追尋計算外數(shù)學(xué)的魅力

何江玫

【摘 要】 審視小學(xué)低年級數(shù)學(xué)計算教學(xué)中存在的種種問題，我們困惑著、思考著、探索著。本文試著就小學(xué)生計算能力弱化現(xiàn)狀，反思了計算教學(xué)中存在的問題，并探討了小學(xué)數(shù)學(xué)計算能力中提高數(shù)學(xué)思維的發(fā)展性課堂策略。

【關(guān) 鍵 詞】 計算能力；算法多樣化；優(yōu)化思想；數(shù)學(xué)思維

在一次校內(nèi)計算教學(xué)的教研活動中，老師們普遍發(fā)現(xiàn)新課程背景下，學(xué)生的計算能力有所弱化，如對于二年級的學(xué)生，還存在借助小棒或扳手指來計算20以內(nèi)的加減法，部分到了中年級的學(xué)生對于十進(jìn)制的原理理解還比較膚淺，進(jìn)位、退位加減法方法模糊，至于正確率更加無從談起……種種現(xiàn)象表明，目前我們的計算教學(xué)存在一些亟需解決的問題，尤其在小學(xué)低年級，這些問題涉及到我們一線教師對低年級計算教學(xué)認(rèn)識的把握、對教材的深度解讀以及對新課程理念的應(yīng)用。

一、問題與困惑

數(shù)與計算是人們在日常生活中應(yīng)用得最多的數(shù)學(xué)知識，它歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容，培養(yǎng)小學(xué)生的計算能力也一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。從理性的角度分析，計算能力是小學(xué)生必須形成的基本技能，它是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以計算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點中的重點。

當(dāng)前，人們對計算有一些誤解，認(rèn)為計算就是按照各種運算法則進(jìn)行加、減、乘、除，因此，學(xué)習(xí)計算就是把書本中給出的計算法則背誦熟練，形成一些計算的基本技巧， 即能夠根據(jù)熟記的法則，迅速地計算出給定式子的正確答案。

著名心理學(xué)家魯賓斯指出，“任何思維，不論它是多么抽象或多么理論，都是從觀察分析經(jīng)驗材料開始?！庇^察是智力的門戶，是思維的前哨，是啟動思維的按鈕。觀察的深刻與否，決定著創(chuàng)造性思維能否形成。因此，引導(dǎo)學(xué)生明白對一個問題不能急于按已有的套路求解，而要深刻觀察，去偽存真，這不但為最終解決問題奠定了基礎(chǔ)，而且也可能有創(chuàng)見性地尋找到解決問題的契機。

在計算教學(xué)中，按照算法規(guī)則進(jìn)行邏輯推理而獲得正確結(jié)果僅僅是計算的一個方面。更重要的，在計算中包含著的對算法的構(gòu)造、設(shè)計、選擇；對算理的理解、運用等。這一過程中，包含了豐富的數(shù)學(xué)實踐，可以使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法的真諦。

通過平時的教學(xué)實踐我們發(fā)現(xiàn)，小學(xué)低年級計算教學(xué)主要存在如下三個問題。

（一）基本計算能力下降

幾年的新課程教學(xué)方法實施下來，學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的意識得到了加強，他們變得善于思考，善于想象，但我們也驚奇地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的計算能力出現(xiàn)明顯下降：在平時的練習(xí)中，計算能達(dá)到優(yōu)秀的只有極少數(shù)學(xué)生，計算速度也普遍較慢，如二年級的小朋友對20以內(nèi)的加減法還停留在扳手指的程度，部分到了中年級的學(xué)生對于十進(jìn)制的原理理解還比較膚淺，進(jìn)位、退位加減法筆算方法模糊。這類現(xiàn)象值得我們深慮。

