利用旋轉(zhuǎn)變換巧解中考題

謝子丹

數(shù)學(xué)中的旋轉(zhuǎn)變換方面的知識（對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等）在解題中具有廣泛應(yīng)用.下面就幾道中考題談?wù)勅绾卫眯D(zhuǎn)變換解中考題.

【例1】 （2010，黑龍江齊齊哈爾）如圖1，已知

△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E

在同一條直線上，AE與BD相交于點O，AE與CD相

交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下

列結(jié)論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE

，其中正確的結(jié)論個數(shù)為（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

分析與解：結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形可知，把△BCD按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°可得△ACE.

故△BCD與△ACE全等，

所以AE=BD.

把△BCF按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°可得△ACG.

故△BCF與△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.

又∵∠FCG=60°.

∴△FCG為等邊三角形

∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.

∵△BCD與△ACE全等.

∴C到BD的距離與C到AE的距離相等，

即∠BOC=∠COE.

綜上所述，應(yīng)選D.

【例2】 （2011，福建寧德）如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，

∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α

角（0°<α<90°）得到△DEC，設(shè)CD交AB于F，連接AD，

【例3】 （2010，山西）如圖3-1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，CG.

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將正方形DEFG繞著點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使E落在BC上，如圖3-2，

連接AE和CG.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

分析：（1）結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.

（2）結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.

解：（1）如圖3-1，CG⊥AE.

∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90度后可得到△CDG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG，

又∵∠EDG=90°，

∴∠DCG+∠DGC=90°.

∴∠DAE+∠DGC=90°，

即CG⊥AE.

（2）如圖3-2，CG⊥AE，

∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90度后可得到△CDG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG，

又∵AD∥BC，

∴AD和AE所夾銳角和BC和AE所夾銳角均與∠DAE相等，

而CG和BC所夾銳角的與∠DCG的余角相等.

∴CG⊥AE.

【例4】 （2012，遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.

以上五道例題的分析與解都有一個共同特點：結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，看一看某個三角形（或某個點）經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換到另一個三角形（或另一個點），而后根據(jù)變換前后兩圖形的關(guān)系來尋找等量關(guān)系或位置關(guān)系以使問題得到解決，都使用了旋轉(zhuǎn)變換及“數(shù)形結(jié)合的思想”.endprint

數(shù)學(xué)中的旋轉(zhuǎn)變換方面的知識（對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等）在解題中具有廣泛應(yīng)用.下面就幾道中考題談?wù)勅绾卫眯D(zhuǎn)變換解中考題.

【例1】 （2010，黑龍江齊齊哈爾）如圖1，已知

△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E

在同一條直線上，AE與BD相交于點O，AE與CD相

交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下

列結(jié)論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE

，其中正確的結(jié)論個數(shù)為（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

分析與解：結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形可知，把△BCD按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°可得△ACE.

故△BCD與△ACE全等，

所以AE=BD.

把△BCF按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°可得△ACG.

故△BCF與△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.

又∵∠FCG=60°.

∴△FCG為等邊三角形

∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.

∵△BCD與△ACE全等.

∴C到BD的距離與C到AE的距離相等，

即∠BOC=∠COE.

綜上所述，應(yīng)選D.

【例2】 （2011，福建寧德）如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，

∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α

角（0°<α<90°）得到△DEC，設(shè)CD交AB于F，連接AD，

【例3】 （2010，山西）如圖3-1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，CG.

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將正方形DEFG繞著點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使E落在BC上，如圖3-2，

連接AE和CG.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

分析：（1）結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.

（2）結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.

解：（1）如圖3-1，CG⊥AE.

∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90度后可得到△CDG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG，

又∵∠EDG=90°，

∴∠DCG+∠DGC=90°.

∴∠DAE+∠DGC=90°，

即CG⊥AE.

（2）如圖3-2，CG⊥AE，

∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90度后可得到△CDG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG，

又∵AD∥BC，

∴AD和AE所夾銳角和BC和AE所夾銳角均與∠DAE相等，

而CG和BC所夾銳角的與∠DCG的余角相等.

∴CG⊥AE.

【例4】 （2012，遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.

以上五道例題的分析與解都有一個共同特點：結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，看一看某個三角形（或某個點）經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換到另一個三角形（或另一個點），而后根據(jù)變換前后兩圖形的關(guān)系來尋找等量關(guān)系或位置關(guān)系以使問題得到解決，都使用了旋轉(zhuǎn)變換及“數(shù)形結(jié)合的思想”.endprint

數(shù)學(xué)中的旋轉(zhuǎn)變換方面的知識（對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等）在解題中具有廣泛應(yīng)用.下面就幾道中考題談?wù)勅绾卫眯D(zhuǎn)變換解中考題.

【例1】 （2010，黑龍江齊齊哈爾）如圖1，已知

△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E

在同一條直線上，AE與BD相交于點O，AE與CD相

交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下

列結(jié)論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE

，其中正確的結(jié)論個數(shù)為（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

分析與解：結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形可知，把△BCD按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°可得△ACE.

故△BCD與△ACE全等，

所以AE=BD.

把△BCF按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°可得△ACG.

故△BCF與△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.

又∵∠FCG=60°.

∴△FCG為等邊三角形

∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.

∵△BCD與△ACE全等.

∴C到BD的距離與C到AE的距離相等，

即∠BOC=∠COE.

綜上所述，應(yīng)選D.

【例2】 （2011，福建寧德）如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，

∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α

角（0°<α<90°）得到△DEC，設(shè)CD交AB于F，連接AD，

【例3】 （2010，山西）如圖3-1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，CG.

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將正方形DEFG繞著點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使E落在BC上，如圖3-2，

連接AE和CG.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

分析：（1）結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.

（2）結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.

解：（1）如圖3-1，CG⊥AE.

∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90度后可得到△CDG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG，

又∵∠EDG=90°，

∴∠DCG+∠DGC=90°.

∴∠DAE+∠DGC=90°，

即CG⊥AE.

（2）如圖3-2，CG⊥AE，

∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉(zhuǎn)90度后可得到△CDG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG，

又∵AD∥BC，

∴AD和AE所夾銳角和BC和AE所夾銳角均與∠DAE相等，

而CG和BC所夾銳角的與∠DCG的余角相等.

∴CG⊥AE.

【例4】 （2012，遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.

以上五道例題的分析與解都有一個共同特點：結(jié)合題意并仔細(xì)觀察圖形，看一看某個三角形（或某個點）經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換到另一個三角形（或另一個點），而后根據(jù)變換前后兩圖形的關(guān)系來尋找等量關(guān)系或位置關(guān)系以使問題得到解決，都使用了旋轉(zhuǎn)變換及“數(shù)形結(jié)合的思想”.endprint