梁彎曲變形中關(guān)于幾何關(guān)系推導(dǎo)的教學(xué)探討

胡育佳

摘要：在梁彎曲變形中，幾何關(guān)系的研究是材料力學(xué)教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，然而在大多數(shù)材料力學(xué)的教材中，往往對這部分的說明過于簡單，特別是在幾何關(guān)系數(shù)學(xué)模型的建立上，存在很大的跨度，給教師的授課和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困擾，甚至產(chǎn)生困惑。本文將嚴(yán)格從微分幾何關(guān)系和小變形基本假設(shè)出發(fā)，建立在小變形情況下梁彎曲變形的幾何關(guān)系。這種推導(dǎo)方式在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格，容易讓學(xué)生理解，具有一定的教學(xué)推廣意義。

關(guān)鍵詞：彎曲變形；幾何關(guān)系；微分幾何

中圖分類號：G642.0？搖 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0282-02

一、傳統(tǒng)的推導(dǎo)方式[1，2]

在小變形假設(shè)條件下，討論梁的彎曲變形，以變形前梁的軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸（圖1），xy平面為梁的縱向?qū)ΨQ面。在對稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy平面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。撓曲線上橫坐標(biāo)為的x任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)用u來表示，它代表坐標(biāo)為x的橫截面的形心沿y方向的位移，稱為撓度。彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度θ，稱為截面轉(zhuǎn)角。根據(jù)平面假設(shè)，彎曲變形前垂直于軸線（x軸）的橫截面，變形后仍然垂直于撓曲線。所以，截面轉(zhuǎn)角θ就是y軸與撓曲線的夾角。它應(yīng)等于撓曲線的傾角，即等于x軸與撓曲線的夾角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小變形情況下，截面轉(zhuǎn)角θ是一個小量，則：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ為平面梁截面處任意位置的曲率半徑。公式（1）和（2）即為小變形情況下，平面直梁彎曲的幾何關(guān)系。

二、嚴(yán)格的推導(dǎo)方式

從上面的公式推導(dǎo)可以看出，公式（1）的得到并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，完全從圖1和相應(yīng)的假設(shè)近似得到，這不但給任課教師的課堂講授帶來困難，也給學(xué)生對梁的幾何關(guān)系的理解帶來了很大的困惑。下面我們將采用微分幾何的方法對具有任意構(gòu)型的平面曲梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，得到這類曲梁結(jié)構(gòu)在小變形情況下的幾何關(guān)系，進(jìn)一步退化得到平面直梁在小變形情況下的幾何關(guān)系，即公式（1）和（2）。

假設(shè)l是曲梁的初始長度，w0（s）和u0（s）分別是曲梁任意位置處x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁軸向的弧坐標(biāo)。并且假設(shè)曲梁的初始構(gòu)形所占有的區(qū)域為（圖2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始構(gòu)形上任意點(diǎn)C（w0，s+u0）處的切線和x軸之間的夾角。將公式（3）中的函數(shù)對弧長s求導(dǎo)得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起見，假設(shè)曲梁在外載荷的作用下，變形前初始構(gòu)形Γ0上任意一點(diǎn)C（w0，s+u0）移動到點(diǎn)C'（w0+w，s+u0+u）處，曲梁變形后的構(gòu)形所占有區(qū)域為

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分別變形后曲梁上任意一點(diǎn)在x和y方向的位移（圖2）。忽略梁變形前后軸線的伸長，將公式（5）中的函數(shù)對弧長s求導(dǎo)得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

將公式（4）帶入公式（6），可以得到曲梁的幾何關(guān)系為：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

當(dāng)研究對象為直梁時，即將θ0=0帶入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小變形忽略軸向變形的情況下，有tanθ≈θ，■≈0，則幾何關(guān)系（公式（9））可以進(jìn)一步表示為：

■=θ≈■ （10）

從公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推導(dǎo)結(jié)果是與傳統(tǒng)的推導(dǎo)結(jié)果是一致的。

三、結(jié)論

在梁的彎曲變形中，關(guān)于幾何關(guān)系的推導(dǎo)對于學(xué)生理解梁的彎曲變形有著重要的意義，傳統(tǒng)的教學(xué)上，對這部分內(nèi)容討論不全面，給教師的授課和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困擾。本文嚴(yán)格從微分幾何關(guān)系和小變形基本假設(shè)出發(fā)，通過退化得到了梁彎曲變形中的幾何關(guān)系。這種推導(dǎo)方式在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格，使學(xué)生容易理解，具有一定的教學(xué)推廣意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint

摘要：在梁彎曲變形中，幾何關(guān)系的研究是材料力學(xué)教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，然而在大多數(shù)材料力學(xué)的教材中，往往對這部分的說明過于簡單，特別是在幾何關(guān)系數(shù)學(xué)模型的建立上，存在很大的跨度，給教師的授課和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困擾，甚至產(chǎn)生困惑。本文將嚴(yán)格從微分幾何關(guān)系和小變形基本假設(shè)出發(fā)，建立在小變形情況下梁彎曲變形的幾何關(guān)系。這種推導(dǎo)方式在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格，容易讓學(xué)生理解，具有一定的教學(xué)推廣意義。

關(guān)鍵詞：彎曲變形；幾何關(guān)系；微分幾何

中圖分類號：G642.0？搖 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0282-02

一、傳統(tǒng)的推導(dǎo)方式[1，2]

在小變形假設(shè)條件下，討論梁的彎曲變形，以變形前梁的軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸（圖1），xy平面為梁的縱向?qū)ΨQ面。在對稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy平面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。撓曲線上橫坐標(biāo)為的x任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)用u來表示，它代表坐標(biāo)為x的橫截面的形心沿y方向的位移，稱為撓度。彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度θ，稱為截面轉(zhuǎn)角。根據(jù)平面假設(shè)，彎曲變形前垂直于軸線（x軸）的橫截面，變形后仍然垂直于撓曲線。所以，截面轉(zhuǎn)角θ就是y軸與撓曲線的夾角。它應(yīng)等于撓曲線的傾角，即等于x軸與撓曲線的夾角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小變形情況下，截面轉(zhuǎn)角θ是一個小量，則：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ為平面梁截面處任意位置的曲率半徑。公式（1）和（2）即為小變形情況下，平面直梁彎曲的幾何關(guān)系。

二、嚴(yán)格的推導(dǎo)方式

從上面的公式推導(dǎo)可以看出，公式（1）的得到并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，完全從圖1和相應(yīng)的假設(shè)近似得到，這不但給任課教師的課堂講授帶來困難，也給學(xué)生對梁的幾何關(guān)系的理解帶來了很大的困惑。下面我們將采用微分幾何的方法對具有任意構(gòu)型的平面曲梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，得到這類曲梁結(jié)構(gòu)在小變形情況下的幾何關(guān)系，進(jìn)一步退化得到平面直梁在小變形情況下的幾何關(guān)系，即公式（1）和（2）。

假設(shè)l是曲梁的初始長度，w0（s）和u0（s）分別是曲梁任意位置處x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁軸向的弧坐標(biāo)。并且假設(shè)曲梁的初始構(gòu)形所占有的區(qū)域為（圖2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始構(gòu)形上任意點(diǎn)C（w0，s+u0）處的切線和x軸之間的夾角。將公式（3）中的函數(shù)對弧長s求導(dǎo)得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起見，假設(shè)曲梁在外載荷的作用下，變形前初始構(gòu)形Γ0上任意一點(diǎn)C（w0，s+u0）移動到點(diǎn)C'（w0+w，s+u0+u）處，曲梁變形后的構(gòu)形所占有區(qū)域為

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分別變形后曲梁上任意一點(diǎn)在x和y方向的位移（圖2）。忽略梁變形前后軸線的伸長，將公式（5）中的函數(shù)對弧長s求導(dǎo)得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

將公式（4）帶入公式（6），可以得到曲梁的幾何關(guān)系為：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

當(dāng)研究對象為直梁時，即將θ0=0帶入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小變形忽略軸向變形的情況下，有tanθ≈θ，■≈0，則幾何關(guān)系（公式（9））可以進(jìn)一步表示為：

■=θ≈■ （10）

從公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推導(dǎo)結(jié)果是與傳統(tǒng)的推導(dǎo)結(jié)果是一致的。

三、結(jié)論

在梁的彎曲變形中，關(guān)于幾何關(guān)系的推導(dǎo)對于學(xué)生理解梁的彎曲變形有著重要的意義，傳統(tǒng)的教學(xué)上，對這部分內(nèi)容討論不全面，給教師的授課和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困擾。本文嚴(yán)格從微分幾何關(guān)系和小變形基本假設(shè)出發(fā)，通過退化得到了梁彎曲變形中的幾何關(guān)系。這種推導(dǎo)方式在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格，使學(xué)生容易理解，具有一定的教學(xué)推廣意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint

摘要：在梁彎曲變形中，幾何關(guān)系的研究是材料力學(xué)教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，然而在大多數(shù)材料力學(xué)的教材中，往往對這部分的說明過于簡單，特別是在幾何關(guān)系數(shù)學(xué)模型的建立上，存在很大的跨度，給教師的授課和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困擾，甚至產(chǎn)生困惑。本文將嚴(yán)格從微分幾何關(guān)系和小變形基本假設(shè)出發(fā)，建立在小變形情況下梁彎曲變形的幾何關(guān)系。這種推導(dǎo)方式在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格，容易讓學(xué)生理解，具有一定的教學(xué)推廣意義。

關(guān)鍵詞：彎曲變形；幾何關(guān)系；微分幾何

中圖分類號：G642.0？搖 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0282-02

一、傳統(tǒng)的推導(dǎo)方式[1，2]

在小變形假設(shè)條件下，討論梁的彎曲變形，以變形前梁的軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸（圖1），xy平面為梁的縱向?qū)ΨQ面。在對稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy平面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。撓曲線上橫坐標(biāo)為的x任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)用u來表示，它代表坐標(biāo)為x的橫截面的形心沿y方向的位移，稱為撓度。彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度θ，稱為截面轉(zhuǎn)角。根據(jù)平面假設(shè)，彎曲變形前垂直于軸線（x軸）的橫截面，變形后仍然垂直于撓曲線。所以，截面轉(zhuǎn)角θ就是y軸與撓曲線的夾角。它應(yīng)等于撓曲線的傾角，即等于x軸與撓曲線的夾角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小變形情況下，截面轉(zhuǎn)角θ是一個小量，則：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ為平面梁截面處任意位置的曲率半徑。公式（1）和（2）即為小變形情況下，平面直梁彎曲的幾何關(guān)系。

二、嚴(yán)格的推導(dǎo)方式

從上面的公式推導(dǎo)可以看出，公式（1）的得到并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，完全從圖1和相應(yīng)的假設(shè)近似得到，這不但給任課教師的課堂講授帶來困難，也給學(xué)生對梁的幾何關(guān)系的理解帶來了很大的困惑。下面我們將采用微分幾何的方法對具有任意構(gòu)型的平面曲梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，得到這類曲梁結(jié)構(gòu)在小變形情況下的幾何關(guān)系，進(jìn)一步退化得到平面直梁在小變形情況下的幾何關(guān)系，即公式（1）和（2）。

假設(shè)l是曲梁的初始長度，w0（s）和u0（s）分別是曲梁任意位置處x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁軸向的弧坐標(biāo)。并且假設(shè)曲梁的初始構(gòu)形所占有的區(qū)域為（圖2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始構(gòu)形上任意點(diǎn)C（w0，s+u0）處的切線和x軸之間的夾角。將公式（3）中的函數(shù)對弧長s求導(dǎo)得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起見，假設(shè)曲梁在外載荷的作用下，變形前初始構(gòu)形Γ0上任意一點(diǎn)C（w0，s+u0）移動到點(diǎn)C'（w0+w，s+u0+u）處，曲梁變形后的構(gòu)形所占有區(qū)域為

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分別變形后曲梁上任意一點(diǎn)在x和y方向的位移（圖2）。忽略梁變形前后軸線的伸長，將公式（5）中的函數(shù)對弧長s求導(dǎo)得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

將公式（4）帶入公式（6），可以得到曲梁的幾何關(guān)系為：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

當(dāng)研究對象為直梁時，即將θ0=0帶入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小變形忽略軸向變形的情況下，有tanθ≈θ，■≈0，則幾何關(guān)系（公式（9））可以進(jìn)一步表示為：

■=θ≈■ （10）

從公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推導(dǎo)結(jié)果是與傳統(tǒng)的推導(dǎo)結(jié)果是一致的。

三、結(jié)論

在梁的彎曲變形中，關(guān)于幾何關(guān)系的推導(dǎo)對于學(xué)生理解梁的彎曲變形有著重要的意義，傳統(tǒng)的教學(xué)上，對這部分內(nèi)容討論不全面，給教師的授課和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困擾。本文嚴(yán)格從微分幾何關(guān)系和小變形基本假設(shè)出發(fā)，通過退化得到了梁彎曲變形中的幾何關(guān)系。這種推導(dǎo)方式在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格，使學(xué)生容易理解，具有一定的教學(xué)推廣意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint