傳遞關(guān)系為:

其中，Tij為部件j 到部件i 的理想位姿特征變換矩陣。

現(xiàn)在，床身0 與主軸箱7 的結(jié)合表面存在誤差并被限制在公差T0－7內(nèi)，則Q 點(diǎn)向工件坐標(biāo)系的實(shí)際傳遞關(guān)系為:

其中，ΔT07為部件7 到部件0 的誤差特征變換矩陣，式中的ΔY、Δα 和Δγ 滿足式(3)。此時，Q 點(diǎn)偏離理想位置的相對誤差為:

(3)分析步驟及結(jié)果

公差檢驗(yàn)必須考慮誤差的分布性特點(diǎn)，所以，在本分析中采用編程方式實(shí)現(xiàn)三維公差的蒙特卡羅仿真。部件7 和部件0 接觸的平面P' 應(yīng)約束在距離為T的上下兩平行平面之內(nèi)。其平面的位姿變動將導(dǎo)致最終執(zhí)行部件偏離理想位置。由一系列滿足公差條件的平面可以得到刀具相對工件位姿誤差的公差，和最大、最小值。用MATLAB 進(jìn)行仿真，步驟如下:

①部件7 到部件0 的誤差特征變換矩陣ΔT07里自由度變量為ΔY、Δα 和Δγ。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生符合公差條件的組ΔY、Δα 和Δγ，n =100 000。ΔY 為±0.01 mm 范圍內(nèi)的期望為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.02/6 的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。Δα、Δγ 為±0.000 1 rad 范圍內(nèi)的期望為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.000 2/6 的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。形位公差約束六自由度變量，即自由度變量滿足含形位公差的約束不等式方程。平面P'應(yīng)約束在距離為T 的上下兩平行平面之內(nèi)，滿足式(3)的n 組ΔY、Δα和Δγ 為符合公差條件的n 個平面的位姿變量。

②機(jī)床空間誤差模型。按照式(16)建立刀具與工件相對位姿誤差模型。把滿足約束不等式方程的自由度變量的n 個隨機(jī)數(shù)帶入，得出n 個輸出的空間誤差值，其分布情況如圖7所示。

③統(tǒng)計(jì)輸出誤差的分布范圍及規(guī)律。把n 個空間誤差值進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)，計(jì)算其期望和標(biāo)準(zhǔn)差。在公差T0－7控制下，Q 點(diǎn)在x、y 和z 方向上的偏離量呈正態(tài)分布，其6δ 值分別為0.025 0、0.038 4 和0.024 0，范圍分別為［－0.012 8，0.012 3］、 ［－0.020 0，0.018 4］和［－0.011 9，0.012 1］，此即公差T0－7的控制效果。

圖7 Q 點(diǎn)在x、y 和z 方向上的誤差分布

4.2 多公差綜合控制效果預(yù)測

分析目標(biāo):預(yù)測分析多個公差的綜合控制效果。

分析方法及步驟與單一公差控制效果預(yù)測相似，不同之處在于機(jī)床設(shè)定了多個公差項(xiàng)目(見表1)，此時，Q 點(diǎn)到工件坐標(biāo)系的實(shí)際傳遞關(guān)系:

其中，ΔTij為部件j 到部件i 的誤差特征變換矩陣，ΔTij里的自由度變量分別滿足各自的公差約束。刀具與工件的相對偏離量為:

在表1 所設(shè)定的公差項(xiàng)目的綜合約束下，Q 點(diǎn)在x、y 和z 方向上偏離理想位置的6δ 值分別為0.065 3、0.108 0 和0.038 7，其分布范圍分別為［－0.035 3，0.030 0］、 ［－0.059 0，0.049 0］和［－0.018 9，0.019 8］。

5 結(jié)論

(1)在機(jī)床系統(tǒng)層面的數(shù)字化精度分析及其公差設(shè)計(jì)中，需要相關(guān)零件幾何要素具有面向系統(tǒng)的公差語義。該語義可定義為零件公差在系統(tǒng)中對其廣義配合件的作用輸出，具體體現(xiàn)為對6 個自由度的約束。

(2)將公差的對外作用語義表示為齊次坐標(biāo)變換矩陣的形式，可以將公差數(shù)學(xué)模型與系統(tǒng)誤差模型統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)公差設(shè)計(jì)效果的數(shù)字化預(yù)測，為機(jī)床的精度設(shè)計(jì)提供有效的支持。

［1］張根保.計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)綜述［J］.中國機(jī)械工程，1996，7(5):47－50.

［2］AMSE Standard Y14.5.1 M－1994.Mathematical Definition of Dimensioning and Tolerancing Principles［S］.American Society of Mechanical Engineers.New York.

［3］劉玉生，楊將新，吳昭同，等.CAD 系統(tǒng)中公差信息建模技術(shù)綜述［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào)，2001，13(11):1048－1054.

［4］吳昭同，楊將新.計(jì)算機(jī)輔助公差優(yōu)化設(shè)計(jì)［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，1999.

［5］蔡敏，楊將新，吳昭同.定向公差帶數(shù)學(xué)定義理論及應(yīng)用的研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2000，36(11):54－58.

［6］劉玉生，高曙明，吳昭同，等.基于特征的層次式公差信息表示模型及其實(shí)現(xiàn)［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2003，39(3):1－7.

［7］胡潔，吳昭同，楊將新.基于旋量參數(shù)的三維公差累積的運(yùn)動學(xué)模型［J］.中國機(jī)械工程，2003，14(2):127－131.

［8］蔡敏，楊將新，吳昭同.基于數(shù)學(xué)定義的圓柱要素形狀公差數(shù)學(xué)模型的研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2003，39(12):86－90.

［9］劉玉生.基于數(shù)學(xué)定義的平面尺寸公差數(shù)學(xué)模型［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2001，37(9):12－17.

［10］劉玉生，高曙明，曹衍龍.三維CAD 系統(tǒng)中變動孔特征通用生成方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2005，41(7):112－118.

［11］WEILL R.Tolerancing for Function ［J］.CIRP Annals，1988，37(2):1－8.

［12］李圣怡，戴一凡.精密和超精密機(jī)床精度建模技術(shù)［M］.長沙:國防科技大學(xué)出版社，2007.

［13］黃強(qiáng)，張根保，張新玉.機(jī)床位姿誤差的敏感性分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(6):141－146.