非線性離散共振Schr?dinger 系統(tǒng)的非平凡解

高 麗，張福偉，劉進(jìn)生

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原030024)

本文研究非線性離散共振Schr?dinger 系統(tǒng)

非平凡解的存在性，其中N(≥3)是給定的整數(shù)，離散區(qū)間［1，N］= {1，2，…，N}，△是向前差分算子，即△u(k)= u(k + 1)－ u(k)，△2u(k)=△(△u(k))，λ1，λ2是給定的常數(shù)，非線性項(xiàng)F ∈C2(R2，R1)，滿足F(0)=0，▽F(0)=0，從而u = v = 0 是系統(tǒng)(1)的解．

用M2表示所有二階實(shí)對(duì)稱矩陣的全體. 由假設(shè)條件，利用泰勒公式，容易知道

其中:

全文假設(shè)非線性項(xiàng)F 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)滿足漸近線性條件，即存在H∞∈M2，使得

的特征值為λi(* )(見定理7)，i = 1，2，…，2N，其中負(fù)特征值的個(gè)數(shù)記為μ*，零特征值的個(gè)數(shù)記為ν*． 如果ν*≠0，則稱系統(tǒng)(1)在* 點(diǎn)處是共振的，否則稱其為非共振的．

假設(shè)條件為:

(F±0)存在δ ＞0，使得對(duì)任意的| z|≤δ 都在± (2F(z)－ zTH0z)≥0．

本文的主要結(jié)論為:

定理1 如果ν0= 0，ν∞= 0，并且μ0≠μ∞，則系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非平凡解．

定理2 如果ν0= 0，ν∞≠0，μ∞≥1，并且μ0≠μ∞，則當(dāng)(F+∞)滿足時(shí)，系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非平凡解．

定理3 如果ν0= 0，ν∞≠0，2N － (μ∞+

ν∞)≥1，并且μ0≠2N － (μ∞+ ν∞)，則當(dāng)(F－∞)滿足時(shí)，系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非平凡解．

定理4 如果ν0≠0，ν∞= 0，2N－(μ0+ν0)≥1，并且μ0+ ν0≠μ∞，則當(dāng)(F+0)滿足時(shí)，系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非平凡解．

定理5 如果ν0≠0，ν∞= 0，μ0≥1，并且μ0≠μ∞，則當(dāng)(F－0)滿足時(shí)，系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非平凡解．

定理6 如果ν0≠0，ν∞≠0，則當(dāng)下列條件之一滿足時(shí)，系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非平凡解．1)(F－0)，(F+∞)并且μ0≠μ∞，μ0，μ∞≥1;2)(F+0)，(F+∞)并且μ0+ ν0≠μ∞，μ0+

ν0≤2N －1，μ∞≥1;

3)(F－0)，(F－∞)并且μ0≠μ∞+ ν∞，μ0≥1，

μ∞+ ν∞≤2N －1;

4)(F+0)，(F－∞)并且μ0+ ν0≠μ∞+ ν∞，

μ0+ ν0，μ∞+ ν∞≤2N －1．

眾所周知，Schr?dinger 方程是量子力學(xué)中一類十分重要的基本模型，有許多文獻(xiàn)研究過其解的存在性［1-8］. 如文獻(xiàn)［1］考慮了Schr?dinger 系統(tǒng)

半正解的存在性. 系統(tǒng)(1)可以看作式(6)的抽象形式的一維離散化，考慮到利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，對(duì)問題的離散化是必不可少的，并且一般情形下離散化模型是有限維的，所以通常對(duì)系統(tǒng)的假設(shè)要求較低. 例如文獻(xiàn)［1］要求λ1，λ2＞0，而本文對(duì)系統(tǒng)(1)的研究則沒有此假設(shè). 另一方面，當(dāng)λ1= λ2= 0 時(shí)，系統(tǒng)(1)就是文獻(xiàn)［9］研究的模型，但文獻(xiàn)［9］要求由式(3)定義的矩陣Hz是正定的，這一假設(shè)在其主要結(jié)論的證明中起著關(guān)鍵性作用. 由于本文用線性特征值系統(tǒng)(5)(與文獻(xiàn)［9］的線性特征值系統(tǒng)不同)的特征值刻畫非線性系統(tǒng)(1)解的存在性，因而只要求Hz是對(duì)稱的(見本文第4 部分的具體例子)，但卻得到了文獻(xiàn)［9］所有的結(jié)論. 因此，本文的研究工作有一定意義. 通過系統(tǒng)(1)的矩陣形式給出了它所對(duì)應(yīng)的能量泛函，并利用矩陣的張量積知識(shí)得到了線性特征值系統(tǒng)(5)的特征值，當(dāng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)滿足漸近條件時(shí)，利用變分方法，進(jìn)而通過臨界群的計(jì)算，對(duì)于系統(tǒng)(1)是否發(fā)生共振的每一種情形，均證明了它至少存在一個(gè)非平凡解.