（二）計算目標(biāo)與計算技能顧此失彼

我們發(fā)現(xiàn)，為了體現(xiàn)計算與應(yīng)用的密切聯(lián)系，在計算教學(xué)時我們往往從實際問題引入，在學(xué)生初步理解了算理后，馬上就去解決大量的實際問題。這樣做，學(xué)生的應(yīng)用意識確實得到了培養(yǎng)，但另一方面我們也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常常是算式列對了，計算錯誤率卻很高。一段時間下來，學(xué)生的計算能力并未達(dá)到目標(biāo)，于是再反過來進(jìn)行大量的訓(xùn)練，使得一些學(xué)生短時間內(nèi)似乎計算正確率和速度提高不少，而還有一些能力較差的學(xué)生卻兩頭都顧不好，從而使計算速度和正確率出現(xiàn)兩極分化嚴(yán)重的現(xiàn)象。情境不能成為影響學(xué)生計算能力的絆腳石，有價值的情境是數(shù)學(xué)內(nèi)容的載體，是情感的誘因（激起興趣，凝聚注意）；是數(shù)學(xué)活動的平臺（激活已有經(jīng)驗，形成策略，引發(fā)學(xué)習(xí)活動）。

教學(xué)中關(guān)鍵要平衡好這兩部分內(nèi)容。根據(jù)學(xué)生的年齡特點，適當(dāng)保持非數(shù)學(xué)的成分，盡量突出數(shù)學(xué)的成分。

（三）對“算法多樣化”的錯誤理解使教學(xué)目標(biāo)異化

作為新課改的教學(xué)理念，算法多樣化不應(yīng)成為課堂教學(xué)的目的。提倡算法多樣化，是為了鼓勵學(xué)生獨立思考，為學(xué)生提供交流各自想法的機會，通過交流，讓學(xué)生自主選擇適合自己的算法，為不同學(xué)生形成適合自己的學(xué)習(xí)策略提供有效途徑，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，使學(xué)生享受成功的喜悅、對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣并樹立自信。但是在實際教學(xué)過程中，教師往往會將“算法多樣化”作為一種在課堂上必須要達(dá)成教學(xué)目的提出，將課堂教學(xué)的目的異化為讓學(xué)生直接想出各種計算方法。如學(xué)習(xí)兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法：32-8，一位教師是這樣教的：個位上2減8不夠，從十位上退1和個位上的2合起來是12，先算12-8等于4，再算20+4等于24，讓學(xué)生照著例題說了一遍又一遍，學(xué)生會說了，也會算了，但這時學(xué)生的思維水平，充其量是模仿，并未形成真正的數(shù)學(xué)能力，當(dāng)換了一題時，學(xué)生又發(fā)生了困難，常常因為不理解算法而造成計算錯誤，從而使許多學(xué)生，特別是中下生，經(jīng)常是做不出、做得慢、錯很多……在多次的訂正后感到數(shù)學(xué)太難了。為此，在教學(xué)中要重視計算策略的培養(yǎng)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生想出更多的計算方法，讓他們用自己喜歡的方法進(jìn)行計算。就剛才的32-8，學(xué)生根據(jù)自己已有的知識先后出現(xiàn)了以下幾種和教材中不同的方法：（1）把8看成2和6，先算32-2=30，再算30-6=24；（2）把32看成30和2，先算30-8=22，再算22+2=24；（3）把32看成22和10，先算10-8=2，再算22+2=24；（4）把8看成10，先算32-10=22，再算22+2=24。無論是哪種計算方法，只要能運用這種策略解決問題，并且是合理的，都是一種好方法。在這一過程中，學(xué)生的思維才能真正得到發(fā)展。

面對計算教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的種種情況，我們不禁要反思我們怎樣面對、解決實踐中的疑惑？讓我們在比較中進(jìn)行探索之路。

二、探索與認(rèn)識

（一）口算與筆算的區(qū)別與聯(lián)系

當(dāng)前，不少教師對于口算與筆算的內(nèi)涵及相互關(guān)系理解不透，在教學(xué)實踐中暴露出了不少問題。口算與筆算究竟有何不同，又有何聯(lián)系？相應(yīng)的教學(xué)又該如何進(jìn)行呢？這里，筆者覺得有必要做一個重新的審視。endprint

