面向最小維修的數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)估

張根保，劉杰，楊毅，高琦樑

(重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)研究所，重慶400030)

可靠性是機(jī)床性能的重要指標(biāo)，對(duì)機(jī)床的可靠性進(jìn)行定量評(píng)估是機(jī)床可靠性工作的重要內(nèi)容。常見的機(jī)床可靠性評(píng)估方法為壽命分布分析方法，如利用威布爾分布，然而該方法的假設(shè)條件即故障間隔時(shí)間獨(dú)立同分布往往很難實(shí)現(xiàn)。近年來，具有最小維修性質(zhì)的冪律過程已被證明能夠更好地對(duì)復(fù)雜可修系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行建模［1－2］，在機(jī)床可靠性評(píng)估中的應(yīng)用也越來越廣泛［3－4］。盡管如此，應(yīng)用冪律過程進(jìn)行機(jī)床可靠性評(píng)估的研究仍有不足之處，主要體現(xiàn)在處理多臺(tái)機(jī)床故障數(shù)據(jù)融合問題。多臺(tái)機(jī)床的故障數(shù)據(jù)包含有更多的故障信息，能夠避免單臺(tái)機(jī)床所帶來的偶然性因素，其結(jié)果更能夠代表機(jī)床的故障現(xiàn)狀。但是，研究者往往忽視了多臺(tái)機(jī)床的同質(zhì)性問題，而貿(mào)然對(duì)其故障數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理，所得到的結(jié)果往往會(huì)偏離實(shí)際。

以某型號(hào)液壓折彎?rùn)C(jī)為研究對(duì)象，提出了CBT(Common Beta Test)＆ CLT(Common Lambda Test)的分步檢驗(yàn)法，以驗(yàn)證能否將多臺(tái)機(jī)床數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理，解決了基于冪律過程的多臺(tái)機(jī)床故障數(shù)據(jù)同質(zhì)性驗(yàn)證問題。同時(shí)，應(yīng)用Fisher 信息矩陣法給出了冪律過程參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和基于Delta 方法的機(jī)床可靠性指標(biāo)區(qū)間估計(jì)的計(jì)算表達(dá)式。

1 PLP 建模及其參數(shù)估計(jì)

1.1 多臺(tái)機(jī)床的PLP 建模

冪律過程(Power Law Process，PLP)亦稱為威布爾過程［5］，是非齊次泊松過程(NHPP)的一種。PLP 模型最初由L H CROW 提出［6］，廣泛應(yīng)用于復(fù)雜可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析。其強(qiáng)度函數(shù)形如式(1)所示:

式中:β 為形狀參數(shù)。

β 對(duì)故障過程趨勢(shì)具有指示作用。當(dāng)β ＜1 時(shí)，故障強(qiáng)度減小，產(chǎn)品可靠性增長(zhǎng);當(dāng)β =1 時(shí)，故障強(qiáng)度為常數(shù)，產(chǎn)品可靠性相對(duì)穩(wěn)定;當(dāng)β ＞1 時(shí)，故障強(qiáng)度增大，產(chǎn)品可靠性惡化。

對(duì)于k 臺(tái)機(jī)床，假定第i 臺(tái)的故障統(tǒng)計(jì)時(shí)間區(qū)間為［ai，bi］，故障發(fā)生時(shí)刻為tij，故障總數(shù)為ni，則第i 臺(tái)機(jī)床故障時(shí)間的極大似然函數(shù)表達(dá)式為:

所以，k 臺(tái)機(jī)床故障時(shí)間的極大似然函數(shù)為:

兩邊取對(duì)數(shù)，分別對(duì)β，λ 求偏導(dǎo)并令其為零，得:

上式解沒有封閉形式，可用迭代法進(jìn)行求解。

1.2 參數(shù)的Fisher 區(qū)間估計(jì)

PLP 參數(shù)的區(qū)間值可利用最大似然估計(jì)值的漸近對(duì)數(shù)正態(tài)分布特性［7］進(jìn)行估計(jì)，對(duì)參數(shù)θ 有:

式中:zα/2為置信度為100(1－α)%的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。

當(dāng)式(4)中的參數(shù)為λ，β 時(shí)，其方差及協(xié)方差由逆Fisher 信息矩陣［7］給出:

2 數(shù)控機(jī)床可靠性指標(biāo)的估計(jì)

機(jī)床可靠性指標(biāo)能夠?qū)C(jī)床可靠性的變化給出定量的描述。求解PLP 參數(shù)后就可以對(duì)機(jī)床的各種可靠性指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。

2.1 數(shù)控機(jī)床可靠性指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)