1 能量泛函與線性特征值系統(tǒng)的特征值

分別記

所以z ∈E 是系統(tǒng)(1)的解，當(dāng)且僅當(dāng)z 是J 或者－ J 的臨界點(diǎn)，同時(shí)± J ∈C2(E，R1)． 對(duì)于* =0，∞，分別記

任意兩個(gè)矩陣B 與C 的張量積記為B ?C，k階單位矩陣記為Ik，則容易證明系統(tǒng)(1)的矩陣形式為

那么由式(8)定義的泛函可以改寫為

取Hilbert 空間E = RN×RN，E 中的內(nèi)積定義

利用前文記號(hào)，線性特征值系統(tǒng)(5)的矩陣形式為為利用式(7)，構(gòu)造泛函J ∶E →R1為

由矩陣知識(shí)可得下列結(jié)論:

定理7 線性特征值系統(tǒng)(5)的特征值

則容易證明

其中:

證明 容易知道矩陣A 的特征值為μj，矩陣Λ －H*的特征值為τ1，2(* )，由矩陣張量積的特征值性質(zhì)［10］可知，I2?A +(Λ －H*)?IN的特征值為μj+ τi(* )，即式(9)成立． 證畢．

將式(9)中的全體特征值λ(* )記為

2 主要結(jié)論的證明

證明定理1 至定理6 的主要依據(jù)是Hillbert 空間上泛函f 在零點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的臨界群Cq(f，0)與

引理1［13］假設(shè)H 為Hilbert 空間，f 為在H上有定義的C1泛函，滿足C-條件或者PS-條件，如果存在某個(gè)整數(shù)q 使得Cq(f，0)≠Cq(f，∞)，則泛函f 至少存在一個(gè)非平凡的臨界點(diǎn)．

下面首先通過引理的方式給出由式(8)定義的泛函±J 在零點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的臨界群Cq(±J，0)與Cq(± J，∞)的計(jì)算結(jié)果，其中記號(hào)δi，jZ =

引理2 如果ν0= 0，那么

引理3 如果μ0≥1，ν0≠0 并且(F－0)滿足，那么

證明 由(F－0)及式(2)知，對(duì)ε ∈(0，

由引理3 的證明同理可得引理4 結(jié)論成立．

引理5 如果ν∞= 0，那么

證明 因?yàn)?/p>

引理6 如果μ∞≥1，ν∞≠0，并且(F+∞)滿足，那么

證明 由式(3)，結(jié)合F∞(z)的連續(xù)性知，對(duì)任意的ε ＞0，存在Mε＞0，使得當(dāng)z ∈R2時(shí)，

注意到λμ∞(∞)＜0，所以可選ε ＞0 充分小，使得故當(dāng)時(shí)

由式(3)及(F+∞)知，∞，結(jié)合F∞(z)的連續(xù)性知，存在M∞＞0，使得

由文獻(xiàn)［9］知J 滿足C- 條件，注意到dim(E－∞)=μ∞，所 以 由 鞍 點(diǎn) 定 理［13］可 知Cμ∞(J，∞)≠0．

由引理6 的證明同理可得引理7 結(jié)論成立．

引理7 若2N －(μ∞+ν∞)≥1，ν∞≠0，并且(F－∞)滿足，則C2N－(μ∞+ν∞)(－ J，∞)≠0．

利用引理1 至引理7，容易得到本文定理1 至定理6 的證明． 下面僅給出定理6 中結(jié)論4)的證明，其它結(jié)論同理可證．

定理6 中結(jié)論4)的證明 由ν0≠0，條件(F+0)及引理4 知，Cq(－ J，0)= δq，2N－(μ0+ν0)Z;由ν∞≠0，條件(F－∞)及引理7 知，C2N－(μ∞+ν∞)(－ J，∞)≠ 0． 而 μ0+ ν0≠ μ∞+ ν∞， 所 以C2N－(μ∞+ν∞)(－ J，0)≠C2N－(μ∞+ν∞)(－ J，∞)． 從而由引理1 知－ J 至少存在一個(gè)非平凡臨界點(diǎn)，所以系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)非平凡解．

3 實(shí) 例

下面舉例說明本文主要結(jié)論的具體應(yīng)用． 為了與文獻(xiàn)［9］所得結(jié)論比較，取λ1= λ2= 0，R1= 1，R2= 10，N = 100． 考慮系統(tǒng)

其中:

這里，f 為一個(gè)光滑聯(lián)接函數(shù)，使得 F ∈C2(R2，R1)． 分別取

則容易驗(yàn)證條件(2)及(4)滿足. 由于當(dāng)| z|≤R1時(shí)，2F(z)－zTH0z = 0;而當(dāng)| z|≥R2時(shí)，▽F(z)·z － 2F(z)= －| z |． 所以條件(F+0)及(F－∞)滿足． 顯然τ1(0)= 0，τ2(0)= － μ2，τ1(∞)= 0，τ2(∞)= －μ5，而λ(0)= μ(j)+τ1，2(0)，λ(∞)= μ(j)+τ1，2(∞)，j = 1，2，…，N，所以ν0= 1，μ0= 1，ν∞= 1，μ∞= 4． 于是，由定理6 中的結(jié)論4)知，系統(tǒng)(10)至少存在一個(gè)非平凡解;而由式(12)知，矩陣H0與H∞都不是正定的，所以由文獻(xiàn)［9］不能得到此結(jié)論.

［1］Sato Y，Wang Zhiqiang. On the multiple existence of semi-positive solutions for a nonlinear Schr?dinger system［J］. Ann. I. H. Poincaré-AN，2013，30(1):1-22.

［2］Kim S，Kwon O，Lee Y. Solutions with a prescribed number of zeros for nonlinear Schr?dinger systems［J］.Nonlinear Analysis，2013，86:74-88.

［3］Chen Zhijie，Lin Changshou，Zou Wenming. Multiple sign-changing and semi-nodal solutions for coupled Schr?dinger equations［J］. J. Differential Equations，2013，255:4289-4311.

［4］Tian Rushun，Wang Zhiqiang. Multiple solitary wave solutions of nonlinear Schr?dinger systems［J］. Nonlinear Analysis，2011，37:203-223.

［5］Liu Zhaoli，Wang Zhiqiang. Ground states and bound states of a nonlinear Schr?dinger system［J］. Adv. Nonlinear Stud，2010，10:175-193.

［6］De Figueiredo D G，Lopes O. Solitary waves for some nonlinear Schr?dinger systems ［J］. Ann. I. H.Poincaré-AN，2008，25:149-161.

［7］Pomponio A. Coupled nonlinear Schr?dinger systems with potentials［J］. J. Differential Equations，2006，227:258-281.

［8］Maia L A，Montefusco E，Pellacci B. Positive solutions for a weakly coupled nonlinear Schr?dinger system［J］. J.Differential Equations，2006，229:743-767.

［9］Liu Jinsheng，Wang Shuli，Zhang Jianming，et al. Nontrivial solutions for resonant difference systems via computations of the critical groups［J］. J. Math. Anal. Appl.，2012，385(1):60-71.

［10］Bellman R. Introduction to Matrix Analysis［M］. New York:McGraw-Hill，1970.

［11］Chang K C. Infinite Dimensional Morse Theory and Multiple Solutions Problems［M］. Boston:Birkhauser，MA，1993.

［12］Mawhin J，Willem M. Critical Point Theory and Hamiltonian Systems［M］. Berlin:Springer，1989.

［13］Bartsch T，Li Shujie. Critical point theory for asymptotically quadratic functional and application to the problems with resonance［J］. Nonlinear Analysis，1997，28(3):419-441.

［14］Liu Jiaquan. A Morse index for a saddle point［J］. Systems Sci. Math. Sci. ，1989，2:32-39.

［15］Su Jiabao. Multiplicity results for asymptotically linear elliptic problems at resonance［J］. J. Math. Anal. Appl.，2003，278(2):397-408.