首先，口算與筆算的解題策略不同。以下是一個二年級學(xué)生口算30+18時的過程描述：30+10=40，40+ 8=48。而如果采用筆算，其運算法則為：數(shù)位對齊，從個位加起，滿十進(jìn)1?？梢钥闯?，口算的解題策略為：十就是十，百就是百，即口算保持相對應(yīng)的數(shù)字和數(shù)位本身的意義。如18中的數(shù)字“1”表示10。而在筆算中，不考慮數(shù)字所在數(shù)位的意義，只是將數(shù)字作為最小單位進(jìn)行計算。如18中的數(shù)字“1”在豎式計算中只是作為1來計算，而不考慮它所代表的是1還是10。同樣的，表達(dá)進(jìn)位的“1”也是相同的，而不管它進(jìn)在十位上，還是百位上。因此，口算被稱為建立在意義基礎(chǔ)上的運算，而筆算則被稱為以規(guī)則為基礎(chǔ)的運算。

其次，二者運算的心理機制不同。口算往往在心里進(jìn)行，每一步計算結(jié)果都儲存在大腦中，因此口算依賴于記憶，而記憶的容量有限，特別是短時記憶，其容量小，保持時間短，這給心理運作造成很大困難和限制。所以口算常用于數(shù)字較小或相對較整的大數(shù)計算，而在處理復(fù)雜較大數(shù)運算時就有一定困難。筆算則是一種程序化的運算，即只要掌握了豎式計算方法，無論數(shù)有多大都可以迎刃而解，大大減少了大腦的記憶負(fù)荷。

再次，口算過程中有更為豐富、多樣的解題策略。如對于42-15這道題，如果放手讓學(xué)生解決，他們可能會想到許多方法：如42-10=32，32-5=27；有的學(xué)生把42看成45，即45-15=30，30-3=27；還有的學(xué)生把15看成20減，即42-20=22，22+5=27……表明了學(xué)生靈活的思維方式。用筆算，則是統(tǒng)一的豎式計算解題模式，方法相對比較單一。

不少教師對口算教學(xué)存在著誤區(qū)，認(rèn)為口算就是簡單的筆算?？谒阋话悴襟E少，運算過程簡單，以至于不必在紙上列豎式就能在頭腦中很快得出結(jié)果，于是把口算看成是簡單的筆算。認(rèn)為口算與筆算無質(zhì)的區(qū)別，而僅是簡單與復(fù)雜的區(qū)別，或是運算時間長短、運算步驟簡繁的區(qū)別。眾所周知，口算是筆算的基礎(chǔ)，筆算能力是在口算能力的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。能熟練地口算，特別是基本口算，對筆算具有重要的作用。但以上比較表明，口算與筆算有很大不同，是兩種相對獨立的運算方式：口算不僅是作為筆算的臺階，更是一種具有獨特思維價值的內(nèi)容，是課程中獨立的部分?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中提到：心算是“用你的腦子去算”，而不是“在你的腦子里算”。

在進(jìn)行口算教學(xué)時，應(yīng)在了解學(xué)生的生活經(jīng)驗和知識背景的前提下，請學(xué)生嘗試用已有的知識去解決問題，同時設(shè)計多種形式練習(xí)，為學(xué)生提供口算的多種思路。

（二）算法與算理和諧統(tǒng)一

學(xué)生理解并掌握算理，是夯實學(xué)生基礎(chǔ)的關(guān)鍵，也是計算教學(xué)的靈魂。加減法教學(xué)的數(shù)學(xué)核心思想是算理：相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減（位值制）；十進(jìn)制的規(guī)則。對于低年級學(xué)生的計算教學(xué)，教師不適合程式化敘述“算理”，而更應(yīng)該尊重學(xué)生的個性發(fā)展，使一部分學(xué)生通過直觀操作理解算理，使一部分學(xué)生運用知識的遷移、類推規(guī)律獲取新知識。

【案例】 “兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)（不進(jìn)位）”

新授： 1. 你想怎樣來計算45+30呢？你能和同桌說說是怎樣算的嗎？

2. 學(xué)生活動、小組交流。

3. 匯報方法。

（1）擺小棒算：4捆和3捆合起來是7捆，再加5根是75根。

師追問：4捆和3捆合起來是7捆，也就是先算多少加多少？（40+30=70）

（2）撥計數(shù)器算：先撥45，再在十位上撥3顆珠，合起來是75。

師追問：為什么要在十位上撥3顆珠？根據(jù)撥珠過程，思考先算的是什么？（40+30=70）

（3）直接口算：40+30=70 70+5=75

4. 教師小結(jié)：比較這三種算法，有什么相同的地方？（都是先算40+30=70，再算70+5=75）計算兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)，可以先算十位上的數(shù)，再加個位上的數(shù)。

把操作活動與知識教學(xué)緊密聯(lián)系起來，幫助學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)思維外顯為直觀的活動。加上教師的不斷追問與引導(dǎo)，溝通小棒操作、計數(shù)器演示和抽象敘述之間的聯(lián)系。逐步把學(xué)生的思維引向深入，實現(xiàn)對知識的意義建構(gòu)。這一過程正符合布魯納“三個操作”的認(rèn)知理論。

這一過程，正是數(shù)學(xué)化的過程。在具體、半具體和半抽象、抽象之間的鋪排，是穿行于實物與算式之間的形式化過渡。計算教學(xué)要在領(lǐng)悟算理的基礎(chǔ)上掌握算法，最后形成計算技能，不明白算理的算法是機械的算法，其計算技能的形成是不牢固的。尋求算理算法的平衡點是當(dāng)前計算教學(xué)的關(guān)鍵。

（三）算法多樣化與優(yōu)化思想的巧妙融合

數(shù)學(xué)是講“優(yōu)化”的，算法“優(yōu)化”的含意是要求尋找最簡捷、最容易、速度快的方法。計算方法的多樣化如果是體現(xiàn)在同一層面上的方法可以遵循學(xué)生的個體意愿進(jìn)行選擇。如20以內(nèi)的退位減法，可以讓學(xué)生用做減相加的方法來計算，也可以采用破十法來計算。這兩種方法沒有很明顯的優(yōu)劣之分，教師可以讓學(xué)生自由選擇。但一般情況下，總有個最基本、最一般或最佳的算法。教學(xué)中，教師有責(zé)任引導(dǎo)學(xué)生去比較、去評價，并使大家掌握那些公認(rèn)的更好、更一般的算法，以便舉一反三，否則就失去了教育的功能。此外，把多種算法進(jìn)行優(yōu)化，可以幫助學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生適當(dāng)掌握較理想的一種算法，而不至于一節(jié)課下來，什么方法也沒有學(xué)會。

三、發(fā)展的課堂教學(xué)策略

（一）簡單情境，生成精彩數(shù)學(xué)

情境的創(chuàng)設(shè)是新課改帶給計算教學(xué)的生機，它改變了傳統(tǒng)計算教學(xué)的枯燥、乏味，使計算教學(xué)與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系起來，但是情境的豐富多彩也要我們教師理性思考、合理引導(dǎo)，否則就會失去實際意義。

如在教學(xué)9加幾時，就可以創(chuàng)設(shè)小猴買桃子的情境，盒子有10個格子，里面有9個桃子，外面有3個桃子，算算一共有幾個。這樣的情境便于學(xué)生通過操作來探索計算的方法，盒子里的十個格子讓學(xué)生容易想到先湊滿十，在加兩個的方法。如果把這個情境里有格子的盒子換成籃子，效果就會差很多。創(chuàng)設(shè)情境的重要目的是為計算教學(xué)服務(wù)，它還具有幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，拓展數(shù)學(xué)思維的作用。千萬不可為創(chuàng)設(shè)而創(chuàng)設(shè)。endprint

