一類帶有時間平均的隨機偏微分方程

王丙均,袁明霞

(1．金陵科技學(xué)院公共基礎(chǔ)課部,江蘇 南京 211169； 2．南京大學(xué)金陵學(xué)院基礎(chǔ)部,江蘇 南京 210089)

盡管有效市場假說說明所有可以用到的信息都反映在股票當前時刻的價格中，以前的股票價格的各種波動不會帶來什么信息，然而股票的一些統(tǒng)計信息，確實可以反映股票的一些行為。Kloeden and Lorenz[1]研究了如下的隨機微分方程

d(x(t))=f(t,x(t),Ex(t),Ex2(t))dt+g((t,x(t),Ex(t),Ex2(t))dW(t)。

即方程的解的不僅僅依賴于自身而且依賴于其期望和二階矩,見文獻[2—3]。但是期望和二階矩這些數(shù)字特征不容易得到。所以這些年來，帶有時間平均的隨機微分方程在金融模型中的應(yīng)用吸引了越來越多的關(guān)注，因為時間平均非常易于得到，實用性很強。這類問題的一些研究成果可以在文獻[4-10]找到。例如文獻[10]研究了帶有時間平均的隨機微分方程

1 預(yù)備知識

令(U,‖‖U)，(H,‖‖)分別為可分的希爾伯特空間;L2(U,H)為所有的從U到H的Hilbert-Schmidt 算子構(gòu)成的空間;W(t),t≥0為定義在概率空間(Ω,F,P)上的一個U值柱形布朗運動;Ft,t≥0為(Ω,F,P)上自然域流。記為 ‖‖L2:=‖‖L2(U,H),‖‖:=‖‖H。

帶有時間平均的無窮維隨機偏微分方程

(1)

‖S(t)‖≤M

(2)

引理1[11]假設(shè) φ(t),t≥0為一個 L2(U,H)值可料過程,則對與任意的p≥2，存在常數(shù) C(p,T)>0，使得

2 溫和解的存在性和唯一性

為了證明溫和解的存在唯一性,做出如下假設(shè),形式上和傳統(tǒng)的李普希茲條件和線性增長條件類似。

(H1)(李普希茲條件) 存在一個正的常數(shù)k使得對于所有的x,x1,y,y1∈H和t∈[0,T]，有

‖f(t,x,y)-f(t,x1,y1)‖∨‖g(t,x,y)-g(t,x1,y1)‖L2≤k(‖x-x1‖+‖y-y1‖)

定義H值的過程x(t),t∈[0,T] 稱為是(1)的溫和解，若其對每個t∈[0,T]，滿足

(3)

證明首先，假設(shè)x(t)是方程(1)的一個溫和解,初值為x(0)=x0。來證明(3)的正確性。

利用引理1,Holder不等式,(H2),Jensen不等式 和(2),有

利用Gronwall’s 不等式,得

接下來,將證明方程的溫和解的存在性和唯一性。

定義一個空間Π,其上的范數(shù)記為‖‖Π，

(4)

其中α>0?？梢则炞CΠ是一個Banach空間(見[10])。注意到由(4),可以得到

(5)

對x∈Π定義算子

要證明方程(1)的溫和解的存在唯一性等價于尋找算子Ψ在Banach空間Π中的不動點。

令x(t)∈Π，和(3)的證明類似，有

利用(5)得

所以Ψ:Π→Π。

接下來將證明Ψ:Π→Π是一個壓縮算子。令x,y∈Π,由引理1,Holder 不等式,(H1),Jensen 不等式和(5),有

其中b=(4T)p-1Mpkp+4p-1MpkpC(p,T)。

則

其中

顯然,ρ(α)>0和 ρ(∞)=0，選取 α充分的大，使得 ρ(α)∈(0,1)，則可以得到

‖Ψx-Ψy‖Π≤ρ(α)‖x-y‖Π

這說明Ψ:Π→Π是一個壓縮映射,由Banach不動點定理,存在唯一的x(t)∈Π，使得Ψx(t)=x(t),t∈[0,T]，這就是方程(1)的溫和解。

3 結(jié) 語

本文在Yin和Wu工作的基礎(chǔ)上[10]，將有限維空間中帶有時間平均的隨機微分方程，推廣到無窮維空間中，且為隨機偏微分方程。在參數(shù)滿足一定的條件下,證明了溫和解的存在唯一性。

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