基于最近點配準的精密零件線輪廓度誤差評定

李 新 秦 潔 劉 輝 / 江蘇省計量科學(xué)研究院

基于最近點配準的精密零件線輪廓度誤差評定

李 新 秦 潔 劉 輝 / 江蘇省計量科學(xué)研究院

提出一種基于最近點配準的評定方法。利用黃金分割法尋找實測點所對應(yīng)的理論曲線上的最近點，再用奇異值分解求實測點與最近點配準中需要的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣，從而實現(xiàn)實測點與最近點的配準，在此基礎(chǔ)上對線輪廓度誤差進行計算。實驗結(jié)果表明該方法可以高效地對精密零件的線輪廓度誤差進行評定。

線輪廓度誤差；最近點配準；黃金分割法；奇異值分解

0 引言

對精密零件的線輪廓誤差進行評定，一直是幾何量計量領(lǐng)域中的一個重要研究內(nèi)容。隨著對機械產(chǎn)品質(zhì)量要求的日益嚴格，機械零件幾何要素的形位公差也日益提高。三坐標測量機的廣泛使用使得精密零件形位誤差的測量成為現(xiàn)代生產(chǎn)過程中的一個十分關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，如何正確快速地測量和評定形位誤差，對提高生產(chǎn)率和產(chǎn)品質(zhì)量起著至關(guān)重要的作用。

三坐標測量機對精密零件的輪廓進行測量，測得的數(shù)據(jù)為一系列離散數(shù)據(jù)點的坐標，這些數(shù)據(jù)點被稱為實測點，用來表示被測輪廓的實際形狀。理論要素由零件的CAD圖形給出，通常也為離散點。由于理論數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)都用離散點表示，且相互之間不具有一一對應(yīng)關(guān)系，這使得評定其輪廓誤差非常困難。評定時，可將CAD點云通過NURBS（非有理B樣條）方法插值成連續(xù)曲線，再將實測點對該曲線做評定。在實際生產(chǎn)中，用坐標法測量線輪廓度時，測量基準與設(shè)計基準不可能完全重合，這種位置誤差會對輪廓度誤差評定結(jié)果產(chǎn)生影響，從而降低評定準確度[1]。為了減小這種誤差，必須對實測點與理論要素進行配準。文獻[2]提出了坐標輪換法對實測點進行配準，并用法矢定界法求點到曲線的距離。文獻[3]利用曲率計算獲得與實測要素對應(yīng)的理論要素特征，并使用奇異值分解和最近點迭代相結(jié)合的方法進行配準。文獻[4]應(yīng)用最小二乘法和條件約束優(yōu)化方法來評定線輪廓度誤差。文獻[5]提出用擬粒子群優(yōu)化算法來實現(xiàn)被測曲面與設(shè)計曲面的配準問題，并采用輪廓峰谷誤差和輪廓均方根誤差綜合評定輪廓度誤差。

本文提出了基于最近點配準的評定方法，首先采用黃金分割法尋求實測點所對應(yīng)的最近點，然后利用奇異值分解來配準實測點與理論點，從而實現(xiàn)線輪廓度誤差的評定。

1 線輪廓度誤差評定方法

線輪廓度是表示在零件的給定平面上，任意形狀的曲線保持理想形狀的狀況。線輪廓度誤差是指實際輪廓線對理想輪廓線的變動量。 線輪廓度誤差的評定常用兩種方法：最小區(qū)域法和最小二乘法。最小區(qū)域法指被測實際要素對其理想要素的最大變動量為最小的一種評定方法；最小二乘法是指被測實際要素上各點至其理想要素的距離的平方和為最小的一種方法[6]。

精密零件線輪廓度誤差的評定，仍然要按照最小區(qū)域或最小二乘法原則來進行。最小區(qū)域法是評定線輪廓度誤差的最好方法，但實現(xiàn)最小區(qū)域比較困難，因此最小二乘評定法仍然具有實際價值和重要的作用。最小二乘法具有計算簡便、易于實現(xiàn)的優(yōu)點，同時其計算結(jié)果與最小條件的計算結(jié)果非常接近，與最小區(qū)域法相比雖然存在一定的誤差，但是完全能滿足實際工作的要求，因而在形狀誤差評定中被廣泛采用。本文采用最小二乘法來評定精密零件的輪廓度誤差。

