淺析導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

黑龍江 馮潔 趙旭

導(dǎo)數(shù)不但是高等數(shù)學(xué)計算的基礎(chǔ)，而且是高等數(shù)學(xué)應(yīng)用的工具，具有承上啟下的作用，能夠影響高等數(shù)學(xué)中后繼知識的學(xué)習(xí)。導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用,為我們解決函數(shù)的有關(guān)問題提供了強有力的工具。因此可見，導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中非常重要的章節(jié)。下面對導(dǎo)數(shù)在求極限、求最值、證明不等式甚至解決物理問題中的應(yīng)用進(jìn)行舉例。

一、利用導(dǎo)數(shù)的物理意義求瞬時速度、加速度、電流強度等

導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)性質(zhì)、解決問題的有效工具，其概念起源于幾何學(xué)中的切線問題與力學(xué)中的速度問題。導(dǎo)數(shù)的物理意義目前沒有統(tǒng)一的解釋，對于不同的物理量，導(dǎo)數(shù)有不同的物理意義。求導(dǎo)運算實際上就是求瞬時變化率的運算。例如，變速直線運動路程函數(shù)s對時間t的導(dǎo)數(shù)就是瞬時速度；瞬時速度對時間的導(dǎo)數(shù)就是加速度；通過導(dǎo)體某截面的電量Q對時間t的導(dǎo)數(shù)就是電流強度。

例1在時刻t（單位：s）通過導(dǎo)體某一橫截面的電荷的量Q(t)=t2+2，試求在t=0.5s時導(dǎo)線內(nèi)的電流強度。

電流強度可以看成是單位時間通過導(dǎo)線某個截面的電荷的量，因此，電流強度可以看成是電荷的導(dǎo)數(shù)。

例2小球作非勻速直線運動規(guī)律為s=5t2，求在1秒時的瞬時速度。

二、利用導(dǎo)數(shù)求極限

利用洛必達(dá)法則，可以很輕松的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具來求解一些型極限或者型極限。

分析：此題滿足洛必達(dá)法則求極限的條件，可以利用洛必達(dá)法則求解極限

三、利用導(dǎo)數(shù)求最值

我們知道，導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)單調(diào)性的有力工具，而在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中，常常會遇到求解函數(shù)的最大值與最小值問題。解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型以及確立目標(biāo)函數(shù)。把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。解決此類問題需要找出關(guān)鍵,根據(jù)題中所給條件之間的相互關(guān)系,抽象出一個數(shù)學(xué)模型后，用導(dǎo)數(shù)對其進(jìn)行分析可使復(fù)雜的問題簡單化。

例4某車間靠墻壁蓋一間長方形倉庫，現(xiàn)有存磚只夠砌20米長的墻，問：應(yīng)圍成怎樣的長方形的墻才能使這間倉庫的面積最大？

分析：首先應(yīng)該構(gòu)建一個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化求解。

解：由題意知，設(shè)圍成的墻壁寬為x，則長為20-2x，倉庫的面積記為S，

綜上所述，函數(shù)S(x)在x=5處有極大值，極大值是S(5)=5(20-10)=500

由于在(0,10)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)S(x)只有一個極值點，因此，極大值就是這個函數(shù)的最大值。

例5人在雨中行走,速度不同可能導(dǎo)致淋雨量有很大不同,即淋雨量是人行走速度的函數(shù)。記淋雨量為y(單位:s),行走速度為x(單位:m/s),并設(shè)它們之間有以下函數(shù)關(guān)系:y=x3-6x2+9x求其淋雨量最小時的行走速度。

分析:由實際情況可知x≥0,并且人即使是跑,其最大速度小于15m/s,從而可取區(qū)間[0,15),求最值。問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間[0,15)上的最小值。

解：先求函數(shù)在區(qū)間[0,15)的所有可能極值點。

令f'(x)=3x3-12x+9=0可得x1=1，x2=3再與端點比較它們的函數(shù)值:

因此,當(dāng)行走速度為3m/s時,淋雨量最小。

四、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在證明不等式中,一般都是轉(zhuǎn)化不等式,轉(zhuǎn)化的方法是構(gòu)造一個函數(shù),然后求這個函數(shù)的最值,應(yīng)用公式或恒等關(guān)系從而實現(xiàn)證明。下面我們來看一道經(jīng)典的證明不等式的問題。

例6如果a,b,c都是正數(shù)，試證明a3+b3+c3≥3abc

分析要證a3+b3+c3≥3abc，只需證明a3+b3+c3-3abc≥0

因此，我們構(gòu)建定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=x3-3abx+a3+b3，問題轉(zhuǎn)化為求證f(x)≥0。如果函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值，且最小值是非負(fù)的，從而解決問題。即應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究這個問題。

對函數(shù)求導(dǎo)有f'(x)=3x2-3ab，

由于連續(xù)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)只有一個極值點，并且是極小值，因此，極小值就是這個函數(shù)的最小值，有f(x)=x3-3abx+a3+b3≥f)≥0(x∈(0,+∞))

取x=c得c3-3abc+a3+b3≥0

即a3+b3+c3≥3abc

導(dǎo)數(shù)作為工具為研究函數(shù)性質(zhì)提供了簡單化、程序化、可操作的數(shù)學(xué)方法,是一種普遍、實用的方法。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為解決證明不等式、求極限、求最值等問題開辟了新的路徑,顯示了導(dǎo)數(shù)方法解決不同問題的靈活性、普適性和廣泛性。

[1]徐映紅,駱樺.微積分中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[J].北京郵電大學(xué),2010.8.

[2]李建考.從導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用談高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模問題[J].職教與成教,2008.6.

[3]于海波.工程實用數(shù)學(xué).東北師范大學(xué)出版社,2011.8.