圓系方程的一個證明

袁亮

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程告訴我們要確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑，但是經(jīng)常在確定圓心的時候就非常困難，特別是遇到兩個相交圓問題時更是困難.而當(dāng)兩個圓一旦相交其實經(jīng)過這兩個相交圓的圓方程就應(yīng)該與已知兩圓的方程有關(guān)，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到如下結(jié)論：

設(shè)⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么過兩圓交點的圓系方程可表示為

結(jié)論1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

當(dāng)系數(shù)m≠0時，式子可變形為

實際從兩個結(jié)論的式子形式可以看出，結(jié)論1不僅能夠表示包括過兩交點的所有圓的方程，而且根據(jù)m+n=1可知式子也只有一個系數(shù)，而結(jié)論2不能表示已知圓B.比較之下結(jié)論1的效果更好一些，下面筆者給出結(jié)論1的一個證明.

證明：由條件可知既然是過兩圓的交點，則兩已知圓必相交，因而可通過兩圓方程相減的方式得到兩圓公共弦所在直線方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后經(jīng)過此兩點的所有圓都必須要具有此條公共弦，即若設(shè)⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0為圓系中的任何一個圓，那么圓C與圓A所確定的公共弦所在直線也為l，故利用圓C與圓A方程相減可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

則①式和②式應(yīng)表示同一條直線，則有對應(yīng)系數(shù)成比例，即

若設(shè)1-k=m，則結(jié)論1得證.

在證明過程中兩直線方程系數(shù)成比例涉及有可能分母為零的情況，在這種特殊情況下實際是比較好討論的，在此就不贅述.

有了結(jié)論1，我們就可以避開繁瑣的計算去確定圓心和半徑，只需要建立一個關(guān)于未知量的方程即可，而且通過對結(jié)論1的證明我們也比較方便給出直線與圓相交情況下的圓系方程的證明，在此略去證明過程.endprint

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程告訴我們要確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑，但是經(jīng)常在確定圓心的時候就非常困難，特別是遇到兩個相交圓問題時更是困難.而當(dāng)兩個圓一旦相交其實經(jīng)過這兩個相交圓的圓方程就應(yīng)該與已知兩圓的方程有關(guān)，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到如下結(jié)論：

設(shè)⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么過兩圓交點的圓系方程可表示為

結(jié)論1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

當(dāng)系數(shù)m≠0時，式子可變形為

實際從兩個結(jié)論的式子形式可以看出，結(jié)論1不僅能夠表示包括過兩交點的所有圓的方程，而且根據(jù)m+n=1可知式子也只有一個系數(shù)，而結(jié)論2不能表示已知圓B.比較之下結(jié)論1的效果更好一些，下面筆者給出結(jié)論1的一個證明.

證明：由條件可知既然是過兩圓的交點，則兩已知圓必相交，因而可通過兩圓方程相減的方式得到兩圓公共弦所在直線方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后經(jīng)過此兩點的所有圓都必須要具有此條公共弦，即若設(shè)⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0為圓系中的任何一個圓，那么圓C與圓A所確定的公共弦所在直線也為l，故利用圓C與圓A方程相減可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

則①式和②式應(yīng)表示同一條直線，則有對應(yīng)系數(shù)成比例，即

若設(shè)1-k=m，則結(jié)論1得證.

在證明過程中兩直線方程系數(shù)成比例涉及有可能分母為零的情況，在這種特殊情況下實際是比較好討論的，在此就不贅述.

有了結(jié)論1，我們就可以避開繁瑣的計算去確定圓心和半徑，只需要建立一個關(guān)于未知量的方程即可，而且通過對結(jié)論1的證明我們也比較方便給出直線與圓相交情況下的圓系方程的證明，在此略去證明過程.endprint

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程告訴我們要確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑，但是經(jīng)常在確定圓心的時候就非常困難，特別是遇到兩個相交圓問題時更是困難.而當(dāng)兩個圓一旦相交其實經(jīng)過這兩個相交圓的圓方程就應(yīng)該與已知兩圓的方程有關(guān)，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到如下結(jié)論：

設(shè)⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么過兩圓交點的圓系方程可表示為

結(jié)論1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

當(dāng)系數(shù)m≠0時，式子可變形為

實際從兩個結(jié)論的式子形式可以看出，結(jié)論1不僅能夠表示包括過兩交點的所有圓的方程，而且根據(jù)m+n=1可知式子也只有一個系數(shù)，而結(jié)論2不能表示已知圓B.比較之下結(jié)論1的效果更好一些，下面筆者給出結(jié)論1的一個證明.

證明：由條件可知既然是過兩圓的交點，則兩已知圓必相交，因而可通過兩圓方程相減的方式得到兩圓公共弦所在直線方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后經(jīng)過此兩點的所有圓都必須要具有此條公共弦，即若設(shè)⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0為圓系中的任何一個圓，那么圓C與圓A所確定的公共弦所在直線也為l，故利用圓C與圓A方程相減可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

則①式和②式應(yīng)表示同一條直線，則有對應(yīng)系數(shù)成比例，即

若設(shè)1-k=m，則結(jié)論1得證.

在證明過程中兩直線方程系數(shù)成比例涉及有可能分母為零的情況，在這種特殊情況下實際是比較好討論的，在此就不贅述.

有了結(jié)論1，我們就可以避開繁瑣的計算去確定圓心和半徑，只需要建立一個關(guān)于未知量的方程即可，而且通過對結(jié)論1的證明我們也比較方便給出直線與圓相交情況下的圓系方程的證明，在此略去證明過程.endprint