另外，要確定實際要素對其理論要素的變動量的大小，首先要確定理論要素的位置。所選的理論要素的位置不同，獲得的形狀誤差值也不同。顯然，最小二乘法的滿足與理論要素的位置有關(guān)，必須根據(jù)理論曲線與實測點進行配準，即對實測點的位置進行調(diào)整，使各點到其理想要素的距離的平方和為最小。因此，必須對實測點進行旋轉(zhuǎn)、平移變換，得到最近點。設(shè)點集為實測點，為變換后的最近點，為與pi對應(yīng)的理論點，其中i= 1，2，…，N，有：

式中：R— 旋轉(zhuǎn)矩陣；

T— 平移矩陣；

di— 實測點到理論點的距離

最小二乘法的核心就是找到合適的R和T，從而最小化E2[7]。在此基礎(chǔ)上，線輪廓度誤差為

2 計算測量點到理論曲線的最近點

線輪廓度誤差的評定首先要找到三坐標測量機的實測點到CAD中理論曲線法向距離最小的點，即在理論曲線上尋找與該實測點之間的距離最近的理論點，簡稱為最近點。

由于從CAD圖形中獲得的輪廓曲線是由樣條插值而成，因此曲線是分段的，要求每一個實測點在理論曲線上的對應(yīng)點，可以對整個三次樣條曲線分段考慮。若實測輪廓與理論輪廓之間的位置偏差較大，采用計算每個測量點到各個理論曲線段的距離，然后取其中的最小值作為實測點的理論曲線的距離，取得此最小值時的理論曲線上的點即為該實測點的對應(yīng)點。實際上，對精密零件使用三坐標測量機測量時，一般會盡量選取與CAD圖形中相同的基準，所以實測輪廓與理論輪廓的偏差不會非常大，可以先搜索與某一個實測點最接近的理論曲線段。確定了實測點對應(yīng)的理論曲線段后，進一步搜索對應(yīng)點，表面上這是一個二維優(yōu)化問題，但可以將其轉(zhuǎn)化為一維優(yōu)化，優(yōu)化的目標函數(shù)為

其中，f(x) 為實測點函數(shù)；f*(x*)為理論曲線函數(shù)。這兩個函數(shù)都是已知的。通過黃金分割法來尋求函數(shù)d(x)的極小點，基本思想是在搜索區(qū)間[a, b]上選取兩個對稱點λ1、λ2（λ1＜λ2），通過比較這兩個點處的函數(shù)值d（λ1）、d（λ2）的大小來決定刪除左半?yún)^(qū)間[a，λ1），還是刪除右半?yún)^(qū)間（λ2，b]，刪除后新的區(qū)間的長度是原區(qū)間的0.618倍，新區(qū)間包含原區(qū)間中兩個對稱點中的一點，關(guān)于這個點再選取一個對稱點，根據(jù)新的兩對稱點處的函數(shù)值來決定新區(qū)間的刪除。重復(fù)上述過程，直到b(k+1)-a(k+1)＜ε為止（ε＞ 0為事先指定的準確度），最后根據(jù)最終區(qū)間中的兩個對稱點的函數(shù)值來確定極小點λ*。這樣就可以找到最近點x=λ*，同時也可以容易地得到對應(yīng)的距離d(λ*)。

3 最近點配準算法

為了減少算法復(fù)雜度，提高計算效率，一般采用非迭代的方法進行計算，本文采用奇異值分解（SVD）進行求解，并對該算法可以獲得最小二乘解進行證明。

3.1 算法過程

設(shè)實測點為 {pi}，通過計算獲得的最近點為{ci}；i= 1，2，…，N，其中，pi和ci都為2×1矩陣。根據(jù)式（1）和（2），可知，一定存在