這里給出兩類可靠性指標(biāo):第一類為瞬時(shí)可靠性指標(biāo)，分別是瞬時(shí)故障強(qiáng)度函數(shù)λ(t)與瞬時(shí)MTBFu(t);第二類為累積可靠性指標(biāo):分別是累積故障強(qiáng)度λc(t)、累積平均無故障工作時(shí)間uc(t)與累積故障數(shù)m(t)。其中，累積平均無故障工作時(shí)間uc(t)即是客戶能夠感受到的平均無故障工作時(shí)間MTBF。

將λ，β 點(diǎn)估計(jì)值代入式(1)即可得出λ(t)，由u(t)與λ(t)的關(guān)系，可得u(t)點(diǎn)估計(jì)為:

u(t)= 1/λβtβ－1

uc(t)=t1－β/λ

2.2 數(shù)控機(jī)床可靠性指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)

采用Delta 方法［8］對(duì)以上可靠性指標(biāo)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。

設(shè)Δ為參數(shù)λ，β 的函數(shù)，則Δ的方差為:

從而，的區(qū)間亦可由式(4)求出。

當(dāng)Δ分別為λ(t)、m(t)、λc(t)、u(t)和uc(t)，便可以得出相應(yīng)可靠性指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)。

3 模型檢驗(yàn)

3.1 趨勢(shì)檢驗(yàn)

(1)Laplace 檢驗(yàn)

原假設(shè)H0:HPP(齊次泊松過程);備選假設(shè)H1:故障間隔為具有單調(diào)強(qiáng)度函數(shù)的NHPP。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量為［9］:

L 在原假設(shè)條件下近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

(2)Military handbook 檢驗(yàn)

原假設(shè)H0:HPP(齊次泊松過程);備選假設(shè)H1:故障間隔為具有單調(diào)強(qiáng)度函數(shù)的NHPP。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量為［10］:

M 在原假設(shè)條件下服從于卡方分布，自由度為2n。

3.2 更新過程檢驗(yàn)

Lewis-Robinson 檢驗(yàn)。

原假設(shè)H0:RP(更新過程);備選假設(shè)H1:具有單調(diào)趨勢(shì)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量為［11］:

3.3 同質(zhì)性檢驗(yàn)

多臺(tái)機(jī)床盡管屬于同一型號(hào)，但往往由于其處于不同的工況下，它們的故障也可能呈現(xiàn)出不同的機(jī)制與趨勢(shì)。對(duì)于呈現(xiàn)出相似故障機(jī)制與趨勢(shì)的多臺(tái)機(jī)床，稱之為多臺(tái)機(jī)床同質(zhì)，其故障數(shù)據(jù)可用式(2)進(jìn)行融合處理;否則，稱之為多臺(tái)機(jī)床異質(zhì)，所采集的故障數(shù)據(jù)不能進(jìn)行直接融合處理。同質(zhì)性檢驗(yàn)在機(jī)床評(píng)估中的作用常常被忽視，導(dǎo)致評(píng)估結(jié)果偏離實(shí)際。文中提出采用CBT(Common Beta Test)和CLT(Common Lambda Test)的分步檢驗(yàn)法對(duì)多臺(tái)機(jī)床進(jìn)行同質(zhì)性檢驗(yàn)。

(1)CBT 檢驗(yàn)

原假設(shè)H0:β1=β2=… =βn;備選假設(shè)H1:至少有兩個(gè)β 不相等。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量為［6］:

lr 在原假設(shè)條件下服從卡方分布，自由度為(k－1)。

(2)CLT 檢驗(yàn)

原假設(shè)H0:λ1=λ2=… =λn;備選假設(shè)H1:至少有兩個(gè)λ 不相等。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量為［12］:

q 在原假設(shè)條件下服從于自由度為(k－1)的卡方分布。

3.4 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

采用Cramér-von Mises 方法對(duì)模型擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為［6］:

式中:zi為從小至大的秩序排列。

4 實(shí)例分析

表1 給出了某型號(hào)4 臺(tái)液壓折彎?rùn)C(jī)現(xiàn)場(chǎng)故障時(shí)間數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)為時(shí)間截尾型，共24 次故障，4 個(gè)截尾時(shí)間。

表1 4 臺(tái)液壓折彎?rùn)C(jī)故障數(shù)據(jù) h

4 臺(tái)機(jī)床的故障間隔趨勢(shì)如圖1所示，可以得出:整體上看，趨勢(shì)曲線上凸，故障間隔時(shí)間不斷增大，表明故障數(shù)據(jù)可用非齊次泊松過程來建模。

圖1 故障過程趨勢(shì)圖

對(duì)表1 數(shù)據(jù)進(jìn)行模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，結(jié)果如表2所示。

表2 液壓折彎?rùn)C(jī)故障數(shù)據(jù)模型檢驗(yàn)結(jié)果

由表2 知:Laplace 檢驗(yàn)、M-H 檢驗(yàn)和L-R 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量的p-值均遠(yuǎn)小于顯著水平，因此，有充分的理由認(rèn)為故障數(shù)據(jù)符合具有單調(diào)強(qiáng)度函數(shù)的NHPP 過程;同時(shí)，CBT 檢驗(yàn)和CLT 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量的p-值分別為0.728 8 和0.331 6，均高于顯著水平，因此，可以接受4 臺(tái)機(jī)床的故障數(shù)據(jù)來自同一個(gè)冪律過程函數(shù)的假設(shè)，即對(duì)4 臺(tái)機(jī)床故障數(shù)據(jù)能夠進(jìn)行融合處理。

模型參數(shù)的極大似然點(diǎn)估計(jì)與90%置信區(qū)間值如表3所示。

表3 PLP 模型參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)與90%置信區(qū)間

對(duì)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，計(jì)算所得C2M值為0.041 5，查表知，C2M(24，0.05)= 0.217 ＞0.041 5表明所建模型有效。

機(jī)床的可靠性指標(biāo)表達(dá)式如下:

t=1 500 時(shí)的可靠性指標(biāo)點(diǎn)估計(jì)與置信度90%的置信區(qū)間見表4。

表4 可靠性指標(biāo)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

圖2所示為機(jī)床瞬時(shí)與累積可靠性指標(biāo)置信度90%的雙側(cè)區(qū)間圖。

由以上結(jié)果可知，形狀參數(shù)β 的區(qū)間上限值為0.820 3，說明至故障數(shù)據(jù)截尾時(shí)，液壓折彎?rùn)C(jī)處于可靠性增長(zhǎng)的階段，這與圖1 的結(jié)論一致。

圖2(e)顯示機(jī)床實(shí)際故障均值均落在置信區(qū)間內(nèi)，并與模型曲線的擬合較好;圖2(a)中瞬時(shí)故障強(qiáng)度曲線顯示，其形狀近似于浴盆曲線的左部分，表明折彎?rùn)C(jī)跨越了早期故障階段;這里需要注意區(qū)分的是:瞬時(shí)故障強(qiáng)度－浴盆曲線與一般說法上不可修產(chǎn)品的失效率－ 浴盆曲線是兩類不同性質(zhì)的曲線［13］。其次，圖2(c)中瞬時(shí)MTBF 曲線和圖2(d)累積MTBF 曲線對(duì)比表明，盡管到數(shù)據(jù)截止時(shí)液壓折彎?rùn)C(jī)的瞬時(shí)MTBF 可達(dá)到500 h 以上，但其累積MTBF 只有300 h 左右，這是早期故障所帶來的不利影響，它降低了折彎?rùn)C(jī)整體可靠性水平的表現(xiàn)。

圖2 可靠性指標(biāo)的雙側(cè)90%置信區(qū)間曲線

針對(duì)該類型折彎?rùn)C(jī)的可靠性現(xiàn)狀，建議生產(chǎn)廠家在折彎?rùn)C(jī)出廠前實(shí)施早期故障消除技術(shù)，使瞬時(shí)故障強(qiáng)度曲線盡可能左移，降低早期故障對(duì)累積MTBF 的影響，提高折彎?rùn)C(jī)在顧客使用時(shí)的可靠性表現(xiàn)水平。

5 結(jié)論

(1)數(shù)控機(jī)床屬于復(fù)雜可修產(chǎn)品，其故障維修往往只是進(jìn)行個(gè)別零部件的更換或修復(fù)，符合最小維修的物理背景，可以用冪律過程建模。實(shí)例分析也表明，PLP 模型能夠同時(shí)給出產(chǎn)品瞬時(shí)和累積可靠性指標(biāo)，具有實(shí)踐指導(dǎo)意義。

(2)機(jī)床的可靠性評(píng)估，往往要先對(duì)其故障趨勢(shì)進(jìn)行判斷，評(píng)估時(shí)可采用圖形法與統(tǒng)計(jì)法相結(jié)合來進(jìn)行檢驗(yàn);對(duì)于多臺(tái)機(jī)床故障數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理時(shí)，要首先保證故障數(shù)據(jù)的同質(zhì)性，在冪律建模中可以用所提出的CBT＆CLT 分步檢驗(yàn)方法進(jìn)行驗(yàn)證。

(3)文中對(duì)質(zhì)保期內(nèi)的液壓折彎?rùn)C(jī)進(jìn)行了基于冪律過程的可靠性分析，但產(chǎn)品整個(gè)壽命周期的可靠性狀況仍需要進(jìn)一步探索。主要原因在于折彎?rùn)C(jī)在數(shù)年后的故障趨勢(shì)可能會(huì)發(fā)生變化，需要更多的故障數(shù)據(jù)來進(jìn)行建模;并且，模型需要利用分段PLP［14］或是混合PLP［15］，這也是接下研究的方向之一。

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