（二）尊重個性，自我鑒別優(yōu)化

美國心理學(xué)家華萊士指出，學(xué)生顯著的個體差異，在教學(xué)中必將導(dǎo)致學(xué)生創(chuàng)造能力、創(chuàng)造性人格的顯著差異。因此，教師調(diào)控教學(xué)內(nèi)容時必須在知識的深度和廣度上分層次教學(xué)，盡可能地采用多樣化的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)指導(dǎo)策略；在教學(xué)評價上要承認(rèn)學(xué)生的個體差異，對不同程度、不同性格的學(xué)生提出不同的學(xué)習(xí)要求。學(xué)生教學(xué)34+26的計算方法時，出現(xiàn)了兩種情況，一種是從十位加起：十位上3+1=4，個位4+6=10，滿10，向十位進(jìn)1，個位寫0，并把十位上的4改成5；另一種是從個位上加起：個位上4+6=10，向十位進(jìn)1，個位上寫0，并記住十位上要多加1，十位上3+1=4，再加上個位上的1，是5。

教師組織討論：你認(rèn)為先從個位加起比較方便，還是先從十位加起比較方便？通過討論交流，班內(nèi)大部分學(xué)生都選擇了先從個位加起，因為學(xué)生從比較中已經(jīng)能明顯感受到從個位加起的優(yōu)越性，但還是有十幾個學(xué)生堅持從十位算起。之后教師又（下轉(zhuǎn)37頁）（上接35頁）多次組織學(xué)生計算，并交流比較計算過程，但仍有7、8位學(xué)生堅持從十位算起，而且他們的計算速度和正確率并不落后。

事后教師與之交流，學(xué)生認(rèn)為從個位加起也可以，他們同樣認(rèn)同這個方法，但是他們并不覺得從十位加起麻煩，而且他們對這種方法也有自己的完善方式。

不同的學(xué)生選擇不同的方式來對算法進(jìn)行建構(gòu)，學(xué)生中自然地形成了一些個性化算法。反思優(yōu)化過程，則應(yīng)注重激發(fā)學(xué)生主體的內(nèi)在需要，讓學(xué)生自己通過交流、比較、鑒別等，來對自己的算法進(jìn)行調(diào)整、優(yōu)化。對于依然堅持自己個性化算法的學(xué)生，教師也應(yīng)該辨證地看待。如在估算練習(xí)中，28+24、14+35、19+30、26+27，你能看出哪幾題得數(shù)是五十多？明顯就能感覺到先從十位加起，其估算意識、速度和正確率都要超過其他學(xué)生。

（三）夯實基礎(chǔ)，回歸理性教學(xué)

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：口算既是筆算、估算和簡算的基礎(chǔ)。也是計算能力的重要組成部分?？谒隳芰Φ母叩蛯⒅苯佑绊懼?、高年級計算能力的形成。對于我們低年級來說，主要是培養(yǎng)學(xué)生的口算能力。低年級口算不僅要正確，還要有一定的速度，這就要求教師要做口算訓(xùn)練的有心人。

數(shù)學(xué)是一種思維工具，數(shù)學(xué)思維具有邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、高度的抽象性和概括性、豐富的直覺與想象等特征。這種思維特征能較好地錘煉學(xué)生的思維能力、凸顯學(xué)習(xí)個性。教師在平時的教學(xué)中，應(yīng)加強學(xué)生的科學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和辯證思維能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)，使學(xué)生在當(dāng)今和未來的社會中，面對紛繁復(fù)雜的信息作出正確的選擇與判斷，為其終生可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

如學(xué)了20以內(nèi)進(jìn)位加法后，可以讓學(xué)生填空9+ （ ）=（ ），不同的學(xué)生可以填出不同的算式，一個、兩個都可以，在匯報交流的過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察討論，與9相加的另一個加數(shù)和得數(shù)有什么特點，學(xué)生通過觀察、分析、判斷找到規(guī)律，得數(shù)的個位上的數(shù)比另一個加數(shù)少了1，接著讓學(xué)生思考為什么少了1，學(xué)生明白了道理后反過來利用這個規(guī)律可以熟練這一部分計算題的計算。通過教師精心設(shè)計的一個習(xí)題，以及環(huán)環(huán)相扣的課堂提問，誘發(fā)和激活了學(xué)生的思維。引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)交流中不斷觀察、分析、思考，在討論、表達(dá)中促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維活動，使數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)得到培養(yǎng)，數(shù)學(xué)思維能力得到提高。

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