式中：R— 2×2的旋轉(zhuǎn)矩陣；

T— 2×1的平移矩陣

因此，最小二乘法評定線輪廓度的目標是找到R和T使得最小。假設(shè)已經(jīng)獲得了最小二乘解，則有。令三個點集的質(zhì)心分別為。那么在一定誤差允許的情況下，ci的矩陣質(zhì)心與的矩陣質(zhì)心應(yīng)該相等，即。

令:qi=pi-P，，可推導(dǎo)出：

利用奇異值分解（SVD）的方法求旋轉(zhuǎn)矩陣。

其中H表示矩陣轉(zhuǎn)置。對矩陣S進行奇異值分解：

其行列式為det（z）。如果det（z）= + 1，則=Z；如果det（z）= -1，則該算法失?。ㄟ@種情況不常見）。又有，這樣就獲得了旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣，也可求出配準后的點集。

3.2 算法證明

非迭代法需要證明通過一次SVD就可以獲得最小二乘解，證明如下。

擴展式（7）的右半部分：

因此，最小化E2即等價于最大化

由引理1：對于任意一個正定矩陣AAH，和任意一個正交矩陣B，有Trace(AAH) ≥Trace(BAAH)[8]。

因為S=UVH，其中U和V都是2×2 的正交矩陣，是一個2×2非負對角矩陣?，F(xiàn)在令：Z=VUH，Z為正交矩陣，有

該矩陣為對稱且正定的。因此，根據(jù)引理1，對于任意的矩陣B，有

因此，在所有的2×2的正交矩陣中，Z最大化了F，所以R=Z，證畢。

4 實驗驗證

為了驗證方法的有效性，以Matlab為計算平臺，使用Leitz三坐標測量機對一精密圓柱塞規(guī)的橫截面輪廓度進行驗證（圖1）。理論輪廓度可以從檢具的CAD圖形中獲得。檢具的橫截面為一個半徑為17.2 mm的圓，實驗中使用三坐標測量機在需要測量的截面取16個點，根據(jù)這16個點利用本文第二節(jié)描述的黃金分割法（設(shè)準確度ε= 1×10-7）求理論曲線上的最近點。實測點和最近點的坐標如表1所示。部分實測點在理論曲線內(nèi)，部分實測點在理論曲線外，如圖2所示。需要將實測點點集進行配準，以獲得實測點到其最近點的最小二乘距離。

圖1 三坐標測量機測量精密零件

表1 實測點與最近點的坐標 單位：mm

計算R的行列式，det(R) = +1，可以進行運算。轉(zhuǎn)換后的實測點的坐標如表2所示。

經(jīng)過變換后得到一組新的實測點，計算實測點到最近點的最大距離max (d*i) 為0.026 581 mm。這樣就可以計算檢具的輪廓度誤差為M= 2 max (d*i) = 0.053 162 mm。實驗結(jié)果表明本文所提出的方法可以高效地對精密零件線輪廓度誤差進行評定。

圖2 理論曲線、實測點和最近點

表2 轉(zhuǎn)換后的實測點坐標 單位：mm

5 結(jié)語

針對精密零件的線輪廓度誤差評定，本文提出了一種基于最近點配準的方法。該方法利用黃金分割法尋找實測點對應(yīng)的最近點，再利用SVD求實測點與最近點配準中需要的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣，可以獲得最小二乘解。實驗結(jié)果表明該方法可以準確高效地對精密零件的線輪廓度誤差進行評定，有較好的實用性。

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Linear profile error evaluation based on the closest point registration for precision parts

Li Xin，Qin Jie，Liu Hui
（Jiangsu Institute of Metrology）

This paper proposed an evaluation method based on the closest point registration. This method used the Golden Section Method to find the closest point on the nominal curve, and use Singular Value Decomposition to obtain the rotation matrix and the translation matrix, thus achieved the registration between the measure points and the nominal points. On this basis, the linear profile error evaluation could be implemented. Experimental results show that the proposed method is capable to evaluate the linear pro fi le error of precision parts ef fi ciently.

linear profile error; the closest point registration; golden section method; singular value